全等三角形的判定第四课时

12.2全等三角形的判定

（第四课时）例1.如图12-2-61，在△ABC中，D为BC边中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF．那么∠B与∠C之间有什么关系？说明你的理由．典型例题精析

解：∠B=∠C．理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.又∵D为BC边中点，∴BD=CD．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B=∠C．1．如图12-2-62，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD=BE，DC=EC， 则下列结论不正确的是()A．Rt△ACD≌Rt△BCE B．OA=OBC．E为AC的中点 D．AE=BD变式练习C2．如图12-2-63，在△ABC中，∠C=90°,AD=AC,

DE⊥AB交BC于点E.若∠B=28°,则∠AEC=

.59°3．如图12-2-64，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F为垂足，DE=BF．求证：AE=CF．证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°．∵AB=CD，DE=BF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF．例2.如图12-2-65，在△ABC与△FGE中，CD、EH分别是高，且AC=EF，CD=EH，∠ACB=∠FEG．请问△ABC与△GEF全等吗？为什么？解：△ABC与△GEF全等．理由如下：∵CD、EH分别是两个三角形的高，∴∠ADC=∠FHE=90°．在Rt△ADC和Rt△FHE中，∵AC=FE，CD=EH，∴Rt△ADC≌Rt△FHE(HL)，∴∠A=∠F.又∵AC=EF，∠ACB=∠FEG，∴△ABC≌△FGE(ASA)．4．如图12-2-66，已知∠B＝∠C，AP∥BC，PM⊥AB，PN⊥AC，M、N为垂足.下列结论中： ①∠APN=∠C; ②∠PAN=∠B; ③AM=AN; ④PM=PN.

正确结论的个数是()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个变式练习B5．如图12-2-67，AD、EH分别是锐角三角形△ABC与△EFG的高，且AB=EF，AD=EH.若使△ABC≌△EFG，可添加的条件是

等(只需填一个)．BC=FG或∠C=∠G6．如图12-2-68，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD=DF． 求证：CF=EB．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAE．∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°．∵AD=AD，∴△ADC≌△ADE(AAS)．∴CD=DE.在Rt△FCD和Rt△BED中，∵BD=DF，DC=DE．∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL),∴CF=EB．1．不能使两个直角三角形全等的条件是()A．一条直角边及其所对锐角对应相等B．斜边和一条直角边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．两个锐角对应相等基础过关精练D2．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再画出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上(如图12-2-69)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，则说明△EDC≌ △ABC的理由是()A．SAS B．ASA C．SSS D．HLB3．如图12-2-70，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是()A．CB=CD B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°C4．如图12-2-71，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为

.110°5．如图12-2-72，在△ABC中,AD⊥BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长为

.16．如图12-2-73，有两个长度相同的滑梯(BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=

．90°7．如图12-2-74，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，

EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，且BE=DF． 求证：CE=CF．证明：连接AC.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC,AB=AD,∴Rt△ABC≌Rt△ADC,∴BC=CD.在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC=CD,BE=DF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，∴EC=CF．8．如图12-2-75，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，

CE⊥BD的延长线于点E． 求证：BD=2CE．证明：延长CE与BA，延长线交于点F．∵CE⊥BD，∴∠1＋∠F=90°．又∵∠BAC=∠F＋ACF=90°,∴∠1=∠ACF．又∵AB=AC，∴Rt△ABD≌Rt△ACF(ASA)，∴BD=FC．∵CE⊥BD，∠1=∠2,∴△BEF≌△BEC(ASA)，∴CF=2CE．又∵BD=CF，∴BD=2CE．9．如图12-2-76，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC=BD，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm．则△ADE的周长是

．能力提升演练6cm10．如图12-2-77，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=

时，△ABC和△PQA全等．5或1011．如图12-2-78，∠ADB=∠ACB=90°，AC=BD，AC、BD交于点O，给出下列五个结论：①AD= BC；②∠DBC=∠CAD；③AO=BO；④AB∥CD；⑤DO=CO．其中正确的有

(填序号)．①②③④⑤12．【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．拓展探究训练【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时， △ABC≌△DEF．

(1)如图12-2-79①，在△ABC和△DEF中，AC= DF，BC=EF，B=∠E=90°，根据

，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

HL

第二种情况：当∠B是钝角时，ABC≌△DEF．

(2)如图12-2-79②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角.求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

(2)证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H.∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH.在△CBG和△FEH中，∠CBG=∠FEH,∠G=∠H=90°,BC=EF,∴△CBG≌△FEH(AAS)，∴CG=FH.在Rt△ACG和Rt△DFH中，AC=DF,CG=FH，∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,AC=DF,∴△ABC≌△DEF(AAS).(3)在△ABC和△DEF中，AC=DF，

BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠