人教版数学高一学案两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

高中数学-打印版3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(难点).2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)．预习教材P128－131完成下面问题：知识点两角和与差的正切公式tanα＋tanβT：tan(α＋β)＝1－tanαtanβ；(αβ)＋tanα－tanβT：tan(α－β)＝1＋tanαtanβ．(αβ)－【预习评价】π4(1)已知tanα＝3，则tan(α－)＝()A．2C．12B．－21D．－2tanα－tan4π3－1π412解析tan(α－)＝π＝＝．1＋3×11＋tanαtan4答案C(2)求值：1－tan75°1＋tan75°＝________．解析原式＝1tan45°＋tan45°－tan75°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－33．答案－33题型一两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用1312【例1】(1)若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝()1716A．B．5756C．D．最新版高中数学高中数学-打印版tanα＋β－tanα1解析tanβ＝tan＝答案A＝．1＋tanα＋βtanα7(2)1－3＋3tan75°tan75°＝________；解析原式＝1－tan60°tan75°＝tan135°＝－1．11tan60°＋tan75°tan60°＋75°＝答案－1(3)求值：tan23°＋tan37°＋解析∵tan23°＋tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)，3tan23°tan37°＝________．∴原式＝3－3tan23°tan37°＋3tan23°tan37°＝3．答案3规律方法公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan4π来代换，以达到化简求值的目的，如11－＋tantanαα＝tan－；1－tanα＝3tan＋．3tanα＋3ππα4α4(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(3)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β．【训练1】求值：(1)1＋tan15°；(2)tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°．1－tan15°1＋tan15°tan45°＋tan15°解(1)＝1－tan15°1－tan15°tan45°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3．最新版高中数学高中数学-打印版tanα＋tanβ(2)由tan(α＋β)＝1－tanαtanβ的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1．题型二条件求值问题【例2】(1)设tanα，tanβ是方程x－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为()2A．－3B．－1C．1D．3解析由题意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tanα＋tanβ3所以tan(α＋β)＝答案A＝＝－3．1－tanα·tanβ1－212(2)已知sinα＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tanβ的值为()A．－3B．33333C．－D．解析∵α为第二象限角，∴cosα<0，cosα＝－23，∴tanα＝－33．tanα＋β－tanαtanβ＝tan＝1＋tanα＋β·tanα33－3＋＝＝－33．331＋－3·－答案C规律方法给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．最新版高中数学高中数学-打印版(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．sinα＋cosα＝3，tan(α－β)＝2，则【训练2】已知sinα－cosαtan(β－2α)＝________．解析由条件知sinα＋cosαtanα＋1＝3，则tanα＝2，＝sinα－cosαtanα－1tanβ－α－tanα因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan＝1＋tanβ－αtanα＝－2－2431＋－2×2＝．答案43题型三给值求角问题13【例3】(1)在△ABC中，tanA＝，tanB＝－2，则角C＝________；131－2tanA＋tanB解析tan(A＋B)＝1－tanAtanB＝＝－1，1－×－233π4π4∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，∴C＝π－(A＋B)＝．答案π4(2)若α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β．解∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴1t－antαan＋αttananββ＝－1.∴tan(α＋β)＝－1．π∵α，β∈，，∴α＋β∈(π，2π)．π27π∴α＋β＝．4最新版高中数学高中数学-打印版规律方法利用公式T(α±β)求角的步骤(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．(2)讨论角的范围：必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围；(3)求角：借助角的范围及角的三角函数值求角．【训练3】已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于()π8π4A．B．38πD．2C．πtanα＋β＋tanα－β3＋2解析∵tan2α＝tan＝＝＝－1，1－tanα＋β·tanα－β1－3×2π4π182∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋kπ(k∈Z)．ππ3π又∵α为锐角，∴α＝－＝288．答案C课堂达标1－tan21°1．与1＋tan21°相等的是()A．tan66°C．tan42°B．tan24°D．tan21°解析原式＝1＋tan45°tan21°tan45°－tan21°＝tan(45°－21°)＝tan24°．答案B2．已知A＋B＝45°，则A．1C．－(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()B．2D．不确定2解析(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2．最新版高中数学高中数学-打印版答案Bβ1α13α＋β23．已知tanα－＝，tanβ－＝－，则tan＝________．22211231－12×－－α＋β1＝．解析tan2＝tan＝1731答案713554．已知A，B都是锐角，且tanA＝，sinB＝，则A＋B＝____．解析∵B为锐角，sinB＝55，∴cosB＝255，∴tanB＝，1211＋tanA＋tanB32∴tan(A＋B)＝1－tanAtanB＝11＝1．1－×32π4∵0<A＋B<π，∴A＋B＝．π答案4tan18°＋tan42°＋tan120°5．求的值．tan18°tan42°tan60°解∵tan18°＋tan42°＋tan120°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋tan120°＝－tan60°tan18°tan42°，∴原式＝－1．课堂小结1．公式T(α±β)的适用范围π的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈2由正切函数Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tanπ4＝1，tan6π＝，3tan3π＝33等．要特别注意tan(4π＋α)＝，1＋tanα1－tanα最新版高中数学高中数学-打印版tan(π4－α)＝．1－tanα1＋tanα3．公式T的变形应用(α±β)只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．基础过关1．已知α，β为任意角，则下列等式：①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；π③cos＋α＝－sinα；2tanα－tanβ④tan(α－β)＝1＋tanαtanβ．其中恒成立的等式有()A．2个C．4个B．3个D．1个解析①②③恒成立．答案Bπ2．若tan＋α＝2，则tanα的值为()41313A．B．－2323C．D．－解析tan(α＋)＝11－＋tantanαα＝2，π41解得tanα＝．3答案A3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()A．钝角三角形C．直角三角形B．锐角三角形D．无法确定5313解析∵tanA＋tanB＝，tanA·tanB＝，最新版高中数学高中数学-打印版5252∴tan(A＋B)＝，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－，∴C为钝角．答案A2π14．设tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)＝________．44π5421－＝．21221＋×54π4543解析tan(α＋)＝tan＝3答案22sinα＋β5．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________．cosα－βsinα＋βsinαcosβ＋cosαsinβ解析＝cosα－βcosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβ332＝＝＝－．1＋tanαtanβ1＋－33答案－26．已知tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．tanα＋tanβ＝3，解由已知有tanα·tanβ＝－3.tanα＋tanβ334∴tan(α＋β)＝＝＝．1－tanαtanβ1－－3∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)＝sin2α＋β－3sinα＋βcosα＋β－3cos2α＋βsinα＋β＋cosα＋β22＝tan2α＋β－3tanα＋β－3tanα＋β＋122－3×43－334＝＝－3．32＋14最新版高中数学高中数学-打印版ππππx＋33x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求7．已知tanα，tanβ是方程2α＋β2222的值．解由根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－33，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0，tanα＋tanβ－33＝3，∴tan(α＋β)＝＝1－tanαtanβ1－4ππππ又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0．2222∴－π2<α<0，－<β<0，π22π∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－．3能力提升8．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝33，tan2B＝tanA·tanC，则∠B等于()A．30°C．120°B．45°D．60°解析由公式变形得：tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC．∴tanA＋tanB＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanAtanBtanC＝33．∵tan2B＝tanAtanC，∴tan3B＝33．∴tanB＝3，B＝60°．答案D最新版高中数学高中数学-打印版9．已知tanα＝lg10a，tanβ＝lg，且α＋β＝，π41则实数a的值为()a110A．1B．110C．1或D．1或10解析∵α＋β＝4π，tanα＋tanβ∴tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝1，tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，即lg10a＋lg1a＝1－lg10a·lg，1a11＝1－lg10a·lg，a∴lg10a·lga1＝0．1∴lg10a＝0或lg＝0．a1得a＝或a＝1．10答案Cπ12sinαcosα＋cos210．已知tan＋α＝2，则α的值为________．4＋α＝，∴11－＋tantanαα＝2，解得tanα＝．π13解析∵tan24sin2α＋cos2α12sinαcosα＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α∴19＋123＋1tan2α＋123＝＝＝．2tanα＋1答案23cosα－sinαα，β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．cosα＋sinα11．已知解析∵tanβ＝cosα－sinα1－tanα．＝cosα＋sinα1＋tanα最新版高中数学高中数学-打印版∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα．∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1．∴tan