(完整版)可靠性试题

练习一设导弹的可靠度为0.85,两枚导弹在射击目标时不是互相统计独立,第一枚未击中第二枚也击不中的概率为0.2,然而第一枚击中,第二枚击中的概率不变,仍旧是0.85,试问两枚导弹至少有一枚击中的概率?解:至少有一枚击中的概率是:注意本题指的是第一枚未击中情况下,第二枚的击中概率会有变化,如果第一枚击中话,则第二枚射击无影响,所以A,B和是统计独立的,故有:但和B是统计相关的所以至少击中一枚的概率为它们之和=0.97试验一种产品,有98%的判断有缺陷的产品,而4%的概率将好产品认为是有缺陷的,如果对一批试验产品有3%的次品率,问一个产品归为次品而真正是次品的概率是多少?解:D表示产品是有缺陷的事件C表示将产品归为有缺陷事件那么P(D)=0.03P(C|D)=0.98=0.04用贝叶斯定理来计算P(D|C)练习二2.1设有一批零件共100件，其中有5件次品，现从中任取50件，问恰好有一件次品的概率是多少？解：S=“从100件中任取50件”共有多少种抽法，即每一种抽法就是一个事件，即得到总的样品空间数。B=“任取50件，其中恰好有1件次品”，由多少基本事件？显然，任抽的50件恰好有一件次品，必须从95件合格品中抽出49件合格品，共有种取法，而从5件次品中取1件次品共有种抽法，所以，B事件的数目为，而它占总的样品空间的比例即为所求的概率2.2证明：解:设是一个有限数，则对于任何的，有2.2证明：解:由终值定理有下列等式:£另外证明可按拉氏变换定义得到:2.3有100台仪表工作到1000小时有10台发生故障,工作到2000小时,总共有22台发生故障,求此仪表的分别在1000小时与2000小时的可靠度及累积失效概率?解:t=1000小时n=(1000)=10,t=2000小时,,78%累积失效概率即不可靠度为F(1000)=%F(2000)=22%2.4有一台设备上的零件在使用了2000小时期间更换两次，这零件通常失效率较低，取λ=0.1×10—3小时，求这台设备发生二次故障概率？设备工作是否正常?解：因λt=0.1×10-3×2000=0.2按泊松分布在2000小时内二次故障概率设备工作是不正常2.5设有N=100个产品,从t=0开始运行,在50小时内无故障,在50~51小时内发生1个故障,在51~52小时内发生3个故障,求该产品在50及51小时的故障率?解:/小时/小时2.6已知压力阀门的失效率为,试求该部件的累积失效分布F(t)和失效函数f(t).解:F(t)=1-exp=1-exp=1-exp1-F(t)=F(t)=f(t)=2.7已知失效率服从下述关系试求时间t系数的可靠度和失效密度函数?解:当指数分布2.8已知某部件的失效率λ=/小时,试求:(a)1000小时部件可靠度?(b)如果有1000个这样的部件同时工作,问1000小时工作内有多少部件已经失效?(c)部件在一个MTTF时间的可靠度是多少?(d)如果已知部件工作了1000小时,问继续工作1000小时的概率是多少?解:(a)R(1000)=(b)(c)R(MTTF)=(d)根据指数分布的无记忆性证明无记忆性简单说明如下:2.9进行汽车轴承的磨损实验,投试的样品为46,现将试验结果统计表如下:区间(公里)故障数目0≤m≤200001920000≤m≤400001140000≤m≤60000760000≤m≤80000580000≤m≤1000004100000≤m0试求失效率函数,可靠度函数解(1):首先按时间求出系统各点的可靠度与不可靠度公里数

(t)累积失效总数

NfF(t)=

Nf/NR(t)=1-F(t)20000190.4130.58740000300.6520.34860000370.8040.19680000420.9130.087100000461.0000.00.2070.20719460.1200.2041270.0760.2197160.0550.278590.0440.50044解(2)摘自书(9)例：计算公式：，第一组结果如下：t20000190.4130.5870.2070.20740000300.6520.3480.1200.20460000370.8040.1960.0760.21980000420.9130.0870.0550.278100000461.0000.00.0440.500练习三3.1在某一系统中,对某一种继电器,要求它必须动作2000次,如果随机地抽取20只继电器作动作次数试验,作到10000次都没有失效的,那么在90%的置信度条件下,母体可靠度的置信下限是多少呢?解1:总的动作次数=20×10000=200000; n=工作周期数=; 因为无效的,所以,n=100;r=0=0.90.解2:在《二项式可靠度表》中,查n=179、r=0那一行和=0.90那一列的数值,得按零失效估计:解3:,3.2如果某产品的失效分布是指数分布,如果随机抽取80只产品进行250小时寿命试验,发现78只是可靠的，有2只失效,若以90%的置信度推算失效率λ的置信上限?解:因为 所以 ①利用《二项式可靠度表》,查n=80、r=2那一行和=0.90那一列的数值,为 ②,将其代入上式,当t=250小时,得到 3.4设某批产品符合指数分布，从该批中随机地抽取20件，进行无替换寿命试验,试验到11件失效停止试验，它们的试验失效时间为t(1)=7,t(2)=12,t(3)=15,t(4)=24,t(5)=25，t(6)=48，t(7)=53，t(8)=56，t(9)=72，t(10)=95，t(11)=110，求置信度95%下，λ的双边置信区间和单边置信上限?解:λ的双边置信区间：=7+12+15+24+25+48+53+56+72+95+(20-10)x110=1507.查表：求得λ的双边置信区间：λ的单边置信上限：查表：求得λ的单边置信上限：3.5抽五个产品进行定时截尾的可靠性寿命试验,截尾时间定为100小时,已知在试验期间产品试验结果如下：小时,和小时产品失效,小时有一产品停止试验，计算该产品的点平均寿命值?.解:总试验时间小时点平均寿命MTTF=小时3.6设产品的寿命服从指数分布,抽其10个产品进行无替换定时截尾试验已观察到二次失效，第一次在小时,第二次小时,在置信度为0.95下,为满足平均寿命的单侧置信下限为1000小时,还需继续进行无失效试验多少小时?解:设还需继续进行无失效试验时间t总试验时间无替换定时截尾试验平均寿命的单侧置信下限：1000=t=小时3.7设某批产品符合指数分布，从该批中随机地抽取10件，进行无替换寿命试验试验到300hr停止试验，在停止试验前只知道有5件失效，它们的试验失效时间为t(1)=35,t(2)=85,t(3)=150,t(4)=230,t(5)=250(小时)求置信度90%下θ,λ的置信区间?解:3.8某飞机油箱增压泵43个，每个观察300小时，观察过程中共发生7次故障，若为指数分布，求该泵的平均寿命，300个小时时的可靠度及90%置信度下平均寿命的双侧置信区间。解：为[,,有]试验，平均寿命为小时；故300小时时的可靠度为；90%置信度下平均寿命的双侧置信限：小时，小时。3.9某仪表运行一年中共发生5次故障，经调查，用户平均每年使用500小时，试确定其保用期。解：90%把握能够达到的小时95%把握能够达到的小时估计有一部分用户使用时间较长，可按平均数的1.5倍计算。以90%置信度考虑，则保用期年，约合15个月；以95%置信度考虑，则保用期年，约合13个月。3.10某设备只有成功与故障两种状态，现抽取100件试验到某一时刻，一直未发生故障，试求可靠度95%置信度的单侧置信下限。解：时刻，有现，，，即有95%置信度，可靠度不小于0.97。3.11用30件进行100小时试验，故障数为零，问在90%置信度下，欲保证可靠度不小于0.92，此抽样数是否充分？若故障数为1，可保证的可靠度是多少？解：为定时截尾试验，当时，由（5.105）式，有现，所以在90%置信度下，抽样数30是可以保证可靠度不小于0.92。当时，3.12某火箭发动机规定的全程工作时间为300秒,现对该发动机进行试验,试验无失效时间累计已达1.2×10E+4秒,试估算该发动机可靠性单侧置信下限(置信度=0.8.)解:的近似单侧置信下限：的近似单侧置信上限：可靠性单侧置信下限：R(300)3.13某导弹主动段飞行时间为5分钟，假定弹上某设备寿命服从指数分布，如果要求该设备主动段飞行可靠性下限为0.9试求设计师的平均寿命下限θ?解:分钟3.14在试验过程中无失效时,达到部件的可靠性下限在置信度为0.90时为0.86,试问至少要用多少样品做试验?解:设试验样品数为n,失效数r=0,部件的可靠性下限,置信度建立下列关系式:3.15假定从一批雷管中随机抽取20只进行试验，发现故障数等于零。假定这批雷管的可靠性服从二项分布。问：这批雷管的可靠性的95％置信下界是多大？解：，，，按照公式，可行性R的％的下置信界为：当时，公式如下所以得到95％的置信度下限为3.16已知核电站柴油机启动试验共n=563次,失败x=3次,求置信度为0.90的启动失败概率的置信区间和最佳估计值.解：最佳估计值按照公式:代入并查表3.17商用核电站应急柴油发电机5年内35次启动有4次失败,求置信度0.90时的启动失败概率的上下限,如果用定時截尾指数分布估计试问误差有多少?解：定時截尾指数分布估计误差不大,但当时,定数截尾指数分布估计不适用.练习四由两个相同指数分布元件组成的贮备系统,设转换开关的可靠度,为了使贮备系统的可靠度高于二元件并联系统的可靠度,试问转换开关的可靠度应为多少?解:并联系统的可靠度贮备系统的可靠度按题要求:系统由主系统(失效率),第一备用系统(失效率)和第二备用系统(失效率)组成,备用期间不失效且转换开关完好,系统不维修,试求系统可靠度?解:其中:解2:解3:按公式：系统由贮备系统和表决分系统串联组成(如图),两个分系统工作相互独立,设转换开关的可靠度为.单元1,2的寿命分布函数.求系统的可靠度和平均寿命.解:试证明由2n个相同部件组成的并串联系统(图(b)可靠度比串并联系统(图(a))可靠度高.证明：求图的路集,最小路集,割集,最小割集.解：用穷举法,最小路集:(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(E,F,B,D).用联络矩阵法:路集:(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(A,D,B),(E,F,B,D).最小路集:(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(E,F,B,D).最小割集:(A’+D’)(A’+B’+C’)(E’+F’+C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’+D’B’+D’C’)(E’+F’+C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’E’+A’F’+A’C’+D’B’E’+D’B’F’+D’B’C’+D’C’E’+D’C’F’+D’C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’E’+A’F’+A’C’+D’B’E’+D’B’F’+D’C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’E’+A’F’+A’B’C’+A’C’D’+D’B’E’+D’B’F’+D’C’)=(A’E’+A’F’+D’C’+A’B’C’+D’B’E’+D’B’F’)已知通讯网络的结构图求a，b两端之间的最小路集与割集。解：用联络矩阵法:最小路集(1),(5,2),(4,6),(5,3,6),(4,3,2)最小割集:(1’)(5’+2’)(4’+6’)(5’+3’+6’)(4’+3’+2’)=(1’5’+1’2’)(4’+6’)(5’+3’+6’)(4’+3’+2’)=(1’5’4’+1’5’6’+1’2’4’+1’2’6’)(5’+3’+6’)(4’+3’+2’)=(1’5’4’+1’5’6’+1’2’4’3’+1’2’6’)(4’+3’+2’)=(1’5’4’+1’5’6’3’+1’5’6’2’+1’2’4’3’+1’2’6’)用全概率分解法写出系统可靠度公式.解：①②试证明上述两种分解结果一致。用联络矩阵法求图系统的最小路集、最小割集及求系统可靠度..解：系统的最小路集：AD，BD，CE，BE。系统的最小割集：=（+）（+）（+）（+）=（+++）（+++）=+++系统的可靠度:考虑并联系统在两个部件都正常运行时,部件的失效率为,当只有一个部件工作时，则部件接受的应力发生变化，系统的失效率增加到,证明这种条件下的并联系统的可靠度:解：设有两不同部件a和b组成的并联系统，在两个部件正常运行时的失效率分别是和，当只有一个部件工作时，则部件接受的应力发生变化，它们的失效率增加到和，建立系统的状态转移马氏过程，并联系统共有以下状态1：两件正常2：a部件失效，b部件工作3：b部件失效，a部件工作4：a，b两部件均失效马尔可夫转移图如下系统各状态的概率满足下列方程式组求解