2021届天津市部分区高三上学期期中练习数学试题(解析版)

2021届天津市部分区高三上学期期中练习数学试题一、单选题1．已知集合，，则中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先求出，再判断中元素的个数即可.【详解】，，，中元素的个数为：4.故选：C2．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性的定义，结合特例法进行判断即可.【详解】，能推出，当时，显然当时成立，但是不成立，不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A3．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，再带特殊点求函数值得出结果.【详解】因为函数，定义域为，关于原点对称，又，函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A，C；又当时，，排除选项D.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像.4．设，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式可得解.【详解】，故选：D.5．将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件分析得到：当球为正方体的内切球时，此时球最大，据此计算出对应的表面积.【详解】由条件可知：球为正方体的内切球时，此时球最大，此时球的半径为正方体棱长的即为，所以表面积为：，故选：B.【点睛】结论点睛：已知正方体的棱长为，球的半径为，（1）当球内切于正方体时，；（2）当球外接于正方体时，；（3）当球与正方体的每条棱都相切时，.6．已知单位向量的夹角为，与垂直，则实数（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得的值．【详解】单位向量的夹角为，，与垂直，，解得，故选：C．7．设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】，又指数函数是单调递增函数，，即对数函数是单调递增函数，，即，故选：C．【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8．已知两条平行直线，，则与间的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由两直线平行，求出，得到，再由两平行线间的距离公式，即可求出结果.【详解】因为直线与平行，所以，解得，所以，即，因此与的距离为.故选：B．【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记距离公式，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型.9．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数，看成函数与直线的交点问题，分，，讨论求解.【详解】当时，，对于直线，，因为，所以无交点；当时，，令，解得，要使方程恰有2个互异的实数解，则，解得；当时，，令，解得，因为时，方程恰有2个互异的实数解，则时，无交点，则，解得,综上：的取值范围为故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由和直线过定点，确定方程恰有2个互异的实数解只有一种情况：当时，方程恰有2个互异的实数解，当时，方程无实数解.二、填空题10．函数的导函数为___________.【答案】【分析】直接利用导数的运算法则求解.【详解】因为函数，所以，故答案为：11．在正三棱柱中，为棱的中点，，则直线和所成的角的余弦值为___________.【答案】【分析】作出示意图，取中点，连接，然后根据平行关系确定出所成角为或其补角，结合线段长度计算出所成角的余弦值.【详解】取中点，连接，如下图所示：因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以直线和所成的角为或其补角，不妨设，所以，所以，所以，所以，所以直线和所成的角的余弦值为，故答案为：.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．12．若向量，则与平行的单位向量是___________.【答案】或【分析】先求得向量的模，然后由求解.【详解】因为向量，所以与平行的单位向量是或，故答案为：或13．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为___．【答案】【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【详解】圆与圆的方程相减得：，由圆的圆心，半径r为2，且圆心到直线的距离，则公共弦长为．故答案为．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．14．已知，，且，则的最小值为______.【答案】【分析】由已知结合基本不等式求出ab的范围，再结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】，，，即，当且仅当，即时等号成立.令，，由对勾函数性质知在上单调递减，所以当时，函数取得最小值，且，即所以的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、双空题15．记为等差数列的前项和，若，则___________通项公式_________________.【答案】【分析】根据可直接求解出的值；根据并结合的情况求解出的通项公式.【详解】因为，所以；当时，，当时，，符合的情况，所以，故答案为：；.【点睛】思路点睛：利用与的关系求解数列通项公式的思路：（1）根据，先求解出时的通项公式；（2）根据条件验证是否满足的情况；（3）若满足，则的通项公式不需要分段书写；若不满足，则的通项公式需要分段书写.四、解答题16．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）最小正周期；（2）最小值为.【分析】（1）化简函数解析式，得，可得最小正周期为；（2）由得，可得在上的最小值为．【详解】（1）由已知，有所以，的最小正周期.（2）当时，所以当，即时，取得最小值.所以，函数在上的最小值为.【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，属中档题.通过展开三角函数关系式，利用正弦二倍角公式和降幂公式，辅助角公式将函数化简为，由周期公式可得，由的范围求得相位的范围，进一步得出，进而求得的范围，得出答案.17．设函数，曲线在点处的切线与轴平行.（1）求实数；（2）求的单调区间.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求解出，然后根据切线与轴平行得到的值，由此计算出的值；（2）先将因式分解，然后根据的取值正负确定出的单调区间.【详解】解：（1）因为，所以.又因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，即，即.（2）由（1）可知，当时，；当，时，.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.18．如图，在四棱锥中，底面中，底面满足，，底面，且，.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明平面即可.（2）根据，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，再求得平面的一个法向量，由，求解.【详解】（1）因为平面，平面，所以又因为，平面，平面且，所以平面，又平面.所以.（2）因为，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，.设平面的一个法向量为，则，即取，则，所以，.即，所以所求二面角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合正弦定理可得的值（2）利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，，即，.（2）由（1）可得，从而，，故.【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；20．已知为等差数列，为等比数列且公比大于0，，，，.（1）求和的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）直角利用已知条件建立等量关系，求出等差数列的公差，等比数列的公比，进而求出通项公式.（2）利用分