参数方程典型例题分析

参数方程典型例题分析[a=sin点例i在方程1/=M£2#(步为参数)所表示的曲线上一点的坐标是().TOC\o"1-5"\h\z12 11(A)(2,-7)(B)(3,3)(C)(2,2)(D)(1,0)T<-I 五=sni^=?!分析由已知得"—」可否定⑴又y=i-2理"，分别将 3,2,=7 211代入上式得，§,^,_1,A(2,2)是曲线上的点，故选(^.，五=天口+£cosR例2直线1/=抬+=111M(£为参数)上的点人，8所对应的参数分别为4,与，点P分上0所成的比为力，那么点P对应的参数是().4十4 6十4 G+T品G+/瓦(A) 2 (B)1十川(C) 1十川(D)1+X分析将〃，右分别代入参数方程，得人点的横坐标致为飞十GCC1£,，b点的横坐标为,+£口2$由定比分点坐标公式得P的横坐标为£]+At可知点P所对应的参数是1+X故应选(C)例3化下列参数方程为普通方程,并画出方程的曲线．卜=2,一」(1)1E(£为参数，)••…或”解：（1）.「故普通方程为无=2（下21或＞&一3）,方程的曲线如图.（2）^=2-pees3k1）=$一2二小9将一亡时入得尸=3-2-亍啖十3•••普通方程为‘），2），方程的曲线如图.整理得/+/-2”口普通方程为〃整理得/+/-2”口普通方程为〃+/-2x=口（Q0）,方程的曲线如图.TL三工（3）两式相除得汇代入14〃得解：①当*±解：①当*±1时，点评（1）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的了，＞的范围，以保证普通方程与参数方程等价．sin例4已知参数方程①若七为常数，步为参数，方程所表示的曲线是什么？②若产为常数，£为参数，方程所表示的曲线是什么？sin —cos加=y]£+- t--由（1）得 匕由（2）得 £

它表示在内轴上［一20的一段线段.+k瓯 x1产片—— =t-H-②当2拓三工）时，由（1）得加,,上二上二 上.上=4由（2）得ss步’上.平方相减得sin,#cos2# ,=1.即4sm,^4c炭它表示中心在原点，实轴长为啡1n4虚轴长为*M,焦点在靠轴上的双曲线.当产=在不（七七E）时，走=口，它表示尸轴；当 2（化三工）时，3=口， t£+1>2 £+1<2... 1 （£）°时）或（ （£40时）.♦•工"...方程为广口（H22）,，点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，意区分问题中的字母是常数还是参数．/（x=tcos c/汇=4十；例点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，意区分问题中的字母是常数还是参数．/（x=tcos c/汇=4十；例5直线道卿盘（上为参数）与圆［尸2卿直线的倾斜角犷为（）.可表示不同的曲线，因此要注r!cos附芦（声为参数）相切，则肝5刑 刑3刑 肝2开_溶_5尔（A）&或6 （B）4或4 （C）3或3 （D）或或电播_M—分析将参数方程化为普通方程，直线为二组底（之），尔4=—当2时不合题意.|4/gLT-0|_z।因为（工-4尸+^=4,它们相切的充要条件是J1+靖屐,解得密"士丁，又印e［。"），肝5肝空二一——・•. &或6,故选（A）.2 2三斗匕」1例6求椭圆2581上的点到直线京包厂64=。的最大、最小距离.{x=5cos次>=”及"（0£四2肝），则椭圆任意一点户的坐标可设为户（5gs步，Psm产）,于是点声到直线我+4厂总=口的距离3乂5gs产十4乂9sin为8439sin（-64|d= 5 = 5&=121二01K 5，此时皿出朗=7；4in=5，此时如（丹时=1点评利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．例7已知点P是圆C：（工-$）心⑶一歹二户上一动点，点P关于点人（5，0）的对称点为Q,半径CP绕圆心^逆时针方向旋转附后得到点乂，求心间的最大值和最小值.解如图，设点户（5+广。。§产，5+ 研'）则点乂为（5+厂8式%9rL5+尸加（加+9Q0）即M(5-1血次5+r就/J.又点A(5,0)为/Q的中点，则点Q为(5-产ms巴5+产匚源),且\OMf=(-,.冉fcos0。+*冉靖=2[r2+1072rsin(^4-45°)+50]所以^=45"时，，间取得最大值限十5哥\河+5四）於22T时取得最小值点评此题根据圆的参数方程是利用转角步作参数，由点/坐标求点乂坐标，再把与坐标R,》相关的心间的最值转化成皿（科4刃的最值来求解./M1—+—=1例8直线'：＞=2]+右与椭圆3 2 交于A,B两点，当右变化时，求线段AB中点M的轨迹.解设AB中点M（西，）口），直线』的方程为血明旭42,£为参数）中可得代入椭圆方程有

中可得(2coJ四3血"力”十2(2/二。£/十配曲软+2为+3为-6=0.设A,B对应的参数值分别为%%则有04右=°,t+z=2(2^ocqs^+370sm又1「2-53$…2瓦皿+3Ml24=0,又听/=2故汽十电=。，即工+3'=口./M1—+—=1所以乂点的轨迹是直线升+力=°在椭圆3 2内部的一条线段.例9已知线段须,"七直线,垂直平分瓯交四于点。，并且在］上。点的同侧取两点P,严，使OF'OP=9,求直线BP与直线歹产的交点乂的轨迹.解如图，以。为原点，上为北轴，为〉轴，建立直角坐标系工卬，依题意，可知8(0,2),B1(0,-2),9又可设P(厘，0),尸(*,0),其中厘为参数，可取任意非零的实数.，=1直线BP的方程为321.£十上1.£-2直线歹产的方程为口\2x+ay-2a=0,⑶两直线方程化简为（4）'_⑶I<_-18-h2a2解得直线BP与歹产的交点坐标为：9十1 （襦为参数）