如何做出满足条件的圆-对一道尺规作图题的思考

如何做出满足条件的圆-------对一道尺规作图题的思考【题目再现】△ABC是一块三角形铁皮，如何按要求从中剪一个面积最大的圆？【初步认识】（1）请用直尺和圆规在图中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）．【继续探索】（2）若三角形铁皮上有一破损的孔点D（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用直尺和圆规在图中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．【交流分析】师：这是2022年南京市联合体二模卷最后一题。首先第一个问题，直尺和圆规在中作出最大的圆。对课本熟悉的同学应该能记得这是九上教材68页引例中的内容，教材上有详细的过程教会同学们如何作三角形的内切圆和外接圆。我们知道圆的两个基本要素是圆心和半径，根据内切圆的性质我们知道圆心是角平分线的交点，这里值得注意的是半径是多少？应该是过圆心向一边作垂线，垂线段的长度即为半径。师：第二个问难度加大，需要在一个有破损孔的三角形上剪一个面积最大且圆面无破损的圆。圆面无破损，那么孔点D就不可以在圆内，又要圆面积最大，所以分析出这里要做的圆应该是与AB、BC相切且过D的圆。我们知道尺规作图三部曲，一审二试三画图。审就是审题，明确题目条件是什么，要达到的目标是什么。这里题目条件要从形和量的角度去找哪些是定下来的。目标也是明确要定的形和量是哪些？试就是根据分析出的条件尝试画草图，从草图中再探索还有哪些条件。最后就是根据草图分析利用基本作图规范作出目标图形。【方法一】师：我们开始审题，这里依然是做一个圆，所以还是要得到圆心和半径，根据分析中的形结构与AB、BC相切，所以圆心到AB、BC的距离相等，我们不难发现，这里圆心一定在∠ABC的角平分线上。此时我们不妨先弱化条件，先以∠ABC的角平分线上任一点为为圆心做一个与AB、BC相切的圆，随着圆心在角平分线上从B开始向E运动，对应的圆也在不断变大，且始终与AB、BC相切。直到圆刚碰到D的时候就是我们所求的无破损的最大的圆。不难发现此时圆和所要作的圆是关于B点位似的。根据位似的性质：对应点的连线经过位似中心，连接BD与⊙O1的一个交点就是D1点，再根据位似的性质对应线段互相平行，这里平行OD即可确定所要求的圆心的位置。因为D点在圆上，所以OD即为所求圆的半径。类似的方法在2022年秦淮区二模卷的最后一题作二类圆一样适用，区别是本题是与三角形两边相切过一个点，这一题是与矩形两邻边相切也过一个点。其实就是相切的两边所形成的角度的大小不一样而已，本质是相同的。那么以后对于这种与两条直线相切还要过一个定点的问题都可以先弱化条件，使其满足其中一部分条件，比如与两直线相切，然后再通过位似使其满足第三个条件。将作图方法归纳如下：1.作∠ABC的角平分线BE，在BE上任取一点O1，作⊙O1与AB、BC均相切；2.连接BD交⊙O1于点D1，连接D1O1，过D作DO∥D1O1交BE于点O；3.以O为圆心，DO为半径作⊙O．⊙O即为所求．【方法2】师：我们再来审题。前面已经分析得到圆心在∠ABC的平分线上，根据对称性，点D关于角平分线BE的对称点F也在⊙O上，则直线DF即为⊙O的一条割线，连接DF并延长交BC于点H，假设此时的⊙O已经作出来了，那么从形结构来分析，HK是所求圆的切线，HD是割线，从量结构分析，因为D是定点，这里HD、HF长度都是已知的。根据切割线定理：HK2=HF·HD，所以我们可以利用射影定理造出切线长。在直线l上分别截取HF和HD，过H做HK垂直于FD与以FD为直径的圆交于一点K，则HK为所求切线长。此时以H为圆心，HK为半径画弧交BC于K点，即为所求圆与BC的切点。过K作BC垂线与BE交点即为圆心O，OK长度即为半径。这种方法主要是通过强化已知线段之间的对应关系得到的。将作图方法归纳如下：1.作∠ABC的角平分线BE；2.作D关于BE的对称点F,连接DF交BC于H点；3.在直线l上分别截取HF和HD，作HK⊥FD与以FD为直径的圆交于一点K；4.在BC上截取HK长，过K作BC垂线交BE于点O，以O为圆心，OK为半径作⊙O．⊙O即为所求同样的方法也适用于2021年联合体一模卷最后一题。过圆外两点且与已知一条直线相切的圆，可以通过射影定理构造切线长来解决。【总结