2021届安徽省马鞍山市高三下学期一模考试数学(理)试题

马鞍山市2021年高三第一次教学质量监测理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A． B． C． D．（第3题图）（第3题图）（第4题图）4．为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，已知所得样本数据都在区间内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为A．60 B．65 C．66.25 D．72.255．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则6．在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A、B、C、D四个班级A．12 B．14 C．16 D．247．已知函数（，）的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则 A． B． C． D．8．已知，，，则A． B． C． D．9．已知点为抛物线准线上一点，点为焦点，为坐标原点，在抛物线上，且，则的最小值为A． B． C． D．10．已知函数则方程的解的个数为A．3 B．4 C．5 D．611．在等差数列中，，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为A．7 B．8 C．13 D．1412．已知函数，则不等式的解集是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a，b，则|a-b|=▲．14．在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，,若，则的值为▲．15．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于两点，且，则的面积为▲．16．已知正方形的边长为4，是的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知的内角，，的对边分别是，，，满足．（1）若，，求的面积；（2）求的值．18．（12分）经常应用偶尔应用或者不应用总计农村40城市60总计10060160从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．（1）补全列联表，判断能否有QUOTE99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望．附：，．0.10.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）如图，已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点D为SC的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆，右焦点为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，线段中点为,且（为坐标原点），求所有满足条件的直线方程．21．（12分）已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．参考数据：．（二）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程；（2）求上的动点到距离的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

2021年高中毕业班第一次教学质量监测理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案BDBCDBABCCCA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 15． 16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（1）因为，由正弦定理，，即，若，由余弦定理，得，又，所以，而，所以，所以．（6分）（2）由，知．（12分）18．（1）经常应用偶尔应用或者不应用总计农村404080城市602080总计10060160（2分）．（4分）所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（6分）（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则的可能取值为0，1，2．（7分），，，．所以的分布列为：012（10分）的数学期望．（12分）19．（1）因为SC=4，点D为SC的中点，所以，又，所以是等边三角形，所以DCA=QUOTE，所以SA=QUOTE，所以SC2=SA2+AC2，SAAC．（3分）又，得SAAB，又，所以SA平面ABC，又SA平面SAB，所以平面SAB平面ABC．（5分）（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，在平面ABC内过点A垂直于AB的直线为y轴，AS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，所以，．（7分）设为平面的法向量，由得QUOTE令,得．（9分）而平面的一个法向量，所以．（11分）设二面角的平面角为，则．（12分）方法2：取AC中点E，连接DE，则DE平面ABC，过点E作EFAB于F，连接DF，DFE为二面角D-AB-C的平面角．（8分）在中，，，QUOTE，所以QUOTE．（10分）因为二面角S-AB-D的平面角与二面角D-AB-C的平面角互余，所以二面角S-AB-D的正弦值为QUOTE．（12分）20．（1）由已知得，，，所以椭圆的方程为．（5分）（2）易知直线斜率存在，设直线方程为：．联立，消去得，则．设，，则，． （7分）∵，∴，即：． （9分）∵，∴，∴，解得，，， （11分）所以满足条件的直线方程为：、和． （12分）注：①若考生从图形特征仅分析出的结果，得1分；②第（2）小题中取的中点，由转化为解决，请酌情给分．21．（1）解：函数的定义域为，． （1分）=1\*GB3①当时，，则在上单调递增；②当时，由得，且时，单调递减；时，单调递增．综上，时，在上单调递增；时，在单调递减，在单调递增． （5分）（2）证明：=1\*GB3①当时，显然有；②当时，令在时单调递减，所以只需证明，即． （6分）令（），则，显然单调递增，，，所以存在唯一，使，且时，单调递减；时，单调递增，所以． （8分）因为，所以，即，所以．（10分）又因为，所以，所以，从而，所以． （11分）所以，故待证不等式成立． （12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（1）∵直线的参数方程为（为参数），∴消去参数，得的普通方程为． （2分）∵曲线的极坐标方程为，∴，∴的直角坐标方程为，即． （5分）（2）曲线的参数方程为（为参数），设上的动点为，则上的动点到距离． （8分）∵，则上的动点到距离的最大值是，最小值是，∴上