专题106条件概率二项分布及正态分布2020年高考数学一轮复习对点提分文理科通用学生版纸间书屋

第十篇计数原理、概率、随量及其分布专题 条件概率、二项分布及正态分了解条件概率，能计算简单随机的条件概率，了解条件概率与独立性的关系会利用乘法计算概率，会利用全概率计算概率了解试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题了解服从正态分布的随量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征设A，B为两个，且P(A)＞0， A＝P（A）(2)BC下，B发生的条件概定义：设A，B为两个，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A与B相互独立 性质：若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立(1)完备组设Ω是试验E的样本空间，A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足②A1，A2，…，An两两互不相容，则称A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备组.(2)全概率n设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥 ，且有nS，则对任 B，有P(B)＝∑P(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完 组(2)二项分n在n次独立重复试验中，用X表示A发生的次数，设每次试验中A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概n正态分布的定如果对于任何实数a，b(a＜b)，随量X满足P(a＜X≤b)＝bφμ，σ(x)dx，则称随量X服从正态分布a1记为X～N(μ，σ2).其中

e2σ2正态曲线的性xxxx＝μ③曲线在 1；σμσ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线正态总体在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997相互独立与互斥的区相互独立是指两个发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥是指在同一试验中，两个不会同时发生，计算为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).XX～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.相互独立就是互斥 对于任意两个，P(AB)＝P(A)P(B)都成立 n二项分布是一个概率分布列，是一个用P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中A发生的次数的概率分布.( n从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分 【衍化2.(选修2－3P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次 3 【体验4.(2018Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝( 35.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加 价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为33和4，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为

5 6.(2019·青岛联考)已知随量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，则 考点一条件概率与独立【例1】(1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，A＝“取到的2个数之和为偶数B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( (2)(2019和平区质检

3.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为3和AB.设甲、乙两组的研发相互独立A120B100万元.【规律方法 利用定义，分别求P(A)P(AB)，得

＝P(A)借助古典概型概率，先求A包含的基本数n(A)，再求A与B的交中包含的本数n(AB)，得

＝n(A)求相互独立同时发生的概率的主要方利用相互独立的概率乘法直接求解正面计算较繁(如求用“至少”表述的的概率)或难以入手时，可从其对立入手计算【训练1】(1)(2019一模)夏秋两季，长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性能长成概率为0.15，雌性长成熟又能成功溯卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性在长江口外浅海域已长成熟，则其能功溯卵繁殖的概率为 B.0.007(2)(2018·濮阳二模)如图，已知电路中

1

6 63

考点二全概率230%50%20%，2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？【规律方法】全概率是计算概率的一个很有用的，通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被”，必有几种方式或几个人打中.何时用全概率：多种原因导致的发生如何用全概率：将分解成两两不相容的完备组.(3)从本质上讲，全概率是加法与乘法的结合.26只白球、412次，求第二次取到白考点三30出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图如下图根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列从该流水线上任取2件产品，设Y505Y的分布列n【规律方法】利用独立重复试验概率可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该表示n次试验中A恰好发生了k次的概率.n【训练3】为研究家用轿车在高速公的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员，得到其在高速公行驶时的平均车速情况为：在55名驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，100km/h1545100km/h20100km/h25人在被的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名驾1以上述样本数据估计总体，从高速公行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h且为驾驶员的车辆为X，求X的分布列.【例4】(1)(2019·郑州模拟)已知随量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则 (2)(2019·茂名一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 (注：若X～N(μ，σ2)，则A.7 B.6 C.7 D.6 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：【训练4】(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随量X，且X～N(800，502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( (参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954＋3σ)＝0.997A.0.977 B.0.682 C.0.997 D.0.954【与感悟古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概 为P(B|A)＝P(AB)＝n(AB)，其中，在实际应用

.

＝n(A)全概率的理论和实用意义在于P(B)BAiAi往往可以简化计n(1)判断一个随量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，发生与不发生二n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某发生的概率是p，那在n次独重复试验中这个恰好发生k次的概率是PX＝k＝Ckpq－k.其中k＝0，1，…，q＝1p.n运用P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意成立的条件，只有当A，B相互独立时，才成立【素养提升【数据分析】——数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.3局，胜两局的一方获胜；另一种是比赛的一方先获胜两局则比赛结束，两种不同的赛制对于同一问题的概率计算结果是否一样呢？我们可通过的习题对此问题进行认识.(2－3P592.2B1)0.6，乙胜的概率0.43253胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？【拓展延伸】【拓展1】两方参赛匣中有3红5黑20个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球，甲先取而乙后取；人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜，而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率.【拓展2】(参赛)甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两局为止，此人即为冠军.已知每次比赛双方取胜的概率都是0.5，现假定甲、乙两人先比，【基础巩固题组】(建议用时：40分钟1.108107靶的概率是 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间6)内的概率附：若随机变ξ服从正态分布N(μσ2，则P(μσ<ξ<μσ＝68.26P(μ2σ<ξ<μ2σ 5.(2019·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽

已知随量X服从正态分布N(0，82)，若P(X>2)＝0.023，则 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 某的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客3这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则 3在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上2时间，每项只需且必须投中一次即为合格 同立定投篮 中率为2，“三步上篮 中率为4，设不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响求同学一次测试合格的概率设测试过程中投篮的次数为ξ，求ξ的分布列空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.一环保记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列【能力提升题组】(建议用时：20分钟箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( 55

4

9 3 D.C4×9