2021届云南XX中学高考适应性月考(四)数学(理)试题

2021届云南师范大学附属中学高考适应性月考（四）数学（理）试题一、单选题1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{x|}，则A∩B中元素的个数为（）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】化简集合，根据交集的概念求出交集后可得结果.【详解】因为，，所以，中含有两个元素，故选：C.2．复数，则（）A．17 B．5 C．12 D．13【答案】D【分析】直接算出答案即可.【详解】因为，所以，故选：D3．在等比数列{an}中，若满足a4·a6＝a3·a5，则数列{an}的公比为（）A．无法确定 B．1 C．-1 D．1或-1【答案】D【分析】根据等比数列的定义，化简条件即可求解.【详解】因为等比数列，且，所以，所以公比为，故选：D4．已知函数，则f（0）＋f（1）＝（）A．2 B．0 C．1 D．-1【答案】B【分析】直接根据解析式求出和，再相加即可得解.【详解】因为，所以，，所以.故选：B5．年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用、和表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：.已知正十二面体有个顶点，则正十二面体有（）条棱A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件得出，，代入欧拉公式可求得的值，即为所求.【详解】由已知条件得出，，由欧拉公式可得.故选：A.6．双曲线C：（a＞0，b＞0），其中，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据以及可得，再根据离心率公式可得结果.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是找到的等量关系，由，可得所要的等量关系.7．若实数x，y满足约束条件则（）A．既无最大值又无最小值 B．有最大值无最小值C．有最小值无最大值 D．既有最大值又有最小值【答案】A【分析】画出可行域，根据图象，分析即可得答案.【详解】画出可行域，如图所示：因为取不到该直线上的点，所以A点并不在可行域内，即不能取到A点，所以目标函数既无最大值也无最小值，故选：A.8．正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则a5＝（）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据，时，得到，当时，根据得到或者，再求即可.【详解】正项数列，，当时，，，所以.当时，，，所以或者.当时，是首项为1，公差为1的等差数列，所以，；当时，与是正项数列矛盾，所以舍去.故选：B.9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三视图知原几何体是圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为，利用表面积公式即可求解.【详解】由三视图可得，该几何体为圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为，可求其母线长为，由圆台表面积公式可得，故选：A10．在平面直角坐标系中，坐标原点为，A（1，0），B（3，0），，则的内切圆圆心到点O的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设内切圆圆心为，首先求出内切圆半径，然后可得，然后可算出答案.【详解】设内切圆圆心为，，，由等面积法可得内切圆半径，所以，，故选：B11．在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（）A．32 B．15 C．16 D．31【答案】D【分析】按照增加一条弦，多出一个区域，增加一对相交弦，另外再多增加一个区域进行计算可得解.【详解】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为，此题，所以最多可分为31个区域.故选：D.【点睛】关键点点睛：按照增加一条弦，多出一个区域，增加一对相交弦，另外再多增加一个区域进行计算是解题关键.12．已知正实数a，b，c，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，代入整理化简后利用基本不等式即可求解.【详解】令且，解得，所以，当且仅当时等号成立，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题13．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，则a＝________.【答案】【分析】由=0解得，再验证即可得解.【详解】因为，所以，因为x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，所以，故，经验证当时，是的一个极值点.所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据可导函数在极值点处的导数值为0求解是解题关键.14．若，，则的最大值为________.【答案】6【分析】利用数量积的定义化简，结合三角函数的有界性得出最大值．【详解】，所以.故答案为:15．已知平行四边形ABCD，|AB|＝3，|BC|＝5，则分别以对角线AC，BD为直径的两个圆的面积和为________.【答案】【分析】利用余弦定理分别表示出对角线AC，BD，进而可得圆的面积和．【详解】两个圆的面积和，由余弦定理可得，，.故答案为：16．一张边长为2的正方形纸ABCD，将点C折到AB边上，所有折痕会在正方形上形成一个封闭的图形，则这个图形的面积是________.【答案】【分析】根据题意可得折痕为该抛物线的切线，作出图象，找出折痕的区域，利用定积分即可求解.【详解】设，，，，折到的点为E，折痕与y轴的交点为F，F关于直线CE对称的点为G，G在抛物线上，又在折痕上，可证折痕为该抛物线的切线，折痕围成的区域一块为等腰直角三角形，一块为抛物线，作出图象，如下（阴影部分）：总面积.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是找出折痕围成的区域，考查了分析能力，属于中档题.三、解答题17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求b的值；（2）若满足，c＝3，求的面积.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用余弦定理以及已知条件可得，即可得出结果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得，进一步得到或者，分两种情况讨论，利用余弦定理求角，利用三角形面积公式求解即可得出结果.【详解】（1）由余弦定理可得，又，所以可得.由于，所以.（2）已知，由正弦定理可得，由正弦二倍角公式可得，∵，，，，所以或者，当时，，，，，；当时，，，，.综上：的面积为或.18．甲、乙两队进行排球比赛，直到某队赢3局为止.假设每局比赛独立，且每局甲胜的概率为0.7.（每局比赛均要分出胜负）（1）求比赛在第4局结束的概率；（2）若比赛在第4局结束，求甲获胜的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用比赛在第4局结束且甲胜和比赛在第4局结束且乙胜的概率相加即可得解；（2）根据条件概率公式可求得结果.【详解】（1）设比赛在第4局结束的概率为，则.（2）设比赛在第4局结束为事件A，甲获胜为事件B，则.【点睛】关键点点睛：第（2）问根据条件概率求解是解题关键.19．如图甲，已知直角梯形ABCD，AB//CD，AB＝2CD＝2BC＝4，，E为AB的中点，将三角形ADE沿DE折起，使点A到达点F（如图乙），且.（1）证明：DE⊥平面FEB；（2）求平面FDE与平面FBC所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证明，，再利用线面垂直的判定定理可得答案；（2）过点E作交BF于点G，分别以ED，EB，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面FDE与平面FBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】（1）由于，，，所以，所以，，，在平面FEB内，所以平面FEB.（2）如图，过点E作交BF于点G，，，，BE与DE在平面BCDE内，所以平面BCDE.分别以ED，EB，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，.设平面FED的法向量为，，令，得.设平面FBC的法向量为，令，得，平面FDE与平面FBC所成的锐二面角为，则.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，过F的所有弦中，最短弦长为4.（1）求p的值；（2）在抛物线C上有两点A，B，过A，B分别作C的切线，两条切线交于点Q，连接QF，AF，BF，求证：|QF|2＝|AF|·|BF|.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分别求过F的直线斜率存在时和斜率不存在时与抛物线相交的弦长，作比较可得最短为2p可得答案；（2）设，，设过A点且与抛物线相切的直线：与抛物线联立解得，可得与的方程，联立得坐标，求出和可得答案.【详解】（1）当过F的直线斜率不存在时，此时弦长为2p；当过F的直线斜率存在时，设直线方程为，联立可得，弦长为，所以弦长最短为，所以.（2）证明：设，，设过A点且与抛物线相切的直线：，联立可得，，解得，可得：，同理可得：，联立得，，，所以.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，本题关键是求出和的方程，从而得到.21．（1）已知函数f(x)＝aex＋b，若f(x)在（0，f（0））处的切线方程为y＝x＋1，求a，b；（2）证明：当时，cosx＋tanx≤ex.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）根据和可求得结果；（2）只需证明：当时，和，构造函数利用导数可证上述两个不等式成立.【详解】（1），，，解得，.（2）证明：令，当，，单调递增，，得，故只需证，令，由于，令，则在上单调递增，因为，，故存在，使得.当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，因为，，，故.【点睛】关键点点睛：第（2）问转化为证明当时，和成立是解题关键.22．在极坐标系中，已知点，B（1，π），C（1，0）.（1）求A，B，C三点的直角坐标；（2）已知M是△ABC外接圆上的任意一点，求|MA|2＋|MB|2＋|MC|2的值.【答案】（1），，；（2）8.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，计算可得结果；（2）利用三角形△ABC的外接圆的参数方程设的坐标，然后用两点间的距离公式计算可得结果.【详解】（1）由知，，所以，，所以，由知，，所以，，所以，由知，，，，所以.所以A，B，C三点的直角坐标分别为，，.（