典型混沌电路及其分析

典型混沌电路及其分析第一页，共六十页，编辑于2023年，星期五§1混沌电路综述

一、电路中混沌现象发现与研究的历史

电路中的混沌现象早在20世纪20年代就被发现，前面曾经提到的范德坡的工作就涉及到电路中的混沌现象。实际上，范德坡所处的时代正是建立电路理论基础的时代，当时的科学家急需建立振幅稳定与频率稳定的振荡电路，从而产生稳定的电磁波。稳定振荡的数学模型是极限环，当时的理论基础还不能够完全满足工程技术的需要，必须由电子工程师一方面进行工程技术设计，一方面完善数学基础理论。极限环的数学基础理论是微分方程理论，而且还是非线性的微分方程理论，而非线性的微分方程很容易产生混沌，范德坡、李纳德等科学家就是在这样的情况进行研究的。第二页，共六十页，编辑于2023年，星期五

由于当时混沌问题的研究历史不成熟，就把电路中出现的混沌现象认为是一种尚未认真研究的另一种现象，是一种需要消除的坏现象，起码是要暂时回避的现象，这就是当时科学家的态度。这个现象不仅在电子学领域中存在，而且在其它学科领域中也存在，例如数学学科中的庞加莱。从这里可以看出，电子学的发展历史与其它学科的发展历史是密切相关的，是互相推动与互相制约的，这也正是20世纪上半叶电子科学技术的大背景，是电子学从物理学的电磁学中独立出来并向信息科学发展的大背景。从这里还可以看出，电子学中的混沌现象研究与应用研究必定会蓬勃发展起来，这是历史的必然。

再回过头来看频率稳定性问题的研究。由于历史时代要求频率的稳定，它与当时的其它技术的共同发展，处于主流地位，使得线性电子技术以巨大的势头形成人类社会的重要产业，并将人类文明推向信息化历史时代。相对说来，非线性电子学在相当长的时期内处于缓慢发展的时期。“十年不鸣，一鸣惊人”，1983年蔡少棠提出的蔡氏混沌电路震惊了电子学界，许多电子工作者投入了精力予以研究。第三页，共六十页，编辑于2023年，星期五1990年，混沌同步电路的研究再次把非线性电路研究推向一个高潮，这是因为它的重要意义特别是它极有可能用于保密通信与军事目的受到重视。神经网络电路、分形编码、混沌测量电路等为非线性电路大家庭增加了许多新成员。到现在，人们提出了许许多多的混沌电路，各种混沌电路文献浩如烟海，几乎每年约数千篇的论文问世，技术上也不断出现新突破。非线性电路目前处于稳定、健康、迅速发展的时期。第四页，共六十页，编辑于2023年，星期五二、电路系统动态特性分类

根据分类目的的不同，电路系统分类的形式也很不同。现在按照电路动态特性分类，它和电路状态方程的阶数有一定的关系。电路系统的变量是电压、电流、电荷、电磁链，控制变量是电路元件电阻、电容、电感等参数。从能量的角度看，电路系统中有的元件（包括分布参数）从电路系统中吸收能量，变成热能或辐射能等，有的元件从电路工作电源吸收能量，储存或消耗在电路系统中，电路系统与外界进行着能量的交换。从信息的角度看，电路系统与外界一般进行信息交换，输入信息与输出信息。从物质的角度看，电路系统与外界一般不进行物质交换。物理学中，与外界进行着物质、能量交换的系统叫做开放系统;与外界不进行物质、能量交换的系统叫做封闭系统;与外界仅进行能量交换的系统叫做耗散系统，因此电路系统是耗散系统。第五页，共六十页，编辑于2023年，星期五

一般地说，电路系统更关心的是信息交换，因而对于能量交换的关心程度相对偏少，有时侯会忽略某些重要问题，应该引起注意。现在讨论电路系统能量交换中对于信息状态的影响，并以电路系统储能元件个数及有无信号输入进行讨论。将不包含随时间变化的激励信号的电路叫做自治电路，将包含随时间变化的激励信号的电路叫做非自治电路。以下讨论中我们把激励信号分成“简单”的信号和“复杂”的信号，“简单”的信号如正弦波信号或者其它周期信号，“复杂”的信号如混沌信号。1、零阶电路—无储能元件电路，即纯电阻电路

纯电阻电路用代数方程描述，由于纯电阻电路是时不变元件，所满足的方程与时间无关，不需要列写微分方程，仅列写代数方程就够了，故纯电阻电路是零阶电路微分方程（非微分方程）。对于零阶电路微分方程，分为线性零阶电路微分方程与非线性零阶电路微分方程，还分为自治零阶电路微分方程与非自治零阶电路微分方程，两两构成四种零阶电路微分方程。第六页，共六十页，编辑于2023年，星期五零阶电路微分方程不存在电路运动问题，但是存在电路求解问题，这些问题研究成熟，方法有叠加原理、代文宁定理、诺顿定理、电压源电流源等效变换方法等。自治零阶电路不会产生新的动态特性。2、一阶微分电路—仅含有一个储能元件的电路电路仅有零输入响应与零状态响应问题，是研究现代电子电路的起步电路，一般电路分析教科书中都有详细的讨论。3、二阶微分电路—含有二个储能元件的电路对于自治线性二阶微分电路，动态特性为衰减振荡或增幅振荡，不稳定。对于自治非线性二阶微分电路，电路可以产生极限环，属于稳定振荡电路。对于非自治非线性二阶微分电路，能够产生混沌，如杜芬方程电路，圆周映射也属于这种情况，并且导致符号动力学的研究。对于自治非线性二阶微分电路，不能够产生混沌。第七页，共六十页，编辑于2023年，星期五4、三阶微分电路—含有三个储能元件的电路

三阶非线性微分电路已经复杂化，能够产生混沌。例如蔡氏电路、洛伦茨方程电路等，这还是自治电路的情况。对于非自治电路，还能产生超混沌与亚超混沌。5、三阶以上微分电路运动特性更复杂,可能出现多级超混沌现象。将以上各种情况整理于下表。第八页，共六十页，编辑于2023年，星期五表4-1电路方程的阶、自治与非自治、线性与非线性的形态零阶自治电路一阶自治电路零阶非自治电路二阶自治电路一阶非自治电路三阶自治电路二阶非自治电路三阶及三阶以上自治与非自治电路线性非线性线性非线性线性非线性线性非线性线性非线性平衡点√√√√√√√√√√周期极限环√√√√√√√拟周期极限环√√√混沌√√亚超混沌√超混沌√噪声√√√√√√√√√√由上表可以看出1、若电路的阶数相同，则n阶非自治电路与n+1阶自治电路形态相同。2、尽管非线性的n阶非自治电路及n+1阶自治电路与线性的n+1阶非自治电路及n+2阶自治电路有许多相似之处，但是线性电路永远不能产生混沌。第九页，共六十页，编辑于2023年，星期五三、混沌电路的定义

目前混沌电路的定义有多种形式，这里采用系统的初始激发已经衰减到零时的稳态响应的频率特性来定义。稳态响应的频率特性粗分有下列4种：1、噪声响应：系统输出为噪声，连续频谱输出。

2、静态响应：在状态相空间，所有轨道趋于一个平衡点。

3、同频周期响应、非同频周期响应与准周期响应：系统输出与输入信号相同频率的周期波形，即ωo=ωi;系统输出与输入信号正整数倍频率的周期波形，ωo=nωi，n为正整数;系统输出与输入信号真分数倍频率的周期波形，即ωo=pωi,p为真分数;系统输出与输入信号基频不可约分的周期分量波形。

4、混沌电路：与以上电路都不同的输出，定义如下：一个由确定性运动方程所描述的确定性电路，由直流或确定性输入信号所激励，其输出波形中包含一段或多段连续频谱，那么称此电路为混沌电路。第十页，共六十页，编辑于2023年，星期五四、几种混沌电路之间的关系1、混沌电路动态特性的共同点任何混沌电路的相图都落在某一个奇异吸引子之中，前面几节讨论的几个吸引子是在三维相空间中运动。相图具有以下几个特点：（1）一个相图中的相轨线只有一根，无头无尾，（平衡点是不动点，应该认为是无穷时间，并且实际上绝对的不动点是不存在的。表示运动无休止，永不重复，永不相交。（2）庞加莱截面图是分形图，有精细结构，无限复杂，具有自相似性。（3）奇异吸引子有不稳定的平衡点、吸引盆、吸引域、分形面。其中我们感兴趣的是，经常是一个不稳定焦点，如洛斯勒吸引子;两个不稳定焦点，如蔡氏电路、杜芬方程电路、洛伦茨方程电路的吸引子等;少数是多个不稳定焦点。第十一页，共六十页，编辑于2023年，星期五2、几个混沌电路的分组、比较与相互关系（1）从线性LRC串联电路与LRC谐振电路演变而来的非线性电路。

线性LRC串联电路与线性LRC谐振电路满足的微分方程分别是

范德坡方程是

杜芬方程是对照线性LRC串联电路与范德坡方程，范德坡方程是将线性LRC串联电路一阶导数的正系数2μ改为μ（x2-1）,使得当x>1时为衰减振荡，当x<1时为增幅振荡，从而产生极限环。范德坡方程的非线性项是从一阶导数的系数中引入的。第十二页，共六十页，编辑于2023年，星期五对照线性LRC谐振电路与杜芬方程，实质是仅仅多了一项ax3，导致线性的单峰谐振幅频曲线成为多峰谐振幅频曲线，出现了混沌。（2）圆周映射是双频非线性耦合，从电路构成来看，它与杜芬方程电路是完全相同的，实验电路都是LC振荡器。（3）蔡氏电路洛沦兹方程电路第十三页，共六十页，编辑于2023年，星期五洛斯勒方程电路

这三个方程电路是一组电路，是三阶微分方程电路。蔡氏电路的非线性项是五段折线，能用x的1、3、5、7、9等次多项式拟合。洛沦兹方程的非线性项是xz与xy，洛斯勒方程的非线性项是xz。根据这样一来的规律，我们也可以自己构造出形形色色的非线性电路，实现混沌电路的灵活设计。（4）逻辑斯蒂映射

对应的电路是最普遍的混沌电路，几乎所有的混沌电路中都有逻辑斯蒂映射关系，例如蔡氏电路就是这样的典型电路。第十四页，共六十页，编辑于2023年，星期五§2

典型蔡氏混沌电路分析一、典型蔡氏电路结构与状态方程

1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授发明了蔡氏电路(Chua’sCircuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。蔡氏电路是由线性电阻﹑电容、电感和非线性“蔡氏二极管”组成的三阶自治电路，它满足以下一种能够产生混沌的条件：（a)非线性元件不少于一个；（b)线性有效电阻不少于一个；（c)储能元件不少于三个，蔡氏电路符合以上标准，如图4-1。一个具体的典型蔡氏电路如图4-2所示。图4-1蔡氏电路方框图第十五页，共六十页，编辑于2023年，星期五图4-2典型的蔡氏电路另一种典型的蔡氏电路如图4-3所示，也是经常被讨论的一个电路。图4-3另一种典型的蔡氏电路第十六页，共六十页，编辑于2023年，星期五蔡氏电路状态方程为：其中，或VC1、VC2和iL

分别是元件C1、C2的两端电压及通过电感的电流，G是可调阻抗器的电导，G=1/RN是等效非线性电阻的电导。上述三个方程是一个等式右端不显含时间的常微分方程组，系统状态由VC1、VC2、iL三个状态变量描述，构成三维相空间。由于G(VC1）是非线性电阻函数，可以用多项式函数展开，含有高次项，所以在方程组中的第一个方程是非线性方程。第十七页，共六十页，编辑于2023年，星期五二、蔡氏电路电压、电流图形分析1、波形图分析典型蔡氏电路图4-2、图4-3的电压、电流波形呈现复杂的运动形态，处于无休止的运动，也不是周期性的运动，其中V1与IL在两个正、负数值之间跳来跳去，波形相同而极性相反；V2在零附近无规则地变化，如图4-4所示。(a)V1波形(b)V2波形(c)IL波形图4-4典型蔡氏电路V1、V2与IL信号输出波形2、相图分析第十八页，共六十页，编辑于2023年，星期五蔡氏电路的相图是V1-V2-IL三维空间的相轨迹流线图，在V1-V2、V1-IL、V2-IL三个相平面的透影如图4-5(a)、(b)、(c)所示，将3个相图画在一起并用立体图的形式表示则见图4-5(d)。由相图清楚可见，相图轨线在三维相空间中围绕两个点旋绕并在这两个点之间跳来跳去，永不闭合，运动是无周期的。蔡氏电路的这一个运动形态被蔡氏叫做“双涡旋”，因为它的相图很象两个靠近的旋涡。图4-5(e)是三维相图的形象化画法。(a)Vc1~Vc2平面相图(b)Vc1~IL平面相图(c)Vc2~iL平面相图第十九页，共六十页，编辑于2023年，星期五

(d)三维相图产生的三个平面相图(e)三维相图刻画图4-5典型蔡氏电路双涡旋输出相图三、蔡氏电路元件参数对运动形态的影响第二十页，共六十页，编辑于2023年，星期五

蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有不同的拓扑性质，上述典型蔡氏电路的运动形态仅仅是一个特例，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。现在以其中的线性电阻R为例说明。R两端分别是线性元件与蔡氏二极管，R将这二者连接。在线性元件C2、L端，是非耗能元件（储能元件），蔡氏二极管是放能元件，只有R是耗能元件。将R的参数为控制变量进行讨论，为了使得讨论过程方便，将电阻R从大到小的顺序进行讨论，使用图4-2的电路参数，重点讨论R在1.298kΩ-1.92kΩ这一范围的状态。先考虑R很大的情况，即R>1.92kΩ，例如R为100kΩ，电路状态变化中V1与V2相图为稳定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，这就是不动点。R逐渐减小至1.911K时，等幅振荡。R逐渐减小至1.910K时，增幅振荡开始，L、C2振幅增至3.7V,C1蔡氏二极管振幅增至3.7V,周期1。第二十一页，共六十页，编辑于2023年，星期五

R=1.918~1.820K，周期2；R=1.819~1.818K，周期4；R=1.787K，周期8；R=1.786K，周期16；R继续减少至1.750K为单涡旋图形，这是电路第一次进入单涡旋混沌，为洛斯勒形混沌吸引子。R继续减少会出现周期3、周期6、周期12等，并第二次进入单涡旋混沌。这样继续周期-混沌-周期-混沌地演变，直至洛斯勒形混沌结束。

减少至R=1.7165K时演变成双涡旋图形。基本范围是R为1.716K~1.300K。仔细调试R值（在1/10000精度内）并仔细观察还会发现，双涡旋混沌相图的演变中也有各种“周期”出现，例如R=1.349K时出现“周期5”，R=1.324K时出现“周期3”等。R=1.320K~1.300K,无波形，有一个短暂的不动点。R=1.200K~1.000K时，10.0mS之前不动，之后缓慢增幅振荡从而达到最大振幅，呈单叶周期。第二十二页，共六十页，编辑于2023年，星期五各种演变的波形图、相图等如图4-6至图4-7所示。(a)稳定焦点,V1波形

(b)周期1,V1波形

(c)周期3,V1波形（d)单涡旋,V1波形(e)双涡旋,V1波形(f)稳定焦点,V2波形(g)周期1,V2波形(h)周期3,V2波形(i)单涡旋,V2波形(j)双涡旋,V2波形图4-6蔡氏电路V1与V2信号输出波形第二十三页，共六十页，编辑于2023年，星期五(a)稳定焦点(b)周期1(c)周期2(d)周期4(e)周期8(f)单涡旋混沌(g)周期3(h)周期6(i)双涡旋混沌(j)双涡旋中的“周期3”(k)双涡旋中的“周期5”图4-7蔡氏电路相图中看到的混沌演变（V1-V2相图）第二十四页，共六十页，编辑于2023年，星期五改变蔡氏电路的其它元件参数如L、C1、C2等参数范围，也能够得到以上结论。四、蔡氏电路频谱分析

因为蔡氏电路输出波形不是周期波形，也不是噪声，而是一个混沌吸引子。这一特点决定它的频谱不是离散谱，也不是光滑连续谱，而是不光滑连续谱。L、C1点的频谱在不同电路状态下的频谱图如图4-8所示。周期1(R=1.83K)

周期2(R=1.80K)第二十五页，共六十页，编辑于2023年，星期五单涡旋混沌(R=1.75K)双涡旋混沌(R=1.50K)“周期5”(R=1.3525K)图4-8频谱图第二十六页，共六十页，编辑于2023年，星期五

由上叙述可见，R的变化引起蔡氏电路运动形态拓扑结构的变化。为了便于看出蔡氏电路中混沌工作区域范围在参数中的位置，给读者一个印象，特将R参数值作为横坐标予以表示，如图4-9所示。图4-9蔡氏电路中混沌工作区域范围示意图

由图可见，混沌工作区域范围在参数中所占的比例很小，在经典电子学中，这个范围在电子学工作者的经验中可以完全被忽略，这在其它学科中也是类似的，正是这个原因使得混沌现象在历史上多次被观察到而多次被忽视。第二十七页，共六十页，编辑于2023年，星期五五、蔡氏电路仿真方法

对于蔡氏电路仿真方法，尽管有许多种专用软件可以选择，但是任何一种专用软件都远远不能满足我们的要求。现将常用软件在蔡氏电路仿真方面的应用情况列表如下:表4-2蔡氏电路仿真软件特点对比一览表软件名称功能原理图电路原理图波形图相图频谱图庞加莱截面管理界面李氏指数Protel最好最好好无好无无无Pspice好好好好很好无无无EWB好好好很好很好无无无VewSystem好好好很好很好无无无Matlab很好无很好很好编程编程编程很好VB无无编程技巧编程技巧编程编程技巧编程技巧很好VC无无编程技巧编程技巧编程编程技巧编程技巧很好第二十八页，共六十页，编辑于2023年，星期五六、实际电路元件组成的蔡氏电路实验装置

注意蔡氏电路中的电感器L，它没有串联的一个等效小电阻，而实际电感器L总是等效串联一个小电阻的，若考虑这个小电阻，这种蔡氏电路就叫做蔡氏振荡器。由于蔡氏振荡器分析结果很麻烦，没有多大的理论价值，一般不予讨论。但是电感器L等效串联小电阻，这就引出几个问题，第一，若用实际电感器L组成蔡氏电路，必须考虑L小电阻的影响，仿真时要在L上串联一个小电阻。第二，若要使用无误差的理想化的L，必须专门设计L，可用运算放大器电路实现，这就是有源电感的应用，具体电路如图4-10所示，将有源电感单独画于图4-11，并对有源电感值计算如下。第二十九页，共六十页，编辑于2023年，星期五图4-10有源电感代替无源电感的蔡氏电路图4-11有源电感具体电路第三十页，共六十页，编辑于2023年，星期五

当Z1、Z3、Z5全为电阻，Z2与Z4中的一个为电容时，电路呈现电感，将R4换成C4，则有

有源电感值计算容易，测量也容易，用双踪示波器的两个探头分别接V1与V5，可以分别看到有源电感的电压与电流，当置于李萨如位置时能够看有源电感的相图。第三十一页，共六十页，编辑于2023年，星期五

典型蔡氏电路也可以改变它的局部结构而仍然产生混沌输出，上面的蔡氏振荡器就是一例。典型蔡氏电路为基础派生出来的电路很多，例如在C1两端并联一个小电容就能改变蔡氏电路的动态特性。它在保密蔡氏电路中得到应用。如果在线性电阻与C2、L端并联一节RC电路，也能产生混沌输出，并且此混沌更复杂，因为多了一个储能元件，也就使得微分方程多了一阶，这样的混沌是超混沌。

蔡氏电路的物理电路实验具有一定的难度，这是由于混沌运动对于电路元件参数的误差特别敏感，一般说来，蔡氏电路中只要一个电路元件的误差超过1%就有可能导致整体设计的失败，这在后面讲到的混沌同步实验中特别重要，要引起足够的重视。而在线性电子线路中不存在这样的问题。第三十二页，共六十页，编辑于2023年，星期五

典型蔡氏电路实验除仔细选择电子元件外，对于线性电阻R的4-5位精度一定要保证，在初步实验中可以用2个多圈精密电位器串联进行细心调试，定型实验装置中使用高稳定度的电阻器元件R，需要时自行绕制电阻器R。电感器L的小电阻要在焊接之前测量出来并做好记录以备后查，仿真时要对它进行仿真，电子市场买到的普通电感器一般不能产生混沌输出，若必须使用电子市场买的普通电感器，可以使用几只串联，最好自己专门绕制电感器，并且需要精确测量它的参数。电子市场买到的普通电容器一般离散性很大，也需要精心选择。第三十三页，共六十页，编辑于2023年，星期五

制作多个相同的混沌电路时，必须保证电路元件的对称性，可以在购买电子元件时多购买3-10倍的元件，从中选取参数集中的元件组成设计电路。设计混沌电路参数时，尽量使较多的元件具有相同的参数，以利于元件采购，这是混沌电子线路实验的特点。非线性电路的设计极易失败，线性电子线路实验的经验有很大的局限性。第三十四页，共六十页，编辑于2023年，星期五§3范德坡方程及其电路

一、范德坡微分方程与二阶LC振荡电路

振荡是自然界普遍存在的一种运动形式，力学、声学、热力学、电工学、光学、微观粒子中普遍存在着各种各样的振动，其深入研究具有理论意义与应用价值。本节研究非线性电路的极限环，它对应电子学中的各种自激振荡电路，并以二阶电路为例进行研究。从电子学一个世纪的历史来看，范德坡方程电路是最早遇到的能够产生混沌的电路，范德坡是第一个遇到混沌的科学家。当时范德坡研究的是三相复振荡器，并且进行振荡电路实验研究，当改换振荡频率过程时，在耳机中听到不规则的振荡声音，这正是混沌声音，范德坡把电路中的混沌现象理解为是噪声，是暂时没有消除的电路设计缺陷。第三十五页，共六十页，编辑于2023年，星期五

描述振荡电路的微分方程是范德坡方程，它是非线性微分方程，在21世纪20年代研究电子管RLC电路时得到。与线性微分方程相比，非线性微分方程的解有两个新结果，一是能够产生稳定性极限环，一是能够产生不确定性混沌。本节重点讨论稳定极限环，也提及如何由稳定极限环转换成混沌。RLC的电压电流关系容易导出所需微分方程，只要考虑到电子管电路的非线性，就能得到范德坡非线性微分电路方程。现在的教科书中的多数振荡器电路都是这样的非线性电路，本质就是放大器的限幅非线性。

电子电路中的振荡电路是耗散结构，它从直流电压源中获得电的能量，以储能元件电容与电感进行电场能与磁场能两种形式的电能量之间的交换，又通过其中的电阻将电能转换成非电能的热能。下面推导从晶体管LC振荡器得到的范德坡方程。图4-12(a)是一个简单LC振荡器电路，等效交流电路如图(b)，图(b)中的电压源是变压器耦合电压，来自电感的耦合电压。第三十六页，共六十页，编辑于2023年，星期五

将L的串联等效电阻r变换成并联形式，用符号R表示，是线性电阻，如图(c)。将三极管等效为电阻RNL如图(d)。这个电阻是电压控制电流型的广义电阻，是一个非线性负电阻，推导如下：三极管的集电极电压-基极电压关系曲线是反向变压器决定的曲线，如图(e)所示。三极管的基极电压-基极电流关系曲线，如图(f)所示，其中ube1是发射结导通电压，对于硅材料约0.65伏。三极管的基极电压-集电极电流在放大区是线性关系，饱和后集电极电流不再改变，由直流电压源的电压与集电极直流电阻决定，如图(g)所示。结合图(f)与图(g)，得到图(h)基极电压-集电极电流关系曲线，整个曲线呈现“S”型，如图(h)所示。综合图(e)与图(h)得到集电极电压-集电极电流关系曲线，如图(i)所示。这就是最终的广义电阻特性曲线，请与右上角的线性电路比较。为了下面的公式简化，做坐标平移，将图(i)坐标原点移动到Q点，如图(j)所示。第三十七页，共六十页，编辑于2023年，星期五图4-12范德坡电路广义电阻推导用图第三十八页，共六十页，编辑于2023年，星期五

图4-12(i)中的特性曲线描绘的是本电路中RC谐振时，或者说是集电极负载是纯电阻时的晶体管集电极电压-集电极电流关系曲线，用三次项表示，这一特性曲线可以用如下公式表达：移动坐标原点去掉直流项，如图(j)所示，上式去掉下标，表达式成为且有g1>0，g3>0由图4-12（j）建立电路状态方程比较方便4-14-24-3将3-22代入，将4-2代入，第三十九页，共六十页，编辑于2023年，星期五拟将4-4式改写成无量纲的数学方程，作如下变换4-4得到下面的范德坡方程4-5第四十页，共六十页，编辑于2023年，星期五4-6消取x2，容易将上式改写成4-7范德坡发现，当μ值变大时，振荡波形变成方波，范德坡称之为张弛振荡，它对于某些强迫频率特别敏感，可以不需共振而锁定在强迫频率上，从而能够产生混沌。范德坡方程具有很有趣的结果，特别是受迫范德坡方程使得人们去做更深一步的研究。范德坡方程有一个变形形式第四十一页，共六十页，编辑于2023年，星期五

与人的心脏跳动的波形接近，可以作为心脏搏动的模型，心电图由P、Q、R、S和T五个波段组成，心跳是一种张弛振荡，心律不齐是包括健康人在内的常见状态，严重心律不齐则是心脏疾病，用数学方法或者电路方法模拟心律不齐并分析其规律性涉及生命科学技术问题，具有实际应用价值。历史上的范德坡就对于此问题特感兴趣，他发表了重要文章《心脏搏动是张弛振荡及一个心脏的电模型》，含有清晰的用混沌学观点研究生命科学的思想方法。第四十二页，共六十页，编辑于2023年，星期五二、范德坡方程定性讨论

对于范德坡方程，它的积分曲线可以使用三种标准方法求得，一是严格意义下的纯数学分析方法，找出其运动形态;二是数值计算方法做出其积分曲线;三是凭经验使用对比的方法求出它的运动规律，下面先使用对比的方法求出它的运动形态。对比方程是线性RLC串联谐振电路方程第四十三页，共六十页，编辑于2023年，星期五对应于普通电路中，R总是正值，构成阻尼因子，使电流输出有三种形式：阻尼振荡、欠阻尼振荡与过阻尼振荡，三种情况都是衰减振荡，都是一次微分项系数（1/RC）>0。对照范德坡方程，当µ>0，若|x|>1，表示振荡振幅比较大，则，与式3-28描述的电路形态相同，电路系统呈现正电阻特性，LC电路系统消耗能量为衰减振荡;反之，若|x|<1，则，电路系统呈现负电阻特性，LC电路系统增加能量为增幅振荡。因此可以猜测到，电路输出等幅振荡，这是通常LC振荡电路系统研究方法所讲述的内容。等幅振荡的相图图形是一个封闭的环形，数学上称为极限环，动力学中称为吸引子，是稳定的周期运动，无混沌。当µ<0，若|x|>1，呈现负电阻特性，电路系统发散;若|x|<1，呈现正电阻特性，电路系统趋于不动点，这也是一种极限环，不过这是一种与吸引子极限环相对的极限环，称为排斥子，是不稳定的极限环，整体刻画如图4-13。第四十四页，共六十页，编辑于2023年，星期五图4-13范德坡方程极限环整体刻画第四十五页，共六十页，编辑于2023年，星期五

由上面分析可知，传统LC振荡电路中输出的波形严格说来不是正弦波，频率也不很稳定，为了使LC振荡输出正弦波不失真与幅度稳定，需要对图4-12（a）的放大电路加入交流负反馈或者采取其它稳幅措施，为了稳定正弦波频率，需要增加谐振回路Q值或者使用晶体振荡器.从范德坡方程来看，就是使其相图更接近圆形。第四十六页，共六十页，编辑于2023年，星期五三、范德坡方程数值分析

下面用VB编写简单的程序进行仿真，使用四阶龙格-库塔法。编写程序的思想是，在预测的极限环内外分别选择一个坐标点作为初始条件，现选(0.5,0.5)、(0.5,3)，分别从这两个初始点上迭代，为了提高运算精度，算法使用四阶龙格-库塔算法。为了显示结果的数量化表示，程序用了较多的篇幅编写坐标显示图形。

程序运行结果如图4-14所示，图中µ值分别是-0.02、-0.01、0、0.1、0.5、1、2、3的仿真结果，图中从（d）开始，µ值>0，显示出清晰的极限环。第四十七页，共六十页，编辑于2023年，星期五(a)µ=-0.02(b)µ=-0.01(c)µ=0(d)µ=0.1(e)µ=0.5(f)µ=1第四十八页，共六十页，编辑于2023年，星期五(g)µ=2(h)µ=3图4-14范德坡方程极限环第四十九页，共六十页，编辑于2023年，星期五图4-15MATLAB的范德坡波形与极限环运行结果第五十页，共六十页，编辑于2023年，星期五§4普通混沌电路

一、研究普通混沌电路的背景与意义

前面讨论过的各种各样的混沌电路以及所依据的非线性方程，由于历史的原因或者其它原因，从电子电路设计的角度来看，总是带有“特殊性”的“手工工艺品”，使得这些非线性电路设计不很流畅。现代电子电路发展很快，可以提供的电路设计手段很多，另一方面，非线性方程也很多。因而，用电子电路设计非线性动力系统是很容易的，稍微使用一些电路技巧就可以设计出很多很灵活的非线性电路系统。

电子电路的内容既丰富又灵活，像一座大舞台，电子学工作者们在这里创造了一个又一个电子电路的奇迹。如果说前面几节讲述的著名非线性电路是著名科学家在特定领域内创造的奇迹，那么，本节叙述的就是广大的电子工作者各显神通壮阔场面。第五十一页，共六十页，编辑于2023年，星期五二、非线性电路组成单元

一个非线性电路是由几个基本单元电路组成的，这些基本单元电路多数是线性基本单元电路，而非线性基本单元电路很少，一般是一个。线性基本单元电路有的仅是一个单一线性电路元件，如电阻器、点容器、电