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文档简介

一、微分的概念§4.5

微分

五、微分在近似计算中的应用四、高阶微分

二、微分的运算三、微分形式的不变性1.问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

一、微分的概念再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?可以表示成定义

设函数

如果增量可微,并称

为f在点处的微分,记作其中A是与

无关的常数,则称函数f在点由定义,函数在点

处的微分与增量只相差一个关于

的高阶无穷小量,而是

的线性函数.2.微分的定义微分定义的注解:于是定理4.8函数在点可微的充要条件是

在点可导,且证(必要性)

如果

在点可微,据(1)式有3.可微的条件(3)即

在点可导,且(充分性)设在点

处可导,则由的有限增量公式说明函数增量

可且表示为的线性部分,与关于的高阶无穷小量部分之和.所以

在点可微,4.微分的几何意义几何意义:(如图)MT）PN求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式二、微分的运算(4)2.函数和、差、积、商的微分法则例1解例2解三、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例3解例4解四、高阶微分或写作称为f的二阶微分.则当f

二阶可导时,dy关于x的微分为若将一阶微分仅看成是

的函数,注由于

与x无关,因此x的二阶微分

三者各不相同,不可混淆.(5)当x是中间变量时,二阶微分依次下去,可由阶微分求n阶微分:对的n阶微分均称为高阶微分.高阶微分不具有形式不变性.当x是自变量时,的二阶微分是为例4解法一不一定为0,而当x为自变量时,它比

(6)式多了一项当时,由(6)得解法二依(7)式得如果将漏掉就会产生错误.五、微分在近似计算中的应用1.

函数值的近似计算(9)式的几何意义是当x与x0充分接近时,可用点故当

很小时,有

由此得记

,即当

时，(8)式可改写为公式(9)分别用于sinx,tanx,ln(1+x),ex(x0=0),例5试求sin33o的近似值(保留三位有效数字).解

由公式(9)得到

处的切线近似代替曲线,这种线性近可得近似计算公式:似的方法可以简化一些复杂的计算问题.2.

误差的估计设数x是由测量得到的,y是由函数经过果已知测量值x0的误差限为

,

即算得到的

y0=f(x0)也是y=f(x)的一个近似值.如差,实际测得的值只是x

的某个近似值x0.由x0计计算得到.由于测量工具精度等原因,存在测量误例6设测得一球体直径为42cm,测量工具的精度则当很小时,量y0的绝对误差估计式为:相对误差限则为而

的为

y0的绝对误差限,为0.05cm.试求以此直径计算球体体积时引起的绝对误差限和相对误差限.解

以d0=42,

计算的球体体积和误差估计分别为:‰

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