矢量分析专题培训课件

§1.1矢量表示法和代数运算1.1.1矢量表示法及其和差

若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知,一个矢量就确定了。例如在直角坐标系中,矢量A的三个分量模值分别是Ax,Ay,Az,则A可表示为该矢量的模为A的单位矢量为把两个矢量的对应分量相加或相减,就得到它们的和或差。设则图1-1直角坐标系中矢量的分解图1-2矢量的相加和相减1.1.2标量积和矢量积

矢量的相乘有两种定义:标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。标量积A·B是一标量,其大小等于两个矢量模值相乘,再乘以它们夹角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:它符合交换律:并有因而得

矢量积A×B是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘,再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦,其方向与A,B成右手螺旋关系,为A,B崐所在平面的右手法向:它不符合交换律。由定义知,并有故A×B各分量的下标次序具有规律性。例如,分量第一项是y→z,其第二项下标则次序对调:z→y,依次类推。并有1.1.3三重积;

矢量的三连乘也有两种。标量三重积为矢量三重积为公式右边为“BAC-CAB”,故称为“Back-Cab”法则,以便记忆。图1-3矢量乘积的说明§1.2通量与散度,散度定理

在描绘矢量场的特性时,矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。在矢量分析中,将曲面的一个面元用矢量ds来表示,其方向取为面元的法线方向,其大小为ds,即

是面元的法线方向单位矢量。的取法(指向)有两种情形:对开曲面上的面元,设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的,则当选定绕行l的方向后,沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是的方向,如图1-4所示;对封闭曲面上的面元,取为封闭面的外法线方向。图1-4开曲面上的面元

将曲面S各面元上的A·ds相加,它表示A穿过整个曲面S的通量,也称为A在曲面S上的面积分:如果S是一个封闭面,则表示A穿过封闭面的通量。若Φ＞0,表示有净通量流出,这说明S内必定有矢量场的源;若Φ

＜0,表示有净通量流入,说明S内有洞(负的源)。通过封闭面的电通量Φ等于该封闭面所包围的自由电荷Q。若Q为正电荷,Φ为正,有电通量流出;反之,若Q为负电荷,则Φ为负,有电通量流入。1.2.2散度,哈密顿算子;定义如下极限为矢量A在某点的散度(divergence),记为divA:

式中ΔV为封闭面S所包围的体积。此式表明,矢量A的散度是标量,它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。它反映A在该点的通量源强度。显然,在无源区中,A在各点的散度为零。这个区域中的矢量场称为无散场或管形场。

哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符(读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”)表示下述矢量形式的微分算子:它兼有矢量和微分运算双重作用,因而与普通矢量有所不同:

A的散度可表示为算子与矢量A的标量积,即利用哈密顿算子,读者可以证明,散度运算符合下列规则:1.2.3散度定理既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即上式称为散度定理,也称为高斯公式。利用散度定理可将矢量散度的体积分化为该矢量的封闭面积分,或反之。例1.1

点电荷q在离其r处产生的电通量密度为

求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量[解]

可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。它是管形场。这证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。例1.2

球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算［解］§1.3环量与旋度,斯托克斯定理1.3.1环量

矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为图1-5矢量场的环量1.3.2旋度的定义和运算为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限

这个极限的意义就是环量的面密度,或称环量强度。由于面元是有方向的,它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。为此,引入如下定义,称为旋度(rotation):可见,矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。它描述A在该点处的旋涡源强度。若某区域中各点rotA=0,称A为无旋场或保守场。矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积,即

计算▽×A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得即

旋度运算符合如下规则:在直角坐标系中有1.3.3斯托克斯定理因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分,或反之。例1.3

自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。[解]可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。故这说明点电荷产生的电场是无旋场。因例1.4

证明下述矢量斯托克斯定理：式中S为包围体积V的封闭面。

[证]设C为一任意常矢，则从而有（1-37）根据散度定理，上式左边等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。§1.4方向导数与梯度,格林定理1.4.1方向导数与梯度;

标量场φ(x,y,z)在某点沿l方向的变化率称为φ沿该方向的方向导数。它的值与所选取的方向有关,设引入则

这就是说,▽φ的模就是φ在给定点的最大方向导数,而其方向就是该具有最大方向导数的方向,亦即φ的变化率最大的方向。因此,我们定义标量场▽φ(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度(gradient)为它是一个矢量,其模和方向就是标量场φ在该点最大变化率的值和方向。图1-6一座山的等高线图即后一式表明,梯度▽φ的方向与过该点的等值面相垂直,并由梯度定义知,它指向φ增大的方向。由此,等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为梯度运算有如下规则:1.4.2格林定理将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积,则有取上式在体积V内的积分,并应用散度定理,得(1-49)式中S是包围体积V的封闭面,是封闭面S的外法线方向单位矢量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都成立,称为格林(G.Green)第一定理。把式(1-49)中的φ与ψ交换位置,有用此式去减式(1-49),得这称为格林第二定理。除上面的标量格林定理外,还有矢量格林定理。设矢量函数P和Q在封闭面S所包围的体积V内有连续的二阶偏导数,则有矢量格林第二定理:

利用上述格林定理,可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。同时,如果已知其中一个场的分布特性,便可利用格林定理求解另一场的分布特性。

例1.5

参看图1-7,场点P(x,y,z)与源点P′(x′,y,′z′)间的距离为R,试证这里▽′表示对带撇坐标(x′,y′,z′)作微分运算(将P取为定点,P′为动点):［证］即同理可得图1-7场点与源点的坐标关系例1.6

在点电荷q的静电场中,P(x,y,z)点的电位为求P点的电位梯度▽φ。解§1.5曲面坐标系图1-8柱坐标系1.5.1圆柱坐标系各量变化范围是:三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则:

矢量A在柱坐标系中可用三个分量表示为

以坐标原点为起点,指向P点的矢量r,称为P点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中P点的位置矢量是

对任意的增量dρ,dφ,dz,P点位置沿,,方向的长度增量(长度元)分别为

它们同各自坐标增量之比,称为度量系数,又称拉梅(G.Lame)系数,分别为与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是1.5.2球面坐标系图1-9球面坐标系变化范围是:遵循右旋法则:矢量A在球坐标系中可表示为故度量系数分别为

球坐标中三个面积元和体积元分别为1.5.3三种坐标的变换及场论表示式图1-10三种坐标间的变换例如,表A-1第一列和第二列给出由表A-1第一行和第二行得这些表同样可用于矢量分量的变换。例如,由表A-2第一列得

在柱坐标中三个长度元分别为dρ,ρdφ和dz,因而其算子相应地换为球坐标长度元为dr,rdθ和rsinθdφ,故其▽算子为

为了对矢量函数求导,一个常用的公式是

由上式和表A-1得球坐标中、都是和的函数，是的函数，则得例如,柱坐标中矢量A的散度和旋度可表示为

例1.7

在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中,距离r>>l处的电位为求其电场强度E(r,θ,φ)。解§1.6亥姆霍兹定理1.6.1散度和旋度的比较(1)矢量场的散度是一个标量函数,而矢量场的旋度是一个矢量函数。;(2)散度表示场中某点的通量密度,它是场中任一点通量源强度的量度;旋度表示场中某点的最大环量强度,它是场中任一点处旋涡源强度的量度。(3)从散度公式(1-22)知,它取决于场分量Ax对x的偏导数和Ay对y的偏导数及Az对z的偏导数,所以,散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定;而由旋度公式(1-30)看出,它取决于Ax分量对y,z的偏导数及Ay,Az对与之垂直方向的坐标变量的偏导数,所以,旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。1.6.2亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理的简化表述如下:若矢量场F在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,