智轩考研数学2010第20专题讲座特征值与特征向量考点题型题法

一、方阵的特征值定义： E；特征多项式：f AE 特征方程： 0

TrA秩为1的n阶方阵的特征值是n1个0和该方阵对角线元素代数和。若r 1， a11a22 TrA，23L0n bA)n( A 0 bA (

为AfA的特征值为fA的特征值A1的特征值为 A的特征值为 比如A为三阶方阵，特征值为A22A1二、方阵的特征向量

4E的特征值2

32AA

4全部特征向量构成 0的一个基础解1,2n n为未知数的个数，解空间S维rS r系数矩阵A，不同特征值对应的特征向量必线性无关，同一特征值（重根）对应的特对同一,x1和x2是的特征向量，则k1x1 k2x2k1,k2不全为零也是的特征向量，对于不同的,则k1x1k2x2k1,k2不全为零一般不是的特征向量。采用反证法：设x1x2A对应特征值为的特Ax1x2 x1x2Ax1 x1x21x12 x1x2 1x1 2 x1,x2线性无关 0； 0 ，故x1x2不是的特征向量A0,A,A

11 1,3 1,223 2 31等形式，但不能取12 3,2 3,2 12等形式。An可对角化特征向量的个数（重根需重复计算）r A2，则A的特征向量，但A4、A*2、A12的特征向量。A2A4A22。 A*2 A*2A*A2 A*2A*2

A1

A1

A1A A1A1

如果n阶可逆矩阵A的每行元和均为a0，则A必有一个特征值 a 0 0的特征值和特征向量a0 0 a是A的三重特征根。此时求特征向量的齐次方程组

0R R x x

31 0T, 0T 1T 0评注 0,评注 0

1,

0E

0的三个列或行向量 就是为什么在求形如 00

0的的特征值和特征向量 解：矩阵的特征方程为

12 0 1, 2 1是A的二重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为1 0x1

1 0

01 0x0 1 00

RS R 321 0 2 1 0x 1

1 3 2是A的单特征根。此时求特征向量的齐次方程组 0x1 0x21

1 121x 3 3

1

1 0 1RS R 321 1 【例3】设A是n阶非零矩阵，下列哪个不是 1的充分条件A BrAE 和为 D 解：选A。解析如下：A E 1，不能确定 1一定成立BrAEnA 0

CA中每一行 和为1A 1 MM D AAAE AOAE 0有非零解

A

0

A 02AE2解： A

0推知A的三个特征值 7于是2AE的三个特征值为： 2A3

33

21

EA1的 xA 1xEA1 Ex1 11x1 0 1, 1, 52,2, ET，其中

5 a,a,aT，且 2，求A的特征值和 ET 3 又 ET

a1 a3 a a 12 1

a a aa

0 2 23a a23

123a2a2a2311 31 31 a a aa a E

a

a

a

2 22a a 2

3 3 3 3 a3 a2 a3 a2

a3 由于特征向量是零向量

, 不妨a1

0 1 A解：令 xyT EBAxx

B 11 12 L 1n x x x 2 y2 2 2n

注意这个矩阵各行对应成比Mx

Mx x xn n n nn xyTxyT xxTyT B X 2BX2 2X 0,2 1,B B2 2 r rxyTrxy1rxyrx,ry1rBx x xy y yn1 1 1

y y x x x 2 2 2

x x x n n nn

0的基础解系有n11 1

0

0 L 11

y yy10Ly3y01Lyn10Ly 0BX 0Xk11k22,Lkn1n1ki不全为0其实就是B0A1yy10Ly3y01Lyn10Ly 2 3 2X 2E y 0 0 01

1 1 2E

M 1 0 0

0

knnkn0对应B2A3A3共有1

1,

有一个

1,1,1T，求a,b,1 解：A 1 1E AA*

0E； 0

5b 1 0 1 1c 又 1 1 1 和P1APT属于的特征向量。P1APP1P P1 PP1APTPTPTATP1TPTPTAPT1PT rPT PTA A的特征值为12,2

6 2A2A*3 6 6 22

2

A*

AA11A是秩为r的n阶方阵0rnA22A1B2A的多项式表示B*

2E。证明 2E 2E3

B3 1E,即BE 2 2AA 2E 0 0 0, 2AA 2E 0R 2E RA 解空间RS RA 2E r故A有r个为2的特征值，n 又，B1 3A 1E有r个为1的特征值，n 1的特征值; 因此：B有r个 4的特征值 r个 2的特征 4r2