mjt-2014届中考数学(图形运动中计算说理)-几何证明及通过几何计算进行说理问题

京翰初中家教——专业对初中学生开设初三数学指导补习班3.2几何证明及经过几何计算进行说理问题例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0,1)与Q(2,－3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联络PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．动感体验请翻开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，能够体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相像．请翻开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，能够体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相像．思路点拨1．数形联合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．2．经过计算∠PAE与∠DPO的正切值，获得∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，进而证明△PAD∽△PEA．满分解答1）将点P(0,1)、Q(2,－3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得c1,解得b0,42b13.c1.所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．（2）①如图1，设点A的坐标为(x,－x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．此时yA＝2xA．解方程－x2＋1＝2x，得x12．所以点A的横坐标为21．因此正方形ABCD的面积等于[2(21)]21282．②设OP与AB交于点F，那么PFOPOF12(21)322(21)2．所以tanPF(21)221．PAE21AFOD又因为tanPDAtanDPO21，OP所以∠PAE＝∠PDA．又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．京翰教育北京家教指导——全国中小学一对一课外指导班京翰初中家教——专业对初中学生开设初三数学指导补习班图1图2考点伸展事实上，关于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：如图2，设点A的坐标为(x,－x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．PFx2所以tanPAEx．AFxOD又因为tanPDAtanDPOx，OP所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．京翰教育北京家教指导——全国中小学一对一课外指导班京翰初中家教——专业对初中学生开设初三数学指导补习班例22013年江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的选项是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝1AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．2（2）数学思考：在随意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在随意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1动感体验请翻开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A能够改变△ABC的形状，能够体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．请翻开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A能够改变△ABC的形状，能够体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．思路点拨1．此题图形中的线条盘根错节，怎样寻找数量关系和地点关系？最好的建议是按照题意把图形规范、正确地从头画一遍．2．三其中点M、F、G的作用重要，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线组成了平行四边形，由此相等的角都标明出来，还能组合出那些相等的角？满分解答1）填写序号①②③④．2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以MF1AC，MG1AB，MF//AC，MG//AB．22所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，京翰教育北京家教指导——全国中小学一对一课外指导班京翰初中家教——专业对初中学生开设初三数学指导补习班所以EG1AC，DF1AB．22所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC