空间几何体的体积

空间几何体的体积2010-4-26教学目标知识与技能：（1） 通过对空间几何体（柱、锥、台和球体）的研究，掌握它们之间的体积关系及体积公式；（2） 掌握公式法求体积的方法，会用隔补法求空间几何体的体积，会用等积法求点到平面的距离；（3） 通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割一一求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。过程与方法：（1） 通过创设情境（长方体的体积）引入其它几何体的体积关系。（2） 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式y=至兀R3和面积公式s=4兀R2的方法。3情感与价值观：通过自主探索和学习，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心。教学重点、难点重点：推导空间几何体的体积公式所运用的基本思想方法。难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。教学过程一、创设情境1、取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，观察改变前后的体积是否发生变化？回忆长万体的体积公式y=abc或y =sh.长方体 长方体2、推动一下，改变形状，保持高不变，体积是否改变?

3、两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样?二、探究柱、锥、台的体积公式1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积.柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积s和高入的积，2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等.棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为s，高为h的棱柱的体积七=Sh，所以V=-sh.3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面面积分别为S，，S，高为h，可以推得它的体积是匕体=-h（S+4ss'+S'）-°4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：V柱体=Shu(S'=S)匕体=3h(S+4sS^+S')(S'=0)nV锥体=；Sh.三、探究球的体积与面积公式球的体积：探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之间的关系，得到半径是R的球的体积公式：结论V=4兀R32•球的表面积：借助分割思想来推导球的表面积若将球表面平均分割成n个小块，则每小块表面可近似看作一个平面，这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时，这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.若每小块表面看作一个平面，将每小块平面作为底面，球心作为顶点便得到n个棱锥，这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大，越接近于球的体积，当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.半径为R的球的表面积公式：结论：S=4兀R2球四、数学运用例1.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm.那么约有毛坯多少个？(铁的比重是7.8g/cm3)分析六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由此比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可.解：因为v六棱柱=去X122X6X10M3.74x103(mm3),10V圆柱=3.14x(一)2x10罚0.785x103(mm3),所以一个毛坯的体积为V=3.74x103—0.785x103牝2.96x103(mm3)=2.96(cm3)-约有毛坯5.8x103-(7.8x2.96)«251(个)•答：这堆毛坯约有251个.例2.如图(见课本)是一个奖杯的三视图(单位是cm),试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积。(精确到0.01cm)解：采用斜二测画法。先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体。=1x5x(152+15x11+112)w851.667,正四棱台3为V长、体=6x8x18=864,=4兀x33w113.097,球3所以这个奖杯的体积为V=V正四棱台+V长方体+V球w1828.76(cm3)五、课堂小结1、 柱、锥、台、球的体积公式及其相互关系