圆的认识 知识点归纳

圆认识圆定义：圆是一个几何图形。当一条线段绕着它一个端点在平面内旋转一周时，它另一个端点轨迹叫做圆。在一个个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成图形叫做圆，固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。相关定义:1在同一平面内，到定点距离等于定长点集合叫做圆。这个定点叫做圆圆心。图形一周长度，就是圆周长。2连接圆心和圆上任意一点线段叫做半径，字母表示为r。3经过圆心而且两端都在圆上线段叫做直径，字母表示为d。直径所在直线是圆对称轴。4连接圆上任意两点线段叫做弦。最长弦是直径,直径是过圆心弦。5圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度弧，劣弧是小于180度弧。6由两条半径和一段弧围成图形叫做扇形。7由弦和它所正确一段弧围成图形叫做弓形。8顶点在圆心上角叫做圆心角。9顶点在圆周上，且它两边分别与圆有另一个交点角叫做圆周角。10圆周长度与圆直径长度比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通惯用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，通常取π≈3.14。11圆周角等于相同弧所正确圆心角二分之一。12圆是一个正n边形（n为无限大正整数），边长无限靠近0但不等于0。圆集合定义：圆是平面内到定点距离等于定长点集合，其中定点是圆心，定长是半径。圆字母表示：以点O为圆心圆记作“⊙O”，读作O”。圆—⊙；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示字母）；弧—⌒；直径—d；扇形弧长—L；

周长—C；

面积—S。圆性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦直径平分这条弦，而且平分弦所正确2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦所正确2条弧。（2）关于圆周角和圆心角性质和定理①在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应其余各组量都分别相等。②在同圆或等圆中，相等弧所正确圆周角等于它所正确圆心角二分之一（圆周角与圆心角在弦同侧）。直径所正确圆周角是直角。90度圆周角所正确弦是直径。圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。即圆心角度数等于它所正确弧度数；圆周角度数等于它所正确弧度数二分之一。③假如一条弧长是另一条弧2倍，那么其所正确圆周角和圆心角是另一条弧2倍。（3）关于外接圆和内切圆性质和定理①一个三角形有唯一确定外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆圆心是三角形各内角平分线交点，到三角形三边距离相等。③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。④两相切圆连心线过切点。（连心线：两个圆心相连直线）⑤圆O中弦PQ中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4）假如两圆相交，那么连接两圆圆心线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角度数等于它所夹弧度数二分之一。（6）圆内角度数等于这个角所正确弧度数之和二分之一。（7）圆外角度数等于这个角所截两段弧度数之差二分之一。（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形面积大。点、线、圆与圆位置关系：点和圆位置关系①P在圆O外，则PO>r。②P在圆O上，则PO=r。③P在圆O内，则0≤PO<r。反过来也是如此。直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。AB与圆O相离，d>r。②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆割线。AB与⊙O相交，d<r。③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆切线，这个唯一公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线距离）圆和圆位置关系①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。②有唯一公共点，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。③有两个公共点叫相交。两圆圆心之间距离叫做圆心距。设两圆半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。圆计算公式:1.圆周长C=2πr=或C=πd2.圆面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）×r=n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπr2/360=Lr/2（L为扇形弧长）5.圆直径d=2r6.圆锥侧面积S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）圆方程:1、圆标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径圆标准方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。尤其地，以原点为圆心，半径为r（r>0）圆标准方程为x2+y2=r2。2、圆通常方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D2+E2-4F）/2为半径圆；②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。3、圆参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径圆参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,（其中θ为参数）圆端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径圆方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆离心率e=0，在圆上任意一点曲率半径都是r。经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）切线方程为a0·x+b0·y=r2在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线方程也为a0·x+b0·y=r2。圆历史:

圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙形状。古代人最早是从太阳、阴历十五月亮得到圆概念。在一万八千年前山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆。圆陶器是将泥土放在一个转盘上制成。当人们开始纺线，又制出了圆形石纺锤或陶纺锤。古代人还发觉搬运圆木头时滚着走比较省劲。日后他们在搬运重物时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这么当然比扛着走省劲得多。

约在60前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型木盘。大约在4000多年前，人们将圆木盘固定在木架下，这就成了最初车子。

会作圆，但不一定就知道圆性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人神圣图形。一直到两千多年前我国墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早1。

任意一个圆周长与它直径比值是一个固定数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.……但在实际利用中通常只取它近似值，即π≈3.14.假如用C表示圆周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，把圆周率看成3，不过这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发觉"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径比值。他创建了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越迫近圆周长。他算到圆内接正3072边形圆周率，π=3927/1250。刘徽把极限概念利用于处理实际数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大成就。祖冲之（