2019年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)

2019年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题（本大题共小题，共分）1260.01.设集合={|2-5x+6＞0}，B={x|x-1＜0}，则A∩B=（）Axx（-∞，1）（-2，1）（-3，-1）（3，+∞）2.设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A.B.C.D.A.B.C.第一象限第二象限第三象限第四象限D.t3.已知=（2，3），=（3，），||=1，则•=（）A.-3B.-2C.2D.34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运．行点是平L衡点，位于地月连线的延长线L22上．设地球质量为，月球M质量为，地月距离为，点到月球的距离为，rMRL212根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：r+=（+）．Rr设α=．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则的近似值为（）rA.B.C.D.RRRR5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.B.C.方差D.极差中位数平均数6.若a＞，则（b）C.a3-b3＞0D.|a|＞|b|A.B.3a＜3bln（a-b）＞07.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A.α内有无数条直线与β平行C.α，β平于行同一条直线B.α内有两条相交直线与β平行D.α，β垂直于同一平面8.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=（）A.2B.3C.4D.89.下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）A.C.B.D.fx（）=|cos2x|（）=|sin2x|fx（）=cos|x|fx（）=sin|x|fx10.已知α∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）A.B.C.D.11.设为双曲线C：-=1（＞0，＞0）的右焦点，为坐标原点，以为直径bOOFFa的圆与圆xy=a2+交于，PQ两点．PQOFC若||=||，则的离心率为（）22A.B.C.2D.第1页，共16页12.设函数（）的定义域为，满足（+1）=2f（），且当xx∈（0，1]时，（）fxR=fxfxxfxm（x-1）．若对任意x∈（-∞，m]，都有（）≥-，则的取值范围是（）A.B.C.D.（-∞，]（-∞，]（-∞，]（-∞，]二、填空题（本大题共小题，共分）420.013.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______．fx10个车次14.已知（）是奇函数，且当＜e．若f（ln2）=8，则0时，（）fx=-a=______．ABCABCabcacBABC15.△的内角，，的对边分别为，，．若b=6，=2，=，则△的面积为______．xax16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个数棱为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的长棱为1．则该半正多面体共有______个面，其棱长为______．三、解答题（本大题共小题，共分）782.017.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，BEEC点在棱上，⊥．AA11EEBC（1）证明：BE⊥平面；11AEAE（2）若=，求二面角BECC--的正弦值．11第2页，共16页18.11分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成：平后，每球交换发球权，11010先多得分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发2球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在0.50.4某局双方：平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．1010X（）求（）；1PX=2（）求事件“X=4且甲获胜”的概率．219.已知数列{a}和{b}满足a=1，=0，4a=3-+4，4b=3--4．abbabnn11n+1nn（）证明：是等比数列，是等差数列；n+1nn1{a+b}{a-b}nnnn（）求和{a}{b}的通项公式．2nn20.已知函数f（）x=lnx-．（）讨论f（）的单x调性，并证明f（）x有且仅有两个零点；1（）设是（）的一个零点，证明曲线y=lnx在点（，）处的切线也是2xfxAxlnx000曲线y=ex的切线．21.已知点A（，），（，），-20动点M（，）xy满足直线AM与BM的斜率之积B20为．记M的轨迹为曲线C．-（）求的方程，并说明C是什么曲线；1C（）过坐标原点的直线交C于P，两Q点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为，E2连结QE并延长交于点G．C（）证明：△是直角三角形；iPQG（）求面积的最大值．PQG△ii第3页，共16页22.在极坐标系中，为极点，点（ρ，0θ）（ρ＞0）在曲线C：ρ=4sinθ上，直线lOM00过点（，）且与OMA40垂直，垂足为P．（）1当θ时，求ρ及l的极坐标方程；=00（）2当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程．MCPOMP23.已知f（）x=|x-a|x+|x-2|（）x-a．时，求不等式f（）x＜的解集；（）当1a=10（）当x∈（-∞，）12时，（）fx＜，求a的取值范围．0第4页，共16页答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据意，A={x|x2-5x+6＞0}={x|x＞3或x＜2}，B={x|x-1＜0}={x|x＜1}，A∩B={x|x＜1}=（-∞，1）；故：A．根据意，求出集合A、B，由交集的定算可得答案．本考交集的算，关是掌握交集的定，属于基．2.【答案】C【解析】解：∵z=-3+2i，∴，∴在复平面内故：C．的点（-3，-2），在第三象限．求出z的共复数，根据复数的几何意求出复数所点的坐即可．本考共复数的代数表示及其几何意，属基．3.【答案】C【解析】解：∵=（2，3），=（3，t），∴==（1，t-3），∵||=1，∴t-3=0即=（1，0），•=2故：C．由=先求出的坐，然后根据||=1，可求t，合向量数量定的坐表示即可求解．本主要考了向量数量的定及性的坐表示，属于基4.【答案】D【解析】第5页，共16页解：∵α=．∴r=αR，r足方程：+=（R+r）．∴=≈3α3，∴r=αR=．故：D．由α=．推出=≈3α3，由此能求出r=αR=．本考点到月球的距离的求法，考函数在我国航天事中的奶灵活运用，考化与化思想、函数与方程思想，考运算求解能力，是中档．5.【答案】A【解析】解：根据意，从9个原始分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效分，7个有效分与9个原始分相比，最中的一个数不，即中位数不，故：A．根据意，由数据的数字特征的定，分析可得答案．本考数据的数字特征，关是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定以及算方法，属于基．6.【答案】C【解析】解：取a=0，b=-1，ln（a-b）=ln1=0，排除A；，排除B；a3=03＞（-1）3=-1=b3，故C；|a|=0＜|-1|=1=b，排除D．故：C．取a=0，b=-1，利用特殊法可得正确．第6页，共16页本考了不等式的基本性，利用特殊法可迅速得到正确．，属基7.【答案】B【解析】解：于A，α内有无数条直与β平行，α∩β或α∥β；于B，α内有两条相交直与β平行，α∥β；于C，α，β平行于同一条直，α∩β或α∥β；于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故：B．充要条件的定合面面平行的判定定理可得本考了充要条件的定和面面平行的判定定理，考了推理能力，属于基．8.【答案】D【解析】解：由意可得：3p-p=（）2，解得p=8．故：D．根据抛物的性以及本考了抛物与的性列方程可解得．的性，属基．9.【答案】A【解析】解：f（x）=sin|x|不是周期函数，可排除Df（x）=cos|x|的周期2π，可排除C；；f（x）=|sin2x|在故：A．取得最大，不可能在区（，）增，可排除B．根据正弦函数，余弦函数的周期性及性依次判断，利用排除法即可求解．本主要考了正弦函数，余弦函数的周期性及性，考了排除法的用，属于基．第7页，共16页10.【答案】B【解析】解：∵2sin2α=cos2α+1，∴可得：4sinαcosα=2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα=2sinα，∵sin2α+cos2α=sin2α+（2sinα）2=5sin2α=1，∴解得：sinα=故：B．．由二倍角的三角函数公式化已知可得4sinαcosα=2cos2α，合角的范可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα=2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的．本主要考了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化求中的用，考了化思想，属于基．11.【答案】A【解析】解：如，由意，把x=代入x2+y2=a2，得PQ=，再由|PQ|=|OF|，得，解得e=故：A．由意画出形，先求出PQ，再由|PQ|=|OF|列式求C的离心率．本考双曲的性，考数形合的解思想方法，是中档．，即2a2=c2，∴．第8页，共16页12.【答案】B【解析】解：因f（x+1）=2f（x），∴f（x）=2f（x-1），∵x∈（0，1]，f（x）=x（x-1）∈[-，0]，∴x∈（1，2]，x-1∈（0，1]，f（x）=2f（x-1）=2（x-1）（x-2）∈[-，0]；∴x∈（2，3]，x-1∈（1，2]，f（x）=2f（x-1）=4（x-2）（x-3）∈[-1，0]，当x∈（2，3]，由4（x-2）（x-3）=-解得m=或m=，若任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥-，m≤．故：B．因f（x+1）=2f（x），∴f（x）=2f（x-1），分段求解析式，合象可得．本考了函数与方程的合运用，属中档．13.【答案】0.98【解析】解：∵有20个次的正点率0.98，有10个次的正点率0.99，∴停站高列所有次的平均正点率的估，在停某站的高列中，有10个次的正点率0.97，：=（10×0.97+20×0.98+10×0.99）=0.98．故答案：0.98．第9页，共16页利用加平均数公式直接求解．本考停站高列所有次的平均正点率的估平均数公式等基知，考推理能力与算能力，属于基的求法，考加．14.【答案】-3【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（-ln2）=-8，又∵当x＜0，f（x）=-eax，∴f（-ln2）=-e-aln2=-8，∴-aln2=ln8，∴a=-3．故答案：-3奇函数的定合数的运算可得果本主要考函数奇偶性的用，数的运算性，属于基．15.【答案】【解析】解：由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB，∵b=6，a=2c，B=，∴36=（2c）2+c2-4c2cos，∴c2=12，∴S△ABC=，故答案：6．利用余弦定理得到c2，然后根据面公式S△ABC=acsinB=c2sinB求出果即可．本考了余弦定理和三角形的面公式，属基．16.【答案】26-1【解析】解：半正多面体共有8+8+8+2=26个面，其棱解得x=-1．x，x+x+x=1，故答案：26，-1．第10页，共16页中是一个正八棱柱，有8个面，上是有8+1，个面，下也有8+1个面，故共有26个面；半正多面体的棱中正八棱柱的棱加上两个棱的cos45=倍．本考了球内接多面体，属中档．17.【答案】证明：（ABCDA1B1C1D11）长方体-⊥平面中，BCABA，B1111⊥，∵⊥∴B1C1BEBEEC1，∴BE⊥平面EBC1．1解：（C2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设==1，∵BE⊥平面，AEAEEBC∴⊥，BEEB1111∴AB=1，则（1，1，1），（1，1，0），（0，1，C（0，0，2），C（0，0，0），1EAB12），∵⊥∴⊥面，EBC1BCEB，EB1故取平面的法向量为==（-1，0，1），EBC设平面的法向量xyz=（，，），ECC1由，得，取x=1，得=（1，-1，0），∴cos＜＞==-，∴二面角B-EC-C1的正弦值为．【解析】（1）推出B1C1⊥BE，BE⊥EC1，由此能明BE⊥平面EB1C1．（2）以C坐原点，建立如所示的空直角坐系，利用向量法能求出二面角B-EC-C1的正弦．本考面垂直的明，考二面角的正弦的求法，考空中、面、面面的位置关系等基知，考推理能力与算能力，是中档．18.【答案】解：（1）设双方Ak10：10平后的第个球甲获胜为事件（=1，2，3，…），kk则（PX=2）=P（）A1A2+（）P=P（A1）P（A2）+P（）P（）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5．第11页，共16页（2）（PX=4且甲获胜）PAAA=（）+P（）224=P（）P（A）P（A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A）P（A4）23=（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4=0.1．【解析】（1）双方10：10平后的第k个球甲事件Ak（k=1，2，3，…），P（X=2）=P（A1A2）+P（（2）P（X=4且甲）=P（A1）P（A2）+P（）P（），由此能求出果．）=P（A2A2A4）+P（）=P（）P（A2）P（A3）P”的概率．（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4），由此能求出事件“X=4且甲本考概率的求法，考相互独立事件概率乘法公式等基知，考推理能力与算能力，是中档．19.【答案】解：（1）证明：∵4ab=3-+4，4b+1=3--4；abann+1nnnn∴4（+b）=2（a+b），a4（a-b）=4（a-b）+8；+1+1+1+1nnnnnnnn即+b=（abaab+），-=-+2；abnn+1n+1+1n+1nnnnab又+=1，ab-=1，1111∴{an+b}是首项为1，公比为的等比数列，n{a-b}是首项为1，公差为2的等差数列；nn-1，ab（2）由（1）可得：+=（）nnna-b=1+2n（-1）=2n-1；nn∴a=（）+n-，nnb=（）-+．nnn【解析】（1）定法明即可；（2）由（1）合等差、等比的通公式可得本考了等差、等比数列的定和通公式，是基20.【答案】解析：（1）函数（）=ln-．定义域为：（0，1）∪（1，+∞）；fxx′（）fx=+＞0，（x＞0且x≠1），∴（）在（fx0，1）和（1，+∞）上单调递增，第12页，共16页①在（0，1）区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，∵（）＜0，（）＞0，（）•（）＜f0，fff∴（）在（0，1）有且仅有一个零点，fx②在（1，+∞）区间，区间取值有，2代入函数，由函数零点的定义得，ee又∵（）＜）＞）＜0，（0，（）•（0，fe2fe2fefe∴（）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，fx故（）在定义域内有且仅有两个零点；fx（2）是（）的一个零点，则有xfx0ln=，x0曲线y=lnx，则有y′=；yx曲线=ln在点（，Axln）处的切线方程为：y-lnx=（-）xxx0000即：y=x-1+lnx0即：y=x+而曲线ye=的切线在点（ln，）处的切线方程为：y-=（x-ln），xyx即：y=x+，故曲线=ln在点（，Axln）处的切线也是曲线x=的切线．yex00故得证．【解析】（1）f（x）的性，求函数数，在定域内根据函数零点大致区求零点个数，（2）运用曲的切方程定可明．本考f（x）的性，函数数，在定域内根据函数零点大致区求零点个数，以及利用曲的切方程定明．21.【答案】解：（1）由题意得，整理得曲线的方程：C，∴曲线是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；C第13页，共16页（2）（）设（，），则（Pxy00-，-），Qxyi00（，0），（，），GxyEx0GG∴直线的方程为：，QE与联立消去，y得，∴，∴，∴∴=，===，把代入上式，得=kPG==-，∴×k=PG=-1，kPQ∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形；iiS（）=△PQG第14页，共16页=========令=t，则t≥2，S△PQG==利用“对号