逻辑学基础教程课后练习题答案汇总

六、分析题〔一下列三段论是否有效？如果无效,犯有什么逻辑错误？1．凡共青团员都是青年,并非所有的青年工人都是共青团员,所以并非所有的青年工人都是青年。答：无效,犯有大项扩大的错误。〔按照对当关系中的矛盾关系,并非所有的青年工人都是共青团员├有的青年工人不是共青团员；并非所有的青年工人都是青年├有的青年工人不是青年。2．并非所有的唯物主义者都不是马克思主义者,而没有一个共产主义者不是马克思主义者,因此所有的共产主义者都是唯物主义者。答：无效,违反"如果前提之一是特称的,则结论必然是特称的"规则。〔没有一个共产主义者不是马克思主义者,就是所有共产主义者都是马克思主义者。3．物质是不灭的,这只笔是物质,所以这只笔是不灭的。答：无效,犯有四概念错误。"物质"在大前提中是集合概念,在小前提中是非集合概念。这是通常的观点。但是,如果把"不灭的"理解为即使外形改变但仍然存在,那么这个三段论就是有效的。因为虽然一只笔的外形可以改变,但它作为其他形状的物质还是存在的。4．有些农民是劳动模范,有些农民是党员,所以有些党员是劳动模范。答：无效,违反两个特称前提不能得出结论的规则。5．不是快车是不带邮件的,下次列车是快车,所以下次列车是带邮件的。答：在这里,"不是快车是不带邮件的"有两种理解方式。〔1如果把"不是快车是不带邮件的"的"不是"理解为内部否定,那么不是快车是不带邮件的快车不是不带邮件的快车是带邮件的。在这种情况下,三段论是有效的。〔2如果把"不是快车是不带邮件的"的"不是"理解为内部否定,那么由对当关系中的矛盾关系得不是快车是不带邮件的有些快车是不带邮件的再由换质法推理得有些快车是不带邮件的有些快车是带邮件的。在这种情况下,三段论无效,犯有中项两次不周延的错误。〔二运用三段论知识,回答下列各题1．以E命题为大前提,以I命题为小前提进行推理,结论应当是什么？为什么？答：因为大前提E命题为否定命题,所以结论应当为否定命题。因为小前提I命题为特称命题,所以结论应当为特称命题。可见,结论特称否定命题O。2．一个正确的三段论能否三个项都周延两次？为什么？答：不能。如果三段论的三个项都周延两次,那么该三段论就是EEE式,而两个否定前提是得不出结论的。3．为什么结论是否定命题的三段论有效式的大前提不能是I命题？答：如果结论为否定命题,那么大项P在结论中是周延的。如果大前提是I命题,那么大项在大前提中是不周延的。这就出现了矛盾。所以,结论是否定命题的三段论有效式的大前提不能是I命题。4．如果一个有效三段论的结论为SAP,它的大小前提各是什么？写出它的逻辑形式。答：如果一个有效三段论的结论为SAP,那么它的大小前提都应当为全称肯定命题。但是,中项M在大小前提中不能都是谓项,否则就会两次不周延。如果小项S在小前提中为谓项,那么小项S在小前提就是不周延的,但小项在结论中是周延的。出现矛盾。因此,小项S在小前提中是主项。因此,小前提只能是SAM。所以,大前提只能是MAP。该三段论的形式是：MAP∧SAM├SAP。〔三以"北京人都是中国人,有的北京人不是工人"为前提,能否必然推出下列结论？为什么？1．有的工人不是中国人。答：不能,因为它们组成的三段论犯有大项扩大的错误。2．有的中国人不是工人。答：可以推出。因为它们能够组成有效的三段论。〔四写出下列议论中所运用的推理形式,并分析其有效性。过失犯罪不是故意犯罪,共同犯罪是故意犯罪,所以共同犯罪不是过失犯罪；合伙走私是共同犯罪,可见合伙走私不是过失犯罪,或者说,合伙走私是故意犯罪。解：第一个推理是"过失犯罪不是故意犯罪,共同犯罪是故意犯罪,所以共同犯罪不是过失犯罪",它的推理形式是：PEM∧SAM├SEP。这是有效的三段论。第二个推理是"共同犯罪不是过失犯罪,合伙走私是共同犯罪,可见合伙走私不是过失犯罪",它的推理形式是：MEP∧SAM├SEP。这是有效的三段论。第三个推理是"共同犯罪是故意犯罪,合伙走私是共同犯罪,可见合伙走私是故意犯罪",它的推理形式是：MAP∧SAM├SAP。这是有效的三段论。七、证明题1．设A表示命题"所有精通逻辑的都精通英语",B表示"所有精通英语的不精通数学",C表示"有些精通数学的精通逻辑"。证明：若A与B均真,则C假。证明：以命题B和A分别为大小前提得：所有精通逻辑的不精通数学。换质得：所有精通逻辑的都不是精通数学的。换位得：所有精通数学的都不是精通逻辑的。该命题与C相矛盾。所以,如果A和B均真,那么C为假。2．用三段论规则证明：第四格的大小前提均不能是O命题。证明：用反证法。〔1假设大前提为O。由于前提之一是否定的,结论必然是否定的,所以大项在结论中周延。但是,由第四格的结构可知,假如大前提是O命题,那么大项在前提中就是不周延的。这违反三段论规则：在前提中不周延的项,在结论中也不得周延。所以,大前提不能是O。〔2假定小前提为O,则由第四格的结构可知,中项M是不周延的。由于中项在前提中必须至少周延一次,所以M在大前提中应为周延的。M在大前提中为谓项,只有大前提取否定的时候,M才有可能是周延的。但是,两否定前提不能得出结论。所以,小前提不能为O。3．若以A和B为前提可必然推出C,而D与C矛盾,E与A矛盾。证明：由D和B可以必然推出E。证明：〔1<A∧B>├C 已知〔2D→﹁C 已知〔3﹁A→E 已知〔4D∧B 假设〔5D 〔4,联言推理分解式〔6B 〔4,联言推理分解式〔7﹁C 〔2、〔5,充分条件推理的肯定前件式〔8﹁<A∧B> 〔1、〔7,充分条件推理的否定后件式〔9﹁A∨﹁B 〔8,德摩根定律〔10﹁﹁B 〔6的等值命题〔11﹁A 〔9、〔10,选言推理的否定肯定式〔12E 〔3、〔11,充分条件推理的肯定前件式〔13<D∧B>→E 〔4、〔12,→引入〔14<D∧B>├E 〔13,→与├的转换4．若ABC分别为有效三段论的前提和结论,D是与C相矛盾的直言命题。证明：ABD中必然有两个肯定命题。证明：因为D与C矛盾,所以〔1若D为肯定命题,则C为否定命题。根据三段论规则"结论否定,前提之一必否定"可知,AB中必有一否定命题。所以,ABD中有两个肯定命题。〔2若D为否定命题,则C为肯定命题。根据同样的三段论规可知,AB均为肯定。所以,ABD中有两个肯定命题。5．中项周延两次的三段论有效式的结论不能是全称命题。证明：假设其结论为全称命题,则小项在结论中为周延。如果小项和中项在小前提中都周延。那么小前提应当是否定命题。如果小前提是否定命题,那么结论也应当是否定命题。如果结论是否定命题,那么大项在结论中是周延的。如果大项在结论中是周延的,那么它在大前提中也应当是周延的。如果大项和中项都周延,那么大前提应当是否定命题。但是,两个否定前提得不出结论。这与假设相矛盾。所以,中项周延两次的三段论有效式的结论不能是全称命题。6．若ABC分别为有效三段论的前提和结论,D是与B相矛盾的性质命题,证明D∧B├C不是有效的三段论。证明：已知A∧B├C有效,则A∧﹁B├C无效。因为已知D与B相矛盾,所以D∧A├C无效。八、综合题1．有一个有效三段论的中项在大小前提中均周延,大项、小项在结论中均不周延。那么,此三段论是哪一格的什么式？答：因为大项和小项在结论中均不周延,所以结论为特称肯定命题。因为结论为肯定命题,所以两前提均为肯定命题。因为两前提都是肯定命题,中项在两前提中均周延,所以中项在两前提中均处于主项位置,大小前提均为全称命题肯定命题。所以,这个三段论是第三格的AAI式。2．有一个有效三段论的大项在前提中不周延,小项在结论中周延。那么,此三段论是哪一格的什么式？答：因为小项在结论中周延,所以小项在前提中也周延。大项在前提中不周延,所以大项在结论中也不周延。因为小项在结论中周延,大项在结论中不周延,所以结论为全称肯定命题。因为结论是全称肯定命题,所以两前提均为肯定命题。因为小项在前提中周延,小前提为肯定命题,所以小前提为全称肯定命题,小项在小前提中处于主项位置。因为大项在大前提中不周延,大前提为肯定命题,所以大前提为全称肯定命题,大项在大前提中位于谓项。所以,该三段论为第一格的AAA式。3．有一个有效三段论的大前提是肯定的,大项在结论中周延,小项在前提中不周延。那么,此三段论是哪一格的什么式？答：因为大项在结论中周延,所以结论为否命题。因为结论为否定命题,大前提为肯定命题,所以小前提为否定命题。因为大项在结论中周延,所以大项在前提中也周延。因为大项在前提中周延,大前提为肯定命题,所以大项在大前提中处于主项的位置,大前提为全称肯定命题。因为小项在前提中不周延,小前提为否定命题,所以小项在小前提中处于主项的位置,小前提为特称否定命题。因为小前提是特称否定命题,所以结论也是特称否定命题。所以,该三段论为第二格的AOO4．有一个有效的三段论的大项在前提和结论中都是周延的,小项在前提和结论中都是不周延的,其大前提是肯定命题。请问,此三段论是哪一格的什么式？答：因为大项在结论中周延,小项不周延,所以结论为特称否定命题。因为结论是否定命题,大前提是肯定命题,所以小前提是否定命题。因为大项在前提中周延,大前提是肯定的,所以大项在大前提中处于主项位置,中项在大前提中处于谓项位置,大前提为全称肯定命题。因为小项在小前提中不周延,小前提是否定的,所以小项在小前提中是主项,中项在小前提中是谓项,小前提是特称否定命题。所以,该三段论是第二格的AOO式。5．有一个有效三段论的大项在大前提中是周延的,但在结论中不周延。请问,它是哪一格的什么式？答：因为大项在结论中不周延,所以结论为肯定命题。因为结论为肯定命题,所以大小前提均为肯定命题。因为大项在前提中周延,大前提为肯定命题,所以大项在大前提中在主项上,中项在大前提中在谓项的位置上,大前提为全称肯定命题,中项在不周延。因为中项在大前提中不周延,所以中项在小前提中必定是周延的。因为中项在小前提中是周延的,小前提是肯定命题,所以中项在小前提中在主项位置上,小项在小前提中不周延,小前提为全称肯定命题。因为小项在前提中不周延,所以小项在结论中也不得周延。因为小项在结论中不周延,结论为肯定命题,所以结论为特称肯定命题。所以,该三段论是第四格的AAI式。九、用凡恩图判定下列三段论式是否有效1．第一格EAE式2．第二格AEE式3．第三格AOO式4．第四格EIO式解：第一格EAE式,即MEP∧SAM├SEP。第二格AEE式,即PAM∧SEM├SEP。它们的凡恩图如下所示：可见,三段论的第一格EAE式和第二格AEE式都是有效的。第三格AOO式,即MAP∧MOS├SOP。第四格EIO式,即PEM∧MIS├SOP。它们的凡恩图如下所示：显然可见,三段论的第三格AOO式是无效的,第四格EIO式是有效的。第五章复合命题及其推理〔上一、填空题1．复合命题是〔包含其他命题的命题,其命题形式的变项是〔简单命题。2．复合命题的逻辑性质是由〔命题联结词决定的,复合命题的真假是由〔命题联结词和支命题决定的。解析：当然,如果给定命题联结词,例如对于联言命题,那么复合命题的真假就是由支命题决定的。3．一个联言命题只要有一个联言支为〔假,则该联言命题就是假的；只有当联言支〔都为真时,联言命题才真。解析：这里的"只有……才"换为"当且仅当"更好。4．一个相容选言命题只要有一个选言支为〔真,则该命题就是真的；只有选言支〔都假时,它才假。解析：这里的"只有……才"换为"当且仅当"更好。5．如果p假则q假,那么p是q〔必要条件,非p是非q的〔充分条件。6．如果p←q取值为假,则p∧q取值为〔假,pq取值为〔真。7．当q为假时,要使p→q为真,则p应取〔假值。8．如果p为任意值,要使p←q为真,q应取〔假值。二、单项选择题1．两个假言命题的逻辑形式相同,其相同的是〔DA．前件和后件 B．前件和联结词C．后件和联结词 D．联结词2．如果一个包含两个选言支的不相容选言命题为真,则其两个选言支〔DA．可同真且可同假 B．可同真但不可同假C．不可同真但可同假 D．不可同真不可同假3．下列命题形式中,与pq既不同真又不同假的是〔CA．p→q B．p←qC．p↔q D．p∨q4．若"如果某甲掌握两门外语,那么他精通逻辑"为假,则下列为真的是〔BA．某甲掌握两门外语并且精通逻辑 B．某甲掌握两门外语但不精通逻辑C．某甲没掌握两门外语但精通逻辑 D．某甲没掌握两门外语也不精通逻辑5．以"A并且B"和"非B或者C"为前提进行演绎推理,可得出的结论是〔CA．A并且非B B．B并且非CC．B并且C D．A并且非C6．在下列表达式中,正确表达直言命题中的A命题与O命题之间真假关系的是〔DA．A→﹁O B．﹁A→OC．A∨O D．AO7．命题"老赵、老钱、老孙三人至少有一人是复员军人"可表示为〔CA．<p∧q>∨r B．pqrC．p∨q∨r D．p→<q∧r>8．"不是在保守中落后,就是在改革中进步"与"不是在保守中落后,而是在改革中进步"这两个命题〔DA．都是选言命题B．都是联言命题C．前者为联言命题,后者为选言命题D．前者为充分条件命题,后者为联言命题注意,"不是在保守中落后,就是在改革中进步"的意思是"如果不是在保守中落后,那么就是在改革中进步",是充分条件命题。选项D原为"前者为选言命题,后者为联言命题"。这样的话,就没有一个选项是正确的。因此,我将选项D改为"前者为充分条件命题,后者为联言命题"。9．"这部作品或者思想性不强,或者艺术性不高,或者既思想性不强又艺术性不高"这一命题应符号化为〔CA．p∨q∨r B．pqrC．p∨q D．pq解析：不相容析取命题为真,当且仅当,一个析取支为真。选项B和D显然不符合不相容析取命题的特征。相同命题表示为相同符号,这是符号化的一个基本原则。如果以p表示"思想性不强",以q表示"艺术性不高",那么这个符合命题应当符号化为：p∨q∨<p∧q>。由合取对析取的分配律,即A∨<B∧C>=<A∨B>∧<A∨C>可得,p∨q∨<p∧q>=<p∨q∨p>∧<p∨q∨q>由析取结合律可得,<p∨q∨p>∧<p∨q∨q>=<p∨p∨q>∧<p∨q∨q>由于任何命题析取其自身仍然等于该命题,即A∨A=A,任何命题合取其自身仍然等于该命题,即A∧A=A,所以<p∨p∨q>∧<p∨q∨q>=<p∨q>∧<p∨q>=p∨q所以,正确答案为C。注,析取对合取的分配律是A∧<B∨C>=<A∧B>∨<A∧C>。10．"如果不以事实为根据,或者不以法律为准绳,则不能公正断案",这个命题的逻辑形式为〔CA．p∧q B．p∨qC．<p∨q>→r D．<﹁p∧﹁q>→r11．如果"p当且仅当非q"与"q"均真,则下列命题形式为真的是〔CA．p∧q B．p∧﹁qC．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q12．环境污染已经成为全世界普遍关注的问题,科学家和环保组织不断发出警告：如果我们不从现在起就重视环境保护,那么有一天人类将无法在地球上生存。以下哪项解释最符合上述警告的含义？〔EA．如果从后天而不是明天起就重视环境保护,人类的厄运就要早一天到来。B．如果我们从现在起开始重视环境保护,人类就可以在地球上永久生活下去。C．只要我们从现在起开始重视环境保护,人类就不至于在地球上生存不下去。D．由于科学技术发展迅速,在厄运到来之前人类就可能移居到别的星球上去了。E．对环境污染的严重性要有高度认识,并且要尽快采取行动做好环保工作。13．远大公式生产的小轿车都安装了驾驶员安全气囊。在安装驾驶员安全气囊的小轿车中,有80%安装了乘客安全气囊。只有安装乘客安全气囊的小轿车才会同时安装减轻冲击力的安全杠和防碎玻璃。如果上述断定为真,并且事实上李先生从远大公司购进的一辆小轿车中装有防碎玻璃,则以下哪项断定一定是真的？〔C〔1这辆车一定装有安全杠。〔2这辆车一定装有乘客安全气囊。〔3这辆车一定装有驾驶员安全气囊。A．仅〔1 B．仅〔2 C．仅〔3D．仅〔1和〔2 E．〔1、〔2和〔3解析：只有安装乘客安全气囊的小轿车才会同时安装减轻冲击力的安全杠和防碎玻璃如果同时安装减轻冲击力的安全杠和防碎玻璃的小轿车则安装乘客安全气囊。前提中没有给出李先生从远大公司购进的一辆小轿车是否装有减轻冲击力的安全杠,所以从"李先生从远大公司购进的一辆小轿车中装有防碎玻璃"推不出"李先生从远大公司购进的一辆小轿车中装有乘客安全气囊"。14．如果小赵参加宴会,那么小钱、小孙和小李将一起参加宴会。如果上述断定是真的,以下哪项也是真的？〔EA．如果小赵没有参加宴会,那么小钱、小孙和小李三人中至少有一人没有参加宴会。B．如果小赵没有参加宴会,那么小钱、小孙和小李都没有参加宴会。C．如果小钱、小孙和小李都参加宴会,那么小赵也参加宴会。D．如果小李没有参加宴会,那么小钱和小孙不会都参加宴会。E．如果小孙没有参加宴会,那么小赵和小李不会都参加宴会。解析：如果小孙没有参加宴会,那么小钱、小孙和小李不是一起参加宴会。如果小钱、小孙和小李不是一起参加宴会,那么小赵没有参加宴会。所以,如果小孙没有参加宴会,那么小赵和小李不会都参加宴会。15．建德小区有住户家发现白蚁。除非小区中有住户家发现白蚁,否则任何小区都不能免费领取高效灭蚁灵。金沙小区可以免费领取高效灭蚁灵。如果上述断定都是真的,以下哪项据此不能断定真假？〔D〔1建德小区有的住户家没有发现白蚁。〔2建德小区能免费领取高效灭蚁灵。〔3金沙小区有的住户家发现白蚁。A．只有〔1 B．只有〔2 C．只有〔3D．只有〔1和〔2 E．〔1、〔2和〔3解析：由"建德小区有住户家发现白蚁",不能必然推出"建德小区有住户家没有发现白蚁"。由"建德小区有住户家发现白蚁"和"除非小区中有住户家发现白蚁,否则任何小区都不能免费领取高效灭蚁灵",不能必然推出"建德小区能免费领取高效灭蚁灵"。因为这里使用的是必要条件命题的肯定前件式推理。但是,必要条件命题的肯定后件式是必然性推理。因此,正确答案为D。三、双项选择题1．在下列选言推理形式中,无效的有〔ABA．<p∨q>∧p├﹁q B．<pqr>∧﹁p├q∧rC．<pqr>∧﹁p├qr D．<p∨q∨r>∧﹁p├q∨rE．<p∨q∨r∨s>∧<﹁p∧﹁q>├r∨s2．在下列充分条件推理形式中,有效的是〔BDA．<p→﹁q>∧﹁p├q B．<p→﹁q>∧q├﹁pC．<﹁p→q>∧p├﹁q D．<﹁p→﹁q>∧q├pE．<﹁p→q>∧q├﹁p3．在下列必要条件推理形式中,无效的有〔DEA．<p←﹁q>∧﹁q├p B．<﹁p←q>∧p├﹁qC．<﹁p←﹁q>∧p├q D．<﹁p←q>∧﹁p├qE．<p←﹁q>∧q├﹁p4．"只有触犯刑律,才能构成犯罪"作为前提进行〔有效假言推理,另一前提可以是〔CDA．触犯刑律 B．没有构成犯罪 C．没有触犯刑律D．构成犯罪 E．并未构成犯罪注意,原题中没有"有效",但必须加上这个限制条件,该题才显得合适。5．以<﹁p∨﹁q>∧<r∧s>为前提进行推理,可以有效推出的结论有〔BDEA．﹁r∨﹁s B．r∧s C．﹁p∧﹁qD．﹁p∨﹁q E．r∨s注意,题干的<﹁p∨﹁q>∧<r∧s>原为<﹁p∨﹁q>←<r∧s>,但<﹁p∨﹁q>←<r∧s>的主联结词必须改为∧,该题才显得有些合适。之所以仅仅说有些合适,是因为它有三个正确选项。因为,<﹁p∨﹁q>∧<r∧s>├r∧s├r├r∨s<﹁p∨﹁q>∧<r∧s>├﹁p∨﹁q6．对于有效的推理形式来说,前提与结论之间可能具有关系是〔BEA．矛盾关系 B．等值关系 C．下反对关系D．反对关系 E．蕴涵关系7．对于有效的直接推理而言,其前提与结论之间不可能具有的关系是〔ADA．矛盾关系 B．等值关系 C．差等关系D．反对关系 E．蕴涵关系8．以﹁p为前提进行有效推理,另一前提可以是〔ACA．p←﹁q B．p→﹁q C．p∨qD．﹁p∨﹁q E．﹁p←q9．一个有效推理的前提之一是p,结论是﹁q,它的另一个前提可以是〔BDA．p∨q B．pq C．p←﹁qD．﹁p↔q E．p→q10．以〔1﹁q、〔2p∨q、〔3p→r为前提推出结论r,所用的推理形式有〔CDA．选言推理的肯定否定式 B．联言推理的分解式C．选言推理的否定肯定式 D．充分条件推理的肯定前件式E．充分条件推理的否定后件式解析：﹁p∧<p∨q>├p,<p→r>∧p├r四、多项选择题1．下列假言推理为有效式的有〔BDEA．<﹁p→q>∧p├﹁q B．<p→﹁q>∧q├﹁p C．<﹁p←﹁q>∧﹁p├qD．<p←﹁q>∧﹁q├p E．<p→﹁q>∧p├﹁q2．以﹁p为前提进行有效推理,如果希望得到﹁q为结论,可增加的另一个前提有〔BCDA．p→﹁q B．q→p C．p∨﹁qD．p↔q E．p→q3．以〔1p∨q∨﹁r、〔2<p∨q>→<s∧﹁q>、〔3r为前提推出结论p∧r,所用的推理形式有〔BCDEA．一次运用选言推理的否定肯定式 B．联言推理的分解式C．两次运用选言推理的否定肯定式 D．充分条件推理的肯定前件式E．联言推理的组合式注意,为了避免混淆,题干中的"p∨q→s∧﹁q"需要改为"<p∨q>→<s∧﹁q>"。五、图解题1．〔1如果P不与M全异,则S与P全异。〔2如果S与M全异,则S与P交叉。〔3S不与P全异,也不与P交叉。试推出S、M、P三者的外延关系,并用欧拉图表示之。解：设j表示P与M全异,k表示S与P全异,m表示S与M全异,n表示S与P交叉,则〔1﹁j→k 已知〔2m→n 已知〔3﹁k∧﹁n 已知〔4﹁k 〔3,联言推理的分解式〔5﹁n 〔3,联言推理的分解式〔6﹁﹁j 〔1、〔4,充分条件推理的否定后件式〔7j 〔6,等值命题〔8﹁m 〔2、〔5,充分条件推理的否定后件式同时满足"S不与P全异"、"S不与P交叉"、"P与M全异"和"S不与M全异"等四个条件的欧拉图有两个：PPSMPSM2．已知：〔1如果B不与D全异,则B真包含于D。〔2只有A真包含于B,C才与D全异。〔3B与D相容,但C与D不相容。试确定A与D的关系,并用欧拉图表示之。解：设p表示B与D全异,q表示B真包含于D,r表示A真包含于B,s表示C与D全异,则〔1﹁p→q 已知〔2r←s 已知〔3﹁p∧s 已知〔4﹁p 〔3,联言推理的分解式〔5s 〔3,联言推理的分解式〔6q 〔1、〔4,充分条件推理的肯定前件式〔7r 〔2、〔5,必要条件推理的肯定后件式同时满足"B与D相容"、"C与D全异"、"B真包含于D"和"A真包含于B"等四个条件的欧拉图如下所示：AACBD六、表解题1．用真值表方法回答：丁的话是否成立,为什么？甲：只有小王不上场,小李才上场。乙：如果小王上场,则小李上场。丙：小王上场,当且仅当小李上场。丁：甲、乙、丙的话不能都对。解：令p表示小王上场,q表示小李上场,则甲乙丙三人的话可以分别符号化为：甲：﹁p←q乙：p→q丙：p↔q做它们的真值表：pq﹁p﹁p←qp→qp↔q110011100100011110001111由真值表可以看出,在第四种真值组合情况下,甲乙丙的话都真。所以,丁的话不成立。2．设下列三句话一真两假,请列出它们的真值表,并回答：甲是否是工人？乙是否是营业员？A：如果甲是工人,那么乙是营业员。B：如果乙是营业员,那么甲是工人。C：乙不是营业员。解：令p表示甲是工人,q表示乙是营业员,则A：p→qB：q→pC：﹁q做它们的真值表：pqp→qq→p﹁q11110100110110000111从真值表可以看出,第三种真值组合情况符合题意。所以,甲不是工人,乙是营业员。3．用真值表方法说明丁的判断是否正确。甲：小张在同济大学,小李不在交通大学。乙：要么小张在同济大学,要么小李不在交通大学。丙：只有小张不在同济大学,小李才在交通大学。丁：你们三人不能都对。解：以p表示小张在同济大学,q表示小李在交通大学,则：甲：p∧﹁q乙：p﹁q丙：﹁p←q做它们的真值表：Pq﹁p﹁qp∧﹁qp﹁q﹁p←q1100010100110101100010011011从上述真值表可以看出,丁的判断是正确的。七、分析题〔一下列推理是否有效？为什么？1．或者"全班同学都是团员"为假,或者"全班同学都不是团员"为假；"全班同学都不是团员"为假；所以"全班同学都是团员"为真。答：设p表示"全班同学都是团员",q表示"全班同学都不是团员",则该推理可以符号化为<﹁p∨﹁q>∧﹁q├p。这属于选言推理的肯定否定式,是无效的。2．已知若A不是B,则C是D。C不是D,因为A是B。答：可令p表示A是B,q表示C是D,则该推理可以进一步符号化为<﹁p→q>∧p├﹁q,这属于充分条件推理的否定前件式,是无效的。3．只有快车,才在这一站停车；上一列车是快车。所以,它在这一站停车。答：这个推理属于必要条件推理的肯定前件式,是无效的。4．如果桥梁被水冲坏了,汽车就不会准时回来,现在汽车没有准时回来,所以桥梁被水冲坏了。答：这个推理属于充分条件推理的肯定后件式,是无效的。5．这个词项是肯定命题的谓项,因为这个词项不周延。只要是肯定命题的谓项,它就是不周延的。答：这个推理实际上是：如果一个词项是肯定命题的谓项,那么它就是不周延的；这个词项不周延,所以这个词项是肯定命题的谓项。这个推理属于充分条件推理的肯定后件式,是无效的。6．我们队除非技术发挥好、配合好,才能战胜乙队；我们队总是配合不好,可见我们队不能战胜乙队。答：这个推理属于必要条件推理的否定前件式,是有效的。〔二下列议论中运用了哪些推理形式1．若物价高〔p,则工人生活就苦〔q；或许是物价高,或许存在物价控制〔r；若存在物价控制,就不会通货膨胀〔s；现在通货膨胀；因此,工人生活苦。解：按照题中所设定的符号,这个推理的推理过程及其所运用的推理形式可以示意如下：〔1<p→q> 已知〔2p∨r 已知〔3r→﹁s 已知〔4s 已知〔5﹁r 〔3、〔5,充分条件推理的否定后件式〔6p〔2、〔5,相容选言推理的否定肯定式〔7q〔1、〔6,充分条件推理的肯定前件式注意,题干中的"就不会通货膨胀〔r"应当改为"就不会通货膨胀〔s"。2．对待外国科学文化,或是一概排斥〔p,或是一概照搬〔q,或是批判吸收〔r；如果一概排斥,就会远远落在后面〔s；而我们一定要迎头赶上。如果一概照搬,我们就会变成帝国主义的附庸〔t,而我们的目标是建立自主的社会主义国家。解：按照题中所设定的符号,这个推理的推理过程及其所运用的推理形式可以示意如下：〔1p∨q∨r 已知〔2p→s 已知〔3﹁s 已知〔4q→t 已知〔5﹁t 已知〔6﹁q〔4、〔5,充分条件推理的否定后件式〔7﹁p 〔2、〔3,充分条件推理的否定后件式〔8﹁p∧﹁q 〔6、〔7,联言推理的组合式〔9r 〔1、〔8,选言推理的否定肯定式八、综合题1．已知：〔1如果甲乙丙三人都是盗窃犯,则01、02、03号三个案件都能破获。〔201号案件没有破获。〔3如果甲不是盗窃犯,则甲的供词都是真的,而甲说乙不是盗窃犯。〔4如果乙不是盗窃犯,则乙的供词都是真的,而乙说他和丙是好朋友。〔5现已查明,丙根本不认识乙。请问,三人中只有谁不是案犯。解：设pqr分别表示甲乙丙是盗窃犯,stu表示01、02和03号三个案件都得以破获,v表示甲的供词为真,w表示乙的供词为真,x表示乙与丙是好朋友。则〔1<p∧q∧r>→<s∧t∧u> 已知〔2﹁s 已知〔3﹁p→﹁q 已知〔4﹁p→v∧﹁q 已知〔5﹁q→w∧x 已知〔6﹁x 已知〔7﹁s∨﹁t∨﹁u 〔2,析取附加式〔8﹁<s∧t∧u> 〔7,德摩根定律〔9﹁<p∧q∧r> 〔1、〔8,充分条件推理的否定后件式〔10﹁p∨﹁q∨﹁r 〔9,德摩根定律〔11﹁x∨﹁w 〔6,析取附加式〔12﹁<x∧w> 〔11,德摩根定律〔13q 〔5、〔12,充分条件推理的否定后件式〔14p 〔3、〔13,充分条件推理的否定后件式〔5﹁r 〔10、〔13、〔14,相容选言推理的否定肯定式所以,丙不是罪犯。2．甲乙丙丁是某案的证人。法庭决定,〔1只有当甲和乙出庭作证时,丙才出庭作证；〔2如果乙出庭作证,那么丁不出庭作证。请问,当丙出庭作证时,丁是否出庭作证。解：令pqrs分别表示甲乙丙丁出庭作证,则〔1<p∧q>←r 已知〔2q→﹁s 已知〔3r 假设〔4p∧q 〔1、〔3,必要条件推理的肯定后件式〔5q 〔4,联言推理的分解式〔6﹁s 〔2、〔5,充分条件推理的肯定前件式所以,丁不出庭3．一天夜里,某商店被盗。经刑警反复侦查,掌握如下事实：〔1盗贼可能是A,也可能是B,不可能是别人。〔2如果A的证词可靠,则作案时间必在零点以前。〔3只有零点时商店灯光未灭,A的证词才不可靠。〔4如果B是盗贼,作案时间必在零点以后。〔5零点时商店灯光已灭,B此时尚未回家。请问：A、B两人之中究竟谁是盗贼？解：设pq分别表示AB是盗贼,r表示A的证词可靠,s表示作案时间在零点以前,t表示零点时商店灯光已灭,u表示B回家,则〔1p∨q 已知〔2r→s 已知〔3﹁t←﹁r 已知〔4q→﹁s 已知〔5t∧﹁u 已知〔6t 〔5,联言推理的分解式〔7﹁﹁r 〔3、〔6,必要条件推理的否定前件式〔8r 〔7,等值命题〔9s 〔2、〔8,充分条件推理的肯定前件式〔10﹁q 〔4、〔9,充分条件推理的否定后件式〔11p 〔1、〔10,选言推理的否定肯定式所以,A是盗贼。4．根据下列条件能确定甲乙丙丁戊哪几个人上场？不能确定那些人是否上场？〔1如果乙上场,那么甲和丙都上场。〔2如果甲和丙中有人不上场,那么乙上场。〔3只有甲不上场,乙才不上场。〔4丙不上场或戊上场。解：令pqrs分别表示甲乙丙戊上场,则〔1q→<p∧r>〔2<﹁p∨﹁r>→q〔3﹁p←﹁q〔4﹁r∨s做它们的真值表：pqrs﹁p﹁q﹁rp∧r﹁p∨﹁rq→p∧r﹁p∨﹁r→q﹁p←﹁q﹁r∨s1111000101111111000010111011010010101111100001010111101101010110110100101011001001011011001100001101100101111000101110110100010110010110101011101001010101110011110011011001011001101000011110110110000111011011由真值表可见,前提条件都为真,当且仅当,甲乙丙戊都上场。前提条件不涉及丁,所以不能确定丁是否上场。5．某案的两名凶手在ABCDE五人之中。在下列条件下,凶手是谁？〔1只有A是凶手,B才是凶手。〔2只要D不是凶手,C就不是凶手。〔3或者B是凶手,或者C是凶手。〔4D没有E为帮凶,就不会作案。〔5E没有作案时间。解：设pqrst分别表示ABCDE是凶手,则〔1p←q 已知〔2﹁s→﹁r 已知〔3q∨r 已知〔4﹁<s∧t>→﹁s 已知〔5﹁t 已知〔6﹁t∨﹁s 〔5,析取推理的附加式〔7﹁<s∧t> 〔6,德摩根定律〔8﹁s 〔4、〔7,充分条件推理的肯定前件式〔9﹁r 〔2、〔8,充分条件推理的肯定前件式〔10q 〔3、〔9,相容选言推理的否定肯定式〔11p 〔1、〔10,必要条件推理的肯定后件式所以,AB是凶手。第六章复合命题及其推理〔下一、填空题1．与"并非做坏事而不受惩罚"这个命题等值的充分条件命题是〔如果做坏事则受惩罚。2．"只有通过考试,才能录取"转换为等值的充分条件命题是〔如果录取,则通过考试,转换为等值的联言命题的负命题是〔并非没有通过考试但录取。3．"并非小王既是大学生又是运动员"等值于选言命题〔小王不是大学生或者不是运动员,也等值于充分条件命题〔如果小王是大学生,那么他不是运动员。注意,它还等值于"如果小王是运动员,那么他不是大学生。4．由p∧q真能推出p∨q〔真,由p∨﹁q假能推出﹁p∧q〔真。5．负命题的支命题与负命题的等值命题之间是〔矛盾关系。6．"并不是除非你让步,他才能签字",这个负命题的等值命题是〔你不让步,他也签字。7．与p∧﹁q相矛盾的蕴涵式是〔p→q。8．二难推理简单构成式的两个假言前提的前件〔不相同、后件〔相同,简单破坏式的两个假言前提的前件〔相同而后件〔不相同。9．以"如果p那么q"和"如果r那么s"为假言前提进行二难推理,则推出的结论可以是〔q∨s或〔﹁p∨﹁r。10．以p→<﹁q∧﹁r>和q为前提进行推理,结论是〔﹁p。二、单项选择题1．在以下命题形式中,与p→q具有等值关系是〔DA．p∧q B．﹁p∧q C．p∨q D．﹁p∨q2．"张云不是钢铁工人,也不是石油工人"与"如果张云是钢铁工人,那么张云不是石油工人",这两个命题在真值方面〔AA．可同真并且可同假 B．可同真但不可同假C．不可同真但可同假 D．不可同真并不可同假3．在下列命题形式中,与p∨q相矛盾的是〔CA．﹁p∨﹁q B．﹁p→q C．﹁p∧﹁q D．p←q4．下列与p∨﹁q想等值的命题是〔CA．﹁<p∧﹁q> B．﹁p∨q C．﹁<﹁p∧q> D．﹁<p→﹁q>5．当p∨﹁q和p↔q仅有一真时,则下列命题形式为真的是〔BA．p∧q B．p∧﹁q C．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q解析：做出p∨﹁q和p↔q的真值表,可以看出,p∨﹁q和p↔q仅有一真,当且仅当,p为真且q为假。所以,选B。6．在下列各组命题形式中,具有不可同真但可同假关系的是〔DA．SAP与SOP B．p→q与﹁p→﹁qC．p∨q与﹁p∨﹁q D．p∧q与p∧﹁q7．以p→q、r→q、s→p∨r、s为前提进行推理,结论为〔CA．p B．﹁p C．q D．﹁q8．如果小李喜欢表演,那么他就要报考戏剧学院；如果他不喜欢表演,那么他可以成为戏剧理论家；如果他不报考戏剧学院,那么他就不能成为戏剧理论家。由此可以推出小李〔DA．不喜欢表演 B．成为戏剧理论家 C．不包括戏剧学院D．报考戏剧学院 E．不成为戏剧理论家解析：由矛盾律和排中律可知,小李喜欢表演,或者不喜欢表演。根据二难推理的复杂构成式,由"如果小李喜欢表演,那么他就要报考戏剧学院；如果他不喜欢表演,那么他可以成为戏剧理论家"可得,他报考戏剧学院,或者他成为戏剧理论家。"他报考戏剧学院,或者他成为戏剧理论家"等值于"如果他不报考戏剧学院,那么他成为戏剧理论家"。由矛盾律和排中律可知,他成为戏剧理论家,或者不能成为戏剧理论家。根据二难推理的复杂破坏式,由"如果他不报考戏剧学院,那么他成为戏剧理论家"和"如果他不报考戏剧学院,那么他就不能成为戏剧理论家"可得,他报考戏剧学院。9．一个心理健康的人,必须保持自尊；一个人只有受到自己尊敬的人的尊敬,才能保持自尊；而一个用追星方式来表达自己尊敬情感的人,不可能受到自己尊敬的人的尊敬。以下哪项结论可以从题干的断定推出？〔AA．一个心理健康的人,不可能用追星的方式来表达自己的尊敬情感。B．一个心理健康的人,不可能接受用追星的方式所表达的尊敬。C．一个人如果受到自己尊敬的人的尊敬,他〔她一定是个心理健康的人。D．没有一个保持自尊的人会尊敬一个用追星方法表达尊敬情感的人。E．一个用追星的方式表达自己尊敬情感的人,完全可以同时保持自尊。解析："一个人只有受到自己尊敬的人的尊敬,才能保持自尊"等值于"如果一个人保持自尊,那么他会受到自己尊敬的人的尊敬"。按照矛盾律和排中律,一个人受到自己尊敬的人的尊敬,或者不会受到自己尊敬的人的尊敬。根据二难推理的复杂破坏式,由"如果一个人保持自尊,那么他会受到自己尊敬的人的尊敬"和"如果一个人用追星方式来表达自己尊敬情感,那么他不可能受到自己尊敬的人的尊敬"可得,一个人保持自尊,或者用追星方式来表达自己尊敬情感。又由于"一个心理健康的人,必须保持自尊",所以,一个心理健康的人不可能用追星的方式来表达自己的尊敬情感。10．某矿山发生一起严重的安全事故。关于事故原因,甲乙丙丁四位负责人有如下断定：甲：如果造成事故的直接原因是设备故障,那么肯定有人违反操作规程。乙：确实有人违反操作规程,但造成事故的直接原因并不是设备故障。丙：造成事故的直接原因确实是设备故障,但并没有违反操作规程。丁：造成事故的直接原因是设备故障。如果只有一人的断定是真的,那么除了哪项,以下断定都不可能为真〔BA．甲的断定为真,有人违反操作规程。B．甲的断定为真,但没有人违反操作规程。C．乙的断定为真。D．丙的断定为真。E．丁的断定为真。解析：甲与丙的断定是相互否定的,必有一真。根据题意可知,乙和丁的断定都是假的。由乙的断定为假可得：造成事故的直接原因是设备故障,或者没有人违反操作规程。由丁的断定为假可得：造成事故的直接原因不是设备故障。再根据选言推理的否定肯定式可知,没有人违反操作规程。可见,丙的断定是假的,甲的断定是真的。因为没有人违反操作规程,所以选B。三、多项选择题1．当p→﹁q取值为假时,下列形式中取值为真的是〔ABCDEA．p→q B．p←q C．p∧q D．p∨q E．p↔q2．当p→q、q→p和﹁p∨﹁q三个公式均真时,下列公式取值为真的是〔ACDEA．p→﹁q B．﹁p→q C．q→﹁p D．p↔q E．﹁p∧﹁q解析：由p→q和q→p得,p↔q。3．以r←<p∨q>为一个前提,如果要有效地推得r,则可增加的另一个前提为〔ABEA．p B．q C．﹁p D．﹁q E．p∨q4．以﹁p→<q∧r>为一个前提,如果要必然地推出p∧s,则可增加的另一个前提是〔CDEA．s B．﹁q C．﹁q∧s D．﹁r∧s E．<﹁q∨﹁r>∧s5．以p→q、p∨r、r→q和﹁q∨s为前提推出结论s∧q,所用的推理形式有〔ADEA．二难推理的简单构成式 B．二难推理的复杂构成式C．选言推理的肯定否定式 D．选言推理的否定肯定式E．联言推理的组合式解析：<p→q>∧<r→q>∧<p∨r>├qq∧<﹁q∨s>├ss,q├s∧q四、表解题〔一判明下列公式哪些属于永真式、哪些属于协调式、哪些属于矛盾式。1．<p∧﹁p>∨<p∧q>解：做它的真值表,pq﹁pp∧﹁pp∧q<p∧﹁p>∨<p∧q>110011100000011000001000所以,<p∧﹁p>∨<p∧q>是协调式。注,协调式,又叫可满足式。2．<p∨﹁p>∧p∧q解：做<p∨﹁p>∧p∧q的真值表。pq﹁pp∨﹁p<p∨﹁p>∧p<p∨﹁p>∧p∧q110111100110011100001100可见,它是可满足式。3．<p→q>∧﹁p→q解：做<p→q>∧﹁p→q的真值表。pq﹁pp→q<p→q>∧﹁p<p→q>∧﹁p→qTTFTFTTFFFFTFTTTTTFFTTTF可见,<p→q>∧﹁p→q是可满足式。4．A∨<A∧B>↔A解：做A∨<A∧B>↔A的真值表。ABA∧BA∨<A∧B>A∨<A∧B>↔A++++++--++-+--++显然,A∨<A∧B>↔A是永真式。5．<A∧﹁B>∧<﹁A∨B>解：做<A∧﹁B>∧<﹁A∨B>的真值表。AB﹁A﹁BA∧﹁B﹁A∨B<A∧﹁B>∧<﹁A∨B>真真假假假真假真假假真真假假假真真假假真假假假真真假真假显见,<A∧﹁B>∧<﹁A∨B>是矛盾式。〔二符号化以下推理,并用真值表判明它们是否是重言式。1．如果A队在这场球赛中取胜,则A队将赢得这次联赛冠军。所以,如果A队在这场球赛中取胜,并且它继续打下面的场次,则A队将赢得这次联赛冠军。解：令p表示A队在这场球赛中取胜,q表示A队将赢得这次联赛冠军,r表示A队继续打下面的场次,则p→q├<p∧r>→q。〔注意,这里符号化的结果是推理形式,不是逻辑公式。因此,本题的意思是希望用真值表判定<p→q>→<<p∧r>→q>是否是重言式。下述几题类似。做<p→q>→<<p∧r>→q>的真值表如下。pqrp→qp∧r<p∧r>→q<p→q>→<<p∧r>→q>11111111101011101010110000110111011010101100110110001011显然,<p→q>→<<p∧r>→q>是永真式,p→q├<p∧r>→q有效。2．如果市场是自由的,则单独某个供应商不可能左右物价。如果单独某个供应商不可能左右物价,则市场是稳定的。现在市场物价是稳定的,所以市场是自由的。解：令p表示市场是自由的,q表示单独某个供应商左右物价,r表示市场是稳定的,则<p→﹁q>∧<﹁q→r>∧r├p。这里只能用真值表判定<<p→﹁q>∧<﹁q→r>∧r>→p是否是重言式。做<<p→﹁q>∧<﹁q→r>∧r>→p的真值表如下。pqr﹁qp→﹁q﹁q→r<p→﹁q>∧<﹁q→r>∧r<<p→﹁q>∧<﹁q→r>∧r>→p1110010111000101101111111001100101101110010011010011111000011001显见,<<p→﹁q>∧<﹁q→r>∧r>→p不是重言式,<p→﹁q>∧<﹁q→r>∧r├p无效。3．只有知道自己懂得很少的人,才算得上得知。如果一个人算得上得知,那么他就是聪明人。所以,只有知道自己懂得很少的人,才是聪明人。解：令p表示一个人知道自己懂得很少,q表示一个人算得上得知,r表示那么一个人是聪明人,则<p←q>∧<q→r>├p←r。这里只能用真值表判定<<p←q>∧<q→r>>→<p←r>是否是重言式。做它的真值表如下。pqrp←qq→r<p←q>∧<q→r>p←r<<p←q>∧<q→r>>→<p←r>1111111111010011101111111001111101101001010000110011110000011111显见,<<p←q>∧<q→r>>→<p←r>不是重言式,<p←q>∧<q→r>├p←r无效。4．只有搞好经济建设,才算得上国家繁荣富强。只有国家繁荣富强,人民生活水平才能提高。所以,如果搞不好经济建设,就不能使人民生活水平提高。解：令p表示搞好经济建设,q表示国家繁荣富强,r表示人民生活水平提高,则<p←q>∧<q←r>├﹁p→﹁r。这里只能用真值表判定<<p←q>∧<q←r>>→<﹁p→﹁r>是否是重言式。做<<p←q>∧<q←r>>→<﹁p→﹁r>的真值表如下。pqr﹁p﹁rp←qq←r<p←q>∧<q←r>﹁p→﹁r<<p←q>∧<q←r>>→<﹁p→﹁r>11100111111100111111101001001110001111110111001001010110101100110100010001111111显见,<<p←q>∧<q←r>>→<﹁p→﹁r>是重言式,<p←q>∧<q←r>├﹁p→﹁r有效。〔三用归谬赋值法判明以下推理形式是否有效。1．只有A和B一起上场,或对方弃权〔C,我队才会取胜〔D。B未参加且对方未弃权。因此,我队将不能取胜。解：根题意,该推理形式为<<<A∧B>∨C>←D>∧﹁B∧﹁C├﹁D。要用归谬赋值法判定该推理是否有效,就需判定<<<<A∧B>∨C>←D>∧﹁B∧﹁C>→﹁D是否是重言式。由〔1得由〔1得由〔2得由〔3得由〔4得由〔5得由〔6得〔1〔2〔3〔4〔5〔6〔7……<<<<A∧B>∨C>←D>∧﹁B∧﹁C>→﹁D…0假设11110…………1…………1100………………………01…1………………11赋值出现矛盾,所以<<<<A∧B>∨C>←D>∧﹁B∧﹁C>→﹁D是重言式,即推理<<<A∧B>∨C>←D>∧﹁B∧﹁C├﹁D是有效的。2．如果调查继续进行〔A,则将揭露出新的证据〔B。如果揭露出新的证据,则会有若干领导人物受牵连〔C。如果有若干领导人物受牵连,则报纸将不再公布案情〔D。如果继续调查会导致报纸不再公布案情,则揭露新的证据会导致继续调查。调查不再继续。因而新的证据不会被揭露出来。解：根据题意,该推理形式为<A→B>∧<B→C>∧<C→﹁D>∧<<A→﹁D>→<B→A>>∧﹁A├﹁B。要用归谬赋值法判定该推理形式是否有效,就需判定<<A→B>∧<B→C>∧<C→﹁D>∧<<A→﹁D>→<B→A>>∧﹁A>→﹁B是否是重言式。FF<<A→B>∧<B→C>∧<C→﹁D>∧<<A→﹁D>→<B→A>>∧﹁A>→﹁BFFTTTTTTTTTTFFTTTTFFTFTTTF显然,赋值出现矛盾,所以<<A→B>∧<B→C>∧<C→﹁D>∧<<A→﹁D>→<B→A>>∧﹁A>→﹁B是重言式,即推理<A→B>∧<B→C>∧<C→﹁D>∧<<A→﹁D>→<B→A>>∧﹁A├﹁B是有效的。3．如果张丰接到电报〔p,他就会乘飞机赴会〔q。但是,如果张丰未乘飞机赴会,则他将赶不上会议〔﹁r。如果张丰赶上会议,则李盛将被选进委员会〔s。但是,如果李盛被选进委员会,则张丰会接到电报。如果张丰没赶上会议,或张丰未接到电报,则张丰未乘飞机赴会,或李盛未被选进委员会。张丰未赶上会议。因而,张丰未接到电报或者李盛未选进委员会。TTTTTTT<<p→q>∧<﹁q→﹁r>∧<r→s>∧<s→p>∧<<﹁r∨﹁p>→<﹁q∨﹁s>>∧﹁r>→<﹁p∨﹁s>FTTFFTTFTTFFFTFTTTFTTTTTFTTFTTTTTTT<<p→q>∧<﹁q→﹁r>∧<r→s>∧<s→p>∧<<﹁r∨﹁p>→<﹁q∨﹁s>>∧﹁r>→<﹁p∨﹁s>FTTFFTTFTTFFFTFTTTFTTTTTFTTFTTF赋值出现矛盾。所以,<<p→q>∧<﹁q→﹁r>∧<r→s>∧<s→p>∧<<﹁r∨﹁p>→<﹁q∨﹁s>>∧﹁r>→<﹁p∨﹁s>是重言式,即<p→q>∧<﹁q→﹁r>∧<r→s>∧<s→p>∧<<﹁r∨﹁p>→<﹁q∨﹁s>>∧﹁r├﹁p∨﹁s是有效推理。〔四运用真值表法解答下列问题1．请列出下列ABC三个命题的真值表,并回答ABC均真时,甲、乙是否去北京。A：只有甲去北京,乙才去北京。B：如果甲去北京,那么乙也去北京。C：甲不去北京或乙不去北京。解：设p表示甲去北京,q表示乙去北京。则上述三个命题可以分别符号化为：A：p←qB：p→qC：﹁p∨﹁q做它们的真值表：pq﹁p﹁qp←qp→q﹁p∨﹁q1100110100110101100110011111从真值表可以看出,当当ABC均真时,甲和乙都不去北京。2．列出ABC三个命题的真值表,并回答：当ABC中恰有两假时,能否断定甲村所有人家有彩电、能够断定乙村有些人家没有彩电吗？A：只有甲村有些人家没有彩电,乙村所有人家才有彩电。B：甲村所有人家有彩电,并且乙村所有人家有彩电。C：甲村所有人家有彩电,或者乙村所有人家有彩电。解：设p表示甲村有些人家没有彩电,q表示甲村所有人家才有彩电,r表示乙村所有人家才有彩电。则上述三个命题可以分别符号化为：A：p←qB：p∧qC：p∨r做它们的真值表：pqrp←qp∧qp∨r111111110111101101100101011001010001001100000100当ABC中恰有两假时,可以断定并非甲村所有人家都有彩电,但不能断定乙村有些人家没有彩电。3．甲、乙、丙三位领导发表下列意见。请用真值表解答：是否有同时满足甲、乙、丙的意见的方案。甲：如果小张去XX,那么小刘也去XX。乙：只有小张去XX,小刘才去XX。丙：小张去XX,或者小刘去XX。解：设p表示小张去XX,q表示小刘去XX。则上述三个命题可以分别符号化为：甲：p→q乙：p←q丙：p∨q做它们的真值表：pqp→qp←qp∨q11111100110110100110显然,有能够同时满足甲乙丙三人意见的方案,即小张和小刘都去XX。五、证明题〔一利用给出的符号或变项为下面的论证构造形式证明。1．如果日用品短缺日益严重〔p,则物价上涨〔q。如果财政部门改组〔r,则财政管制将不再继续〔﹁s。如果通货膨胀的威胁继续存在〔t,则财政管制将继续下去。如果生产过剩〔u,则物价不会上涨。或者生产过剩,或者财政部门改组。因而,或者日用品短缺不再继续发展,或者通货膨胀的威胁不再继续存在。证明：⑴p→q 已知⑵r→﹁s 已知⑶t→s 已知⑷u→﹁q 已知⑸u∨r 已知⑹q→﹁u ⑷,假言易位推理⑺p→﹁u ⑴、⑹,条件三段论⑻u→﹁p ⑺,假言易位推理⑼﹁s→﹁t ⑶,假言易位推理⑽r→﹁t ⑵、⑼,条件三段论⑾﹁p∨﹁t⑸、⑻、⑽,二难推理的复杂构成式即<p→q>∧<r→﹁s>∧<t→s>∧<u→﹁q>∧<u∨r>├﹁p∨﹁t。2．如果石油供应保持现状〔A而石油消耗量增加〔B,则石油会涨价〔C。如果石油消耗量增加导致石油涨价,则国家要实行石油配给制〔D。石油供应保持现状。因而,国家要实行石油配给制。证明：⑴<A∧B>→C 已知⑵<B→C>→D 已知⑶A 已知⑷﹁<A∧B>∨C⑴,等值命题⑸﹁A∨﹁B∨C⑷,德摩根定律⑹<﹁B∨C>→D⑵,等值命题=7\*GB2⑺<﹁A∨﹁B∨C>→D⑹,条件附加律=8\*GB2⑻D ⑸、=7\*GB2⑺,充分条件推理的肯定前件式即<<A∧B>→C>∧<<B→C>→D>∧A├D。注意：〔1p→q=﹁p∨q。〔2p→<p∨q>叫做析取附加律,其直观含义是：如果p成立,那么p∨q也成立。〔3条件附加律<p→q>→<<p∨r>→q>的直观解释是,如果p蕴涵q,那么给p附加一个条件后,它们仍然蕴涵q。条件附加律可以视为析取附加律的一种扩展。可见,教材介绍的自然推理方法并不够用。当然,它的不足够性不仅仅反映在这一个地方。3．如果宣战是一个正确的战略行动〔D,则或者已有50个师做好战斗准备〔F,或者已有20个远程轰炸机联队准备好发动攻击〔T。然而,并没有50个师已做好战斗准备。因而,如果20个远程轰炸机联队尚未准备好发动攻击,则宣战不是一个正确的战略行动,或者有新的武器可用〔S。证明：⑴D→<F∨T> 已知⑵﹁F 已知⑶﹁T 假设⑷﹁<F∨T>→﹁D⑴,假言易位推理⑸<﹁F∧﹁T>→﹁D ⑷,德摩根定律⑹﹁F∧﹁T⑵、⑶,联言推理的组合式⑺﹁D ⑸、⑹,充分条件推理的肯定前件式⑻﹁D∨S ⑺,析取附加式⑼﹁T→<﹁D∨S> ⑶、⑻,→引入即<D→<F∨T>>∧﹁F├﹁T→<﹁D∨S>。注意,在自然推理系统中,如果需要,可以随时引入→,用上面的公式蕴涵下面的公式,但反之则不然,即不能用下面的公式蕴涵上面的公式。〔二用自然推理的方法证明下述推理的有效性。1．①<A∧B>→<A→D∧E>,②<A∧B∧C>。所以,D∨E。证明：⑴<A∧B>→<A→D∧E> 已知⑵A∧B∧C 已知⑶A∧B ⑵,联言推理的分解式⑷A ⑶,联言推理的分解式⑸A→D∧E ⑴、⑶,充分条件推理的肯定前件式⑹D∧E ⑷、⑸,充分条件推理的肯定前件式⑺D ⑹,联言推理的分解式⑻D∨E ⑺,析取附加式2．①E→F∧﹁G,②F∨G→H,③E。所以,H。证明：⑴E→F∧﹁G 已知⑵F∨G→H已知⑶E 已知⑷F∧﹁G⑴、⑶,充分条件推理的肯定前件式⑸F ⑷,联言推理的分解式⑹F∨G ⑸,析取附加律⑺H ⑵,⑹,充分条件推理的肯定前件式3．①M→N,②N→O,③<M→O>→<N→P>,=4\*GB3④<M→P>→Q。所以,Q。证明：⑴M→N 已知⑵N→O 已知⑶<M→O>→<N→P> 已知⑷<M→P>→Q 已知⑸M→O ⑴、⑵,条件三段论⑹N→P ⑶、⑸,充分条件推理的肯定前件式⑺M→P ⑴、⑹,条件三段论⑻Q ⑷、⑺,充分条件推理的肯定前件式4．①A→B,②B→C,③C→D,=4\*GB3④<A→D>→<B→A>,=5\*GB3⑤﹁A。所以,﹁B。证明：⑴A→B 已知⑵B→C 已知⑶C→D 已知⑷<A→D>→<B→A> 已知⑸﹁A 已知⑹A→C⑴、⑵,条件三段论⑺A→D ⑶、⑹,条件三段论⑻B→A ⑷、⑺,充分条件推理的肯定前件式⑼﹁B ⑸、⑻,充分条件推理的否定后件式5．A∨B→<C∨D→E>。所以,A→<C∧D→E>。证明：⑴A∨B→<C∨D→E> 已知⑵A 假设⑶C∧D 假设⑷A∨B⑵,析取附加律⑸C∨D→E ⑴、⑷,充分条件推理的肯定前件式⑹C ⑶,联言推理的分解式⑺C∨D ⑹,析取附加律⑻E ⑸、⑺,充分条件推理的肯定前件式⑼C∧D→E⑶、⑻,→引入=10\*GB2⑽A→<C∧D→E>⑵、⑼,→引入6．=1\*GB3①A∨B→C∧D,=2\*GB3②D∨E→F。所以,A→F。证明：⑴A∨B→C∧D 已知⑵D∨E→F 已知⑶A 假设⑷A∨B⑶,析取附加律⑸C∧D ⑴、⑷,充分条件推理的肯定前件式⑹D ⑶,联言推理的分解式⑺D∨E⑹,析取附加律⑻F ⑵、⑺,充分条件推理的肯定前件式⑼A→F⑶、⑻,→引入7．=1\*GB3①A∧B→C,=2\*GB3②<A→C>→D,=3\*GB3③﹁B∨E。所以,B→D∧E证明：⑴A∧B→C 已知⑵<A→C>→D 已知⑶﹁B∨E 已知⑷B 假设⑸E ⑶、⑷,选言推理的否定肯定式⑹﹁<A∧B>∨C ⑴,等值命题⑺﹁A∨﹁B∨C⑹,德摩根定律⑻<﹁A∨C>→D ⑵,等值命题⑼<﹁A∨﹁B∨C>→D⑻,条件附加律=10\*GB2⑽D ⑺、⑼,充分条件推理的肯定前件式=11\*GB2⑾D∧E ⑸、=10\*GB2⑽,联言推理的组合式=12\*GB2⑿B→D∧E ⑷、=11\*GB2⑾,→引入8．=1\*GB3①A∨<B∧C>,=2\*GB3②<A→D>∧<D→C>。所以,C。证明：⑴A∨<B∧C> 已知⑵<A→D>∧<D→C> 已知⑶A→C ⑵,条件三段论⑷A∨<B∧C>→C ⑶,条件附加律⑸C ⑴、⑷,充分条件推理的肯定前件式第七章谓词逻辑初步一、填空题1．关系词项"包庇"在直接关系推理中表现为〔非对称性,在间接关系推理中表现为〔非传递性。2．如果关系R是反传递性的,则由aRb和bRc为前提,可推出〔﹁<aRc>。3．在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中,属于传递性关系的是〔真包含关系,属于反对称性关系的是〔真包含关系。4．在概念外延间的全同、真包含于、交叉、矛盾关系中,属于反对称关系的是〔真包含于关系,属于反传递关系的是〔真包含于关系、矛盾关系。5．已知关系R是反对称的、传递的,由aRb真可得知〔bRa假；由aRb真且bRc真可得知〔aRc真。二、单项选择题1．B2．A3．B4．C5．C6．C7．A解析：由题意可知,甲+乙=丙+丁,甲+丁＞乙+丙,甲+丙＜乙。经过运算可得,丁＞乙＞甲＞丙。8．C三、双项选择题1．"人事变动不等于政策变动,所以政策变动不等于人事变动。"该推理是〔BEA．有效的反对称性关系推理 B．有效的对称性关系推理C．无效的反对称关系推理 D．无效的对称性关系推理E．有效的纯关系推理2．"甲了解乙,乙了解丙,所以甲了解丙。"这个推理是〔CEA．有效的传统关系推理 B．有效的反传统关系推理C．误把非传统关系当作传递关系 D．无效的反传统关系推理E．无效的纯关系推理3．下列既是反对称性又是传递性的关系是〔CDA．援助B．矛盾C．在……左边D．真包含于E．交叉4．"柏拉图和亚里士多德是古希腊哲学家"这个命题是〔CEA．关系命题B．直言命题C．复合命题D．全称命题E．联言命题注意,直言命题通常被分析到词项,因此直言命题通常是指简单命题。5．在概念外延间的关系中,不具有传递性的是〔CDA．同一关系B．真包含关系C．交叉关系D．全异关系E．真包含于关系四、应用分析题〔一指出下列语词或语句中哪些是个体词、谓词、量词和命题？1．数8。答："8"是个体词,"数"是谓词。2．x是深红色的。答：x是个体词,"是深红色的"是谓词。注意,〔1这里的x其实是个体变项。下同。〔2命题都有真假,而"x是深红色的"没有真假,因为这里的x实际上是一个空位,即该语句其实是"〔是深红色的",它是一个开语句,不能表达通常所谓的命题。下同。3．x+y=z答：x、y和z是个体词,+和=是谓词。4．所有的x。答："所有"是量词,x是个体词。5．将要出任校长的人。答："将要出任校长的人"是谓词。因为通常说,例如,"张三是将要出任校长的人"。6．小黄不爱小李,但也不讨厌小李。答："小黄"和"小李"为个体词,"爱"和"讨厌"是谓词,"小黄不爱小李"、"〔小黄不讨厌小李"和"小黄不爱小李,但也不讨厌小李"都是命题。7．至少有数x。答：x是个体词,"至少有"是量词,"数"是谓词。8．几乎所有的人。答："几乎所有"是量词,"人"是个体词。〔二把下列命题表达为谓词公式1．有的粉笔是红色的。〔F：是粉笔；G：是红色的解：x<Fx∧Gx>2．所有的学生都没有缺席。〔F：是学生；G：缺席解：x<Fx→﹁Gx>3．有的学生既不是上海人也不是XX人。〔F：是学生；G：是上海人；H：是XX人解：x<Fx∧﹁Gx∧﹁Hx>4．小陈不接受任何意见。〔a：小陈；F：是意见；R<x,y>：x接受y解：x<Fx→﹁R<a,x>>5．有的服务员认识每一位来自北京的客人。〔F：是服务员；G：来自北京；H：是客人；R<x,y>：x认识y解：x<Fx∧y<<Gy∧Hy>→R<x,y>>6．并非所有的儿童都喜欢喝某种饮料。〔F：是儿童；G：是饮料；R<x,y>：x喜欢y解：﹁x<Fx→y<Gy∧R<x,y>>>7．凡是小陈喜欢的书我都喜欢。〔a：小陈；b：我；F：是书；R<x,y>：x喜欢y解：x<<Fx∧R<a,x>>→R<b,x>>〔三指出下列公式中哪些是约束变项,哪些是自由变项,并指出量词的辖域。1．x<Px∧Qx>→xPx∧Qx解：第一个x是约束变项,辖域为<Px∧Qx>。第二个x也是约束变项,辖域为Px。第三个x是自由变项。2．x<Px∧xQx>∨x<Rx→Qx>解：第一个x是约束变项,辖域为<Px∧xQx>。第二个x也是约束变项,辖域为Qx。第三个x也是约束的,辖域为<Rx→Qx>。3．x<Px↔Qx∧xRx>∧xRx∧Sx解：第一个x是约束变项,辖域为<Px↔Qx∧xRx>。第二个x是约束变项,辖域为Rx。第三个x为自由变项。4．x<Px→yR<x,y>>解：x为约束变项,辖域为<Px→yR<x,y>>。y为约束变项,辖域为R<x,y>。5．xy<R<x,y>→﹁Gx>∧zR<x,z>解：x为约束变项,辖域为<R<x,y>→﹁Gx>。y为约束变项,辖域为<R<x,y>→﹁Gx>。z为约束变项,辖域为R<x,z>。6．xy<P<x,y>∧Q<y,z>>∧xP<x,y>解：第一个x为约束变项,辖域为P<x,y>∧Q<y,z>。第一个y约束变项,辖域为P<x,y>∧Q<y,z>。第二个x为约束变项,辖域为P<x,y>。第二个y为自由变项。〔四把下列推理形式表达为谓词逻辑的蕴涵式1．有的S是P,所以有的P不是S。解：x<Sx∧Px>→x<Px∧﹁Sx>2．所有M不是P,所有S是M,所以有的S不是P。解：<x<Mx→﹁Px>∧x<Sx→Mx>>→x<Sx∧﹁Px>3．没有P是M,凡S是M,所以凡S不是P。解：<x<Px→﹁Mx>∧x<Sx→Mx>>→x<Sx→﹁Px>4．所有M是P,所有M是S,所以有S是P。解：x<Mx→Px>∧x<Mx→Sx>→x<Sx∧Px>〔五分析下列命题,指出哪些是直言命题,哪些是关系命题。1．人民利益高于一切。2．事实胜于雄辩。3．普及工作和提高工作是紧密相连的。4．普及工作和提高工作都是要进行的。5．命题甲和命题乙是矛盾的。6．命题甲和命题乙都是全称肯定命题。答：第4和第6是直言命题,第1、2、3和第5是关系命题。〔六下列各混合关系三段论的形式是否有效？为什么？1．所有固体都能为有的液体溶解,有的金属是固体,所以有的金属能为有的液体溶解。答：有效。2．一切负数都不比一切正整数大,零不是负数,所以零不比一切正整数大。答：无效。因为它的直言命题不是肯定命题。3．每人都同意有些建议,有些建议是十分宝贵的,所以每人都同意有些十分宝贵的建议。答：无效。因为它违反媒介向必须至少周延一次的规则。4．有些甲班同学没有参加书法小组,小吴参加书法小组,所以小吴不是甲班同学。答：无效。因为它违反前提中不周延的项在结论中也不得周延的规则。〔七把下列关系命题表达为谓词公式1．珠穆朗玛峰比所有山都高。解：设M表示山,a表示珠穆朗玛峰,H<x,y>表示x比y高,则x<Mx→H<a,x>>2．有些甲班同学的外语成绩比所有乙班同学的外语成绩差。解：令J表示甲班同学,Y表示乙班同学,L<x,y>表示x的外语成绩比y的差,则x<Jx∧y<Yy→L<x,y>>第八章模态逻辑及其推理一、单项选择题1．与"这次试验必然不能成功"为矛盾关系的命题是〔CA．这次实验必然能成功。 B．这次实验不必然能成功。C．这次实验可能成功。 D．这次实验不能成功有可能。2．在下列各组命题中,具有差等关系的是〔AA．"必然p"与"可能p" B．"必然非p"与"可能p"C．"可能p"与"可能非p" D．"可能非p"与"必然p"3．□p与

p之间为〔AA．矛盾关系 B．反对关系C．差等关系 D．下反对关系4．以□SEP为前提进行对当关系模态推理,其结论是〔CA．□SAP B．□SEPC．

SIP D．□SIP解析：这里需要经过两步推理,即□SEP├

SEP├

SIP。这两步推理分别用到如图两种不同类型的对当方阵。5．以"有些昆虫可能是害虫"为前提进行对当关系推理,其结论用符号表示只能是〔AA．□SEP B．□SAPC．

SOP D．

SIP解析：这里需要经过两步推理,即

SIP├

SEP├□SEP。这两步推理分别用到如图两种不同类型的对当方阵。6．前提含有模态词"可能"的模态三段论,无论另一前提是哪种模态词,其结论的模态词应是〔CA．必然 B．实然C．可能 D．以上三种都可以7．"并非可能p"与"并非可能非p"之间为〔AA．反对关系 B．矛盾关系C．差等关系 D．下反对关系解析："并非可能p"等值于"必然不p","并非可能非p"等值于"必然p",所以"并非可能p"与"并非可能非p"是反对关系。8．与"必然有S是P"的负命题相等值的命题是〔BA．可能有S是P B．可能凡S不是PC．可能有S不是P D．不可能有S是P9．以"不可能〔p并且q"为前提进行等值推理,其结论为〔CA．可能〔非p或非q B．必然〔p且非qC．必然〔非p或非q D．必然〔如果p则q10．以"不必然〔非p或q"为前提进行等值推理,其结论为〔AA．可能〔p且非q B．可能〔非p且qC．可能〔非p或q D．必然〔p且非q二、指出下列各模态命题的种类1．这场斗争是必然要来的。答：主观模态命题,但也可以说是客观模态命题。从物模态命题,狭义模态命题,非逻辑模态命题。2．共产主义运动不可能是一帆风顺的。答：从物模态命题,狭义模态命题,非逻辑模态命题。主观模态命题,但也可以说是客观模态命题。3．火星上可能不会有生命存在。答：客观模态命题,但也可以说是主观模态命题。狭义模态命题,非逻辑模态命题,从物模态命题。4．攀登科技高峰可能要付出一个人的毕生精力。答：主观模态命题,但也可以说是客观模态命题。狭义模态命题,非逻辑模态命题,从物模态命题。5．社会发展规律不以人的意志为转移是必然的。答：从言模态命题,狭义模态命题,非逻辑模态命题,〔这里主要是指主观模态命题。三、根据模态命题间的对当关系,指出与下列命题同素材的其他三个模态命题的真假。1．第一次登台表演可能是