高数课件导数与极限偏

高等数电子教编安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics案§9.2偏导数学

Partialderivative

二、偏导数的定义

及其计算法三、高阶偏导数一、问题的提出高等数学§9.2偏导数二、偏导数的定义及其计算法2.1、偏导数的概念一、问题的提出2.3、偏导数的计算法2.2、偏导数的几何意义2.4、对偏导数的几点说明2.5、偏导数与连续的关系三、高阶偏导数3.1、高阶偏导数的定义3.2、混合偏导数相等条件四、小结偏导数的定义偏导数的计算、几何意义高阶偏导数(偏增量比的极限)纯偏导混合偏导（相等的条件）思考题若f(x,y)在点P0(x0,y0)连续,能否断定f(x,y)在点P0处的偏导数一定存在？作业：Page691(1\3\5\7);4;5;7;8.课前练习课前练习解：

一元函数的导数定义为函数增量与自变量增量的比值的极限,它刻画了函数对于自变量的变化率.对于多元函数来说,虽然自变量的个数增多了,我们仍然可以考虑函数对某一个自变量的变化率,也即是在其中一个自变量发生变化,而其余自变量都保持不变的情形下,考虑函数对于该自变量的变化率。比如：在生产函数Q=AKaLb中,产出Q是投入资金K和劳动L的二元函数.若投入劳动L不变,则产出Q即投入资金K的一元函数,Q对K的变化率即Q'k=aAKa

-1Lb;若投入资金K不变,则产出Q就是投入劳动L的一元函数,Q对L的变化率就是Q'L=bAKa

Lb

-1.多元函数对某一个自变量的变化率引出了多元函数的偏导数概念.一、问题的提出二元函数的改变量⑴x变y不变⑵x不变y变⑶x变y变设z=f(x,y),二元函数的改变量依自变量变化有三种类形一、问题的提出2.1、偏导数的定义⑴二元函数在一点处的偏导数定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,固定y=y0不变,

如果一元函数z=f(x,y0)在x0处可导,即极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记为00yyxxxz==¶¶，00yyxxxf==¶¶，00yyxxxz==或),(00yxfx.类似地,如果极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数,记为00yyxxyz==¶¶，00yyxxyf==¶¶，00yyxxyz==或),(00yxfy.二、偏导数的定义及其计算法⑵函数在区域D内偏导(函)数如果函数),(yxfz=在区域D内任一点),(yx对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz=对x的偏导(函)数;

记作xz¶¶，xf¶¶，xz或),(yxfx.处同理可以定义函数),(yxf

z=对自变量y的偏导记作yz¶¶，yf¶¶，yz或),(yxfy.数,⑶点偏导数与偏导函数关系是z=f(x,y)关于x的偏导函数;是z=f(x,y)关于x的偏导函数在点(x0,y0)的值;二、偏导数的定义及其计算法是z=f(x,y)关于y的偏导函数;是z=f(x,y)关于y的偏导函数在点(x0,y0)的值;⑷对二元偏导数概念的推广如:

u=f(x,y,z)在(x,y,z)处,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxxD-D+=®D,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyyD-D+=®D.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzzD-D+=®D二、偏导数的定义及其计算法2.2、偏导数的几何意义)),(,,(00000为曲面z=f(x,y)上一点,设yxfyxM如图⑵偏导数fy(x,y)表示曲面z=f(x,y)与平面x=x0的交线z=f(x0,y)在空间点M0处的切线Ty对y轴的斜率.这说明二元函数在点M0(x0,y0,

f(x0,y0))处偏导数反映的只是该函数在点M0沿x轴和y轴两个方向的变化率.⑴偏导数fx(x,y)表示曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线z=f(x,y0)在空间点M0处的切线Tx对x轴的斜率.xyzOx0y0z=f(x,y0)M0TyTxz=f(x0,y)(x0,y0)二、偏导数的定义及其计算法2.3、偏导数的计算法二、偏导数的定义及其计算法对x求偏导：将y看成常量(y不变)；对y求偏导：将x看成常量(x不变).原则求偏导数时，注意哪个是常量，哪个是变量即可。（求导法则与一元函数一样）例1求223yxyxz++=在点)2,1(处的偏导数．解例2

求z=的偏导数。解：例3

求曲线在点(2,3,4)处的切线对于x轴的倾角是多少？解：二、偏导数的定义及其计算法证例4设yxz=)，1,0(¹>xx求证z.yzxxzyx2ln1=¶¶+¶¶即原结论成立．二、偏导数的定义及其计算法解不存在．22arcsinyxxz+=，求与

.xz¶¶练习：设yz¶¶二、偏导数的定义及其计算法例5

求z=f(xy)的偏导数，其中f

可微。解：利用复合函数求导法：=f(xy)·(xy)x=xylnx·f(xy)=yxy-1·f(xy)=f(xy)·(xy)y’例6

求u=xy+yz的偏导数(三元函数,有三个偏导数)解：=yxy-1(y、z都是常量),(x、z是常量)，=xy

lnx+zxz-1(x、y是常量).=yzlnz二、偏导数的定义及其计算法证例7已知理想气体的状态方程RTpV=(R为常数)，求证：1-=¶¶·¶¶·¶¶pTTVVp.二、偏导数的定义及其计算法2.4、对偏导数的几点说明⑴偏导数xu¶¶是一个整体记号，不能拆分;⑵求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解).0,0(),0,0(,),(,yxf'f'xyyxfz求设例如==xxf'xx0|0|lim)0,0(0-.=®例8设f(x,y)=)0,0(),(0)0,0(),(22求f(x,y)的偏导数.yxyxyxxy=¹+解22222)(2)(),(yxxyx·yxyyxf'x+-+=二、偏导数的定义及其计算法22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy+·-+=按定义可知：xfxffxxD-D=®D)0,0()0,(lim)0,0(0yfyffyyD-D=®D)0,0(),0(lim)0,0(0,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222ïîïíì=¹+-=yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222ïîïíì=¹+-=yxyxyxyxxyxfy二、偏导数的定义及其计算法？一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，2.5、偏导数与连续的关系例如,函数依定义知在(0,0)处，但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.二、偏导数的定义及其计算法3.1、高阶偏导数的定义若函数z=f(x,y)的一阶偏导数fx(x,y)、fy(x,y)的偏导数存在,则称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.⑵二阶偏导数分类⑴二阶偏导数的定义按照对自变量求导次序的不同,可分以下两类①二阶纯偏导数②二阶混合偏导数⑶高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数的统称。n阶偏导仿二阶可定义n个纯偏导,2n-n个混偏导.三、高阶偏导数解例9设13323+--=xyxyyxz，

求22xz¶¶、xyz¶¶¶2、yxz¶¶¶2、22yz¶¶及33xz¶¶.

三、高阶偏导数解例10

设byeuaxcos=，求二阶偏导数.

三、高阶偏导数⑴问题：3.2、混合偏导数相等的条件混合偏导数都相等吗？例11.),()0,0(),(0)0,0(),(),(223的二阶混合偏导数求设yxfyxyxyxyxyxf=¹+=解2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx+·-+=,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy+-+=按定义可知：,)0,0(),(时当=yx三、高阶偏导数按定义可知：xfxffxxD-D=®D)0,0()0,(lim)0,0(0yfyffyyD-D=®D)0,0(),0(lim)0,0(0yfyffxxyxyD-D=®D)0