多属性决策概述和科学决策与信息分析

框架单目标决策多属性决策个体决策群组决策不确定型决策风险型决策贝叶斯决策简单线性加权法理想解方法及改进层次分析法等冲突分析集体决策社会选择理论专家咨询方法博弈分析谈判决策多属性决策目标与指标目标，就是一个组织通过决策及决策的实施所期望达到的未来状况（结果）和衡量状况的各种指标。指标是衡量目标达到程度的评价标准。要尽可能对各个（子）目标赋予指标，进而实现指标的数量化和统一化。目标的层次结构最终目标Goal决策目标Objectives子目标Sub-Objectives选择项或决策方案（Alternatives）序列型目标准则体系非序列型递阶层次结构模型指标的分类指标按其值是否是数值，可分为定量指标和定性指标(或称模糊指标)。例如：购买战斗机问题最大速度、飞行范围、最大负载和购买费用是由数字的或定量的术语(以不同的单位)表示的，它们是定量指标，可靠性和可操作性是由非数字的或定性的术语表示的，它们是定性指标。指标的分类指标按其具体含义可分为效益型、成本型、固定型和区间型等。效益型指标是指其值越大越好的指标；成本型指标是指其值越小越好的指标；固定型指标是指其值既不能太大，又不能太小，而以稳定在某个固定值为最佳的指标；或者说，其值越接近某个值越好的指标；区间型指标是指其值以落在某个固定区间为最佳的指标，或者说，其值越接近某个固定区间（包括落入该区间）越好的指标，象国标中规定的等级划分通常属于此类型指标。指标的分类既然现实问题中存在越接近某值越好的指标(固定型)，自然存在越偏离某值越好的指标；既然存在越接近某区间越好的指标(区间型)，自然存在越偏离某区间越好的指标。因此，有人提出以下两种新的指标类型是很自然的——偏离型指标、偏离区间型指标。偏离型指标定义偏离型指标是指越偏离某个具体值(称作劣值)越好的指标。具体来说，指标fj（）称为是偏离型指标，若属性值xij（）越偏离某个具体值，则相应的方案xi越好。定义偏离区间型指标是指越偏离某个具体区间(称作劣区间)越奸的指标。具体来说，指标fj称为是偏离区间型指标，若指标值xij越偏离某个具体区间[P1’,P2’]，则相应的方案xi越好。例从盐池中用物理反应——结晶或蒸发两种方法来提取盐，一般应选远离盐的溶解度的温度。这里盐的溶解度是偏离型指标，因为盐的温度越偏离它，越容易提取盐：大于并偏离它与蒸发方法对应；小于并偏离它与结晶方法对应。六种指标的关系图指标的标度问题既然指标种类有定性和定量之分，而多个指标的单位通常又互不相同(这是多指标多准则决策问题的特点之一)，那么自然产生这样的问题：如何比较这两类指标呢?如何处理这些混杂的度量单位?这些属于指标的标度(scaling)、定性指标的量化以及指标的标准化问题。度量方法分类斯蒂文斯（S.S.Stevens）1946年在《科学（Science）》杂志上发表的论文“OntheTheoryofScalesofMeasurement”提出的分类标准，度量方法有四个等级：从低到高依次是名义标度（Nominal）、顺序标度（Ordinal）、区间标度（Interval）和比率标度（Ratio）。名义标度名义标度在传递的意义方面是最低等的，它只不过是元素名字的表示法。其数学上的定义是，可以表示为一一映射函数的标度方法。名义标度仅仅用作辨认目的和处理排序分类，其他并不暗示什么内容。例如电话号码和代号就是名义数字。电话号码的不同并不含有其他信息，诸如年龄的大小等等。顺序标度顺序标度，正如其名称所表示的，反映了元素间次序和等级。其数学上的定义是，可以转化成单调增函数的标度方法。根据其应用的不同，次序也许是上升的，也许是下降的。顺序标度除了反映元素的次序和等级并代表该元素以外，并不反映其他内容，如差异或者差距等。必须注意顺序标度（数字）不能进行相加或者相乘等运算。区间标度区间标度数据不但拥有了名义标度和区间标度数据的含义，也具有了关于对象之间区间间隔的含义。区间标度的数学定义是，服从形如Y=aX+b线性变化函数的标度方法。一个区间标度中不同部分之间的区间间隔有着相同的含义。如果我们有了区间等级间隔的数据，我们就可以推断两个对象间的间隔是否等价于另外两个对象间的间隔。区间标度举例例如，两个目标值分别为20和5的间隔（差距为15），等价于另外两个目标值为80和65的间隔。区间标度可以用于这样的加法和乘法数学运算。但是，除了区间间隔数据以外，其他数据不能进行数学运算。例如，目标值100就不一定是50的两倍。一个突出的例子就是两种常用的温度计(注意华氏和摄氏的零点不同)。比率标度比率标度是最高级的标度方法，它具备名义标度、顺序标度和区间标度性质，同时也具有比率的性质。其数学定义是，允许与常数相乘，服从形如Y=aX函数的标度方法。一个比率标度不同部分的相应比率有着相同的含义。例如，两个目标值分别为100和50的比率等价于另外两个目标值为6和3的比率。事实上，比率尺度提供实体间的相同的间隔，且指示实体与某个非任意起始点的差或距离，包括时间、重量、体积等。定性指标的量化定性指标的量化，数值分配是相当任意的，方法很多。指标的标准化指标值的标准化并不总是必要的，但对某些方法可能是必不可少的。标准化的目的在于获得可比的尺度。设Ti(i=1，2)分别表示效益型、成本型指标的下标的集合；xij表示第i个方案关于第j个指标fj的值。下面给出标准化效益和成本型属性的极差变换法和线形尺度变换法以及向量标准化法：指标的标准化极差变换法线形尺度变换法向量标准化法说明变换式(1)和(2)的优点是：经其变换后，各指标下的度量值在0和1之间变化，且各指标下最好结果的指标值为1，最坏结果的指标值为0；缺点是：变换前后的各指标值不成比例。变换式(3)和式(4)的优点是它们是线形的，且变换前后的指标值成比例，但对任一指标来说，变换后的yij＝0和yij＝1不一定同时出现。变换式(5)的优点：是把所有指标值都化为无量纲的量，且均处于区间(0，1)、有利于指标间的比较，缺点是：它是非线形变换、不能产生等长的计算尺度，变换后各指标的最大值和最小值不相同，因而指标间的直接比较仍有困难。指标的权目前，关于“权”的定义，不同的学者是从不同角度给出的，权的术语及其确定方法也各不相同。许多决策方法需要定义各准则(属性/目标)的相对重要性的信息。该信息通常由一个(偏好)权集给定。该权集标准化后的和为1。设有n个指标，则权向量可写为指标的权用“权”这个术语，认为各指标(指准则)在决策中的地位是不同的，其差异主要表现在三个方面：①决策者对各指标的重视程度不同；②各指标在决策中的作用不同，即各指标在决策中传输给决策者的信息量不同；③各指标评价值的可靠程度不同。指标的权在多指标决策中，往往都需要给各指标赋一权值描述这些差异。这个权值应像其描述的内容一样，既能反映主观的一面，又能反映客观的一面。因此，指标的权是指标在决策中相对重要程度的一种主观评价和客观反映的综合度量。权值不仅与决策者对指标的重要性的主观评价有关，而且与可行方案传输给决策者的信息量和指标值的可靠程度有关。指标的权若用wi1,wi2,wi3分别三个方面的权则第i个指标的权wi可以定义为两个结论①权是通过数理统计得出的频率分布中的频率；②权是表示因素重要性的相对数值。第一个结论表明权具有随机的性质；第二个结论表明权是个模糊概念，因为“重要性”这个概念是个模糊概念，缺乏精确的定义和明确的外延，可有许多程度不同的等级。例如，非常重要、很重要、重要、比较重要、有点重要、不太重耍和不重要等等。另外，一个系统中因素的重要程度一般需要人们主观判断认定，这并不否认事物存在的客观背景。即因素在事物中的客观地位和贡献大小，但最终总是离不并人脑的认识与决断。指标权重确定的相对比较法相对比较法主观赋权法3级比例标度两两比较评分值构成矩阵A＝(aij)m×n权重系数例说明应该注意，使用相对比较法时，任意两个指标之间相对重要程度要有可比性。这种可比件在主观判断评分时，应满足比较的传递性，即若f1比f2重要，f2比f3重要，则f1比f3重要。如果主观评分中发现某些指标间不满足传递性，要及时对评分值进行适当地调整。指标权重确定的连环比率法连环比率法也是一种主观赋权法。该方法以任意顺序排列指标，按此顺序从前到后，相邻两指标比较其相对重要性，依次赋以比率值，并赋以最后一个指标的得分值为1，从后到前，按比率值依次求出各指标的修正评分值。最后，归一化处理得到各指标的权重。连环比率法比率值ri以三级标度赋值rn=1计算各指标的修正评分值连环比率法归一化处理。求出各指标的权重系数值，即连环比率法相对比较简便。由于赋权结果依赖于相邻指标的比率值，而比率值的主观判断误差，在逐步计算过程中会产生误差传递，以致影响指标权重的准确性。例其他方法专家咨询法组织若干对决策系统熟悉的专家，通过一定的方式对指标权重独立地发表见解，用统计方法作适当处理。更多用来对方案评价，后面专题介绍经验打分法层次分析法之专家判断矩阵几个简单的系统评估决策方法简单线性加权法功效系数法理想解法改进的理想解法简单线性加权法简单线性加权法是一种常用的多指标决策方法，这种方法根据实际情况，先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案的线性加权指标平均值，并以此作为各可行方案排序的判据。应该注意，简单线性加权法要对决策矩阵标准化处理，应当使所有的指标正向化。简单线性加权法举例某航空公司在国际市场上购买飞机，按6个决策指标对不同型目的飞机进行综合评价这6个指标是，最大速度、最大范围、最大负载、价格、可靠性、灵敏度。现有4种型号的飞机可供选择，具体指标值如表。求解用适当方法确定购机问题6个决策指标的权重向量为在决策指标中，f1、f2、f3是正向指标，f4是逆向指标，f5、f6是定性指标，分级量化处理，得到决策矩阵求解线性比例变换法标准化矩阵计算各方案的线性加权指标值求解最满意方案是即a*＝a3。购机问题各方案的排序结果是功效系数法功效系数法是将各决策指标的相异度量，转化为相应的无量纲的功效系数，再进行综合评价的多指标决策方法。功效系数法的基本步骤是：①确定决策指标体系②计算各指标值的功效系数③计算各方案的总功效系数④以总功效系数为判据对各方案进行排序功效系数法xj(h)和xj(s)

分别表示（第j个指标的）满意值和不允许值功效系数的计算分为两种情况：对于正向指标，功效系数为对于逆向指标，功效系数这里，功效系数的取值范围是功效系数法应该指出，功效系数是无量纲的量，不论正向或逆向指标，其相应的功效系数均已正向化。满意值和不允许值的功效系数也可以取其他数值。正、逆向指标功效系数的取值关系，分别见图功效系数法总功效系数的计算有两种方法。一种是算权加权平均，即另一种是几何加权平均，即功效系数法应用举例应用功效系数法综合评价居民的消费水平。根据我国居民消费的实际情况，结合消费统计指标口径，应该从宏观消费指标、居民货币收入、居民实物支出、居民住房状况、公共福利状况和文化生活状况等六个方面综合评价。由于城镇和农村居民消费实际情况的差异，评价指标选择应该有所不同。这里，仅以农村居民消费水平评价为例选择6个评价指标，即人均纯收人(f1)、人均消费支出(f2)、恩格尔系数(f3)、人均住房使用面积(f4)，家庭劳力平均负担人口数(f5)、生活消费品占支出中的比重(f6)．功效系数法应用举例用专家评估法确定6个指标权重分别是

w1=0.2500，w2=0.1875，w3=0.1250，w4=0.1250，w5=0.1875，w6=0.1250。在6个评价指标中，f1，f2，f4，f6是正向指标，f3，f5是逆向指标。对于正向和逆向指标，功效系数的计算公式可以分别采用功效系数法应用举例这里，功效系数的取值范围是0≤dj≤1。用加权算术平均计算总功效系数。总功效系数假设对于全国和某三个省农村居民消费水平进行综合评价，其样本数据和评价结果见表功效系数法应用举例理想解法（TOPSIS）理想解法又称为TOPSIS法，直译为逼近理想解的排序方法，是一种有效的多指标决策方法。这种方法通过构造多指标问题的理想解和负理想解，并以靠近理想解和远离负理想解两个基准，作为评价各可行方案的判据。因此，理想解法又称为双基点法。理想解与负理想解所谓理想解，是设想各指标属性都达到最满意值的解。所谓负理想解，也是设想各指标属性都达到最不满意值的解。例如，在二指标决策问题中，不妨设二指标均为效益型指标，指标值越大越优。于是，每一个方案都可以用平面上的点表示，理想解与负理想解也可以表示为平面上点。图示测度方法确定了理想解和负理想解，还需要确定一种测度方法，表示各方案目标值靠近理想解和远离负理想解的程度。这种测度就是相对贴近度：其中显然说明当方案为理想解方案时，则C*i=1；当方案为负理想解方案时，则C*i=0。当方案逼近理想解而远离负理想解时，则C*i→1。因此，相对贴近度C*i是理想解法排序的判据。应该注意，由多指标属性在量纲和数量级上的差异，往往给决策分析带来诸多不便。一般来说，用理想解法进行决策，应先将指标值作标准化处理。理想解与负理想解的确定理想解负理想解其中，到理想解和负理想解的距离到理想解的距离到负理想解的距离举例（购机问题）向量归一化标准矩阵指标权重向量为举例（购机问题）计算加权标准化矩阵分别确定理想解和负理想解为举例（购机问题）计算各方案到理想解和负理想解的距离分别是各方案的相对贴近度为用理想解法各方案的排序结果是改进的理想解法简单线性加权法和理想解法都需要事先确定决策指标的权重系数，或者用主观赋权法，或者用客观赋权法。改进的理想解法是一种新的多指标决策方法，这种方法利用决策矩阵的信息，客观地赋以各指标的权重系数，并以各方案到理想点距离的加权平方和作为综合评价的判据。因此，方法显得更加简便实用。改进的理想解法用各方案到理想解的距离平方作为评价方案的准则。为了确定指标权重，构造最优化模型

s.t.模型求解作拉格朗日函数令从而，解得理想解的本质min∑∆i改进的理想解法的步骤将决策矩阵标准化，得到标准化矩阵Y确定标准化矩阵的理想解计算各指标的权重系数计算各方案到理想解的距离平方根据判据di值的大小，对各方案排序，di越小，方案越优。举例设多指标决策的标准化矩阵为各指标均为效益型指标，试用改进理想解法进行决策。求解标准化矩阵Y的理想解为计算各指标的权重系数向量求出各方案到理想解的距离平方各方案的排序结果是层次分析法（AHP）AHP方法概述AHP（AnalyticHierarchyProcess）方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，20世纪70年代初美国著名运筹学家Saaty提出。该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效的分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效的综合测度决策者的判断和比较。它能把定性因素定量化，并能在一定程度上检验和减少主观影响，使评价更趋科学化。AHP发展AHP的应用发展极为迅速，这不仅表现在数量上，而且也表现在应用的多样性上。到1995年为止，专家判断／选择（ExpertChoice）的概念已经被全世界的57个国家所使用，关于AHP的期刊杂志或者其他文献出处已经超过了1000个。国际层次分析法协会（TheInternationalSocietyoftheAnalyticHierarchyProcess）每2－3年召开一个国际会议，其第一次会议是在中国天津举行。递阶层次结构模型递阶层次结构模型能够反映系统本质属性和内在联系。构造方法：根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等，将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。AHP的层次结构AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是非序列型的。可以分为三个层：最高层。只有一个元素，表示决策分析的总目标，也可称为总目标层。中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的子目标，包括各种约束，准则，策略等，因此，也称为目标层。最低层。表示实现各决策目标的可行方案，措施等，也称为方案层。层次结构图最终目标Goal决策目标Objectives子目标Sub-Objectives选择项或决策方案（Alternatives）非序列型递阶层次结构模型综合评价科研课题成果贡献B1人才培养B2可行性B3发展前景B4实用价值C1科技水平C2优势发挥C3难易程度C4研究周期C5财政支持C6经济效益C11社会效益C12课题1课题N……层次结构图说明相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存在关系，则没有作用线。如某元素与相邻下一层所有元素都有关系，就称该元素与下一层次存在完全层次关系。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度而定，不宜过多。每一层次元素一般不要超过9个。构造一个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。优先权重构造了层次模型后，决策就转化为待评可行方案关于具有层次结构的目标准则体系的排序问题。AHP方法采用优先权作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和1之间。数值越大，方案越优，反之越劣。AHP的概念组成组成：复杂问题的层次结构划分（hierarchicalstructuringofcomplexity）、两两（成对）比较（pairwisecomparisons）、冗余判断（redundantjudgments）、权重求解的特征向量法（aneigenvectormethodforderivingweights）以及一致性检验（consistencyconsiderations）等。这些概念和方法在AHP提出以前便已经出现，但此前它们之间并没有相互联系或者结合起来使用。AHP特点AHP允许决策者采用数据、经验、理解或者直觉进行判断，只要这种判断是合乎逻辑的，或者是建立在严格比较的基础之上的。AHP让决策者给出选择项优先等级或权重的比率标度，而不是直接武断地对方案优先等级或权重赋值。因此，AHP不仅使得决策者能够让复杂事物结构化从而容易进行判断，而且允许决策者在决策过程中将客观和主观的考虑结合起来。AHP优越的原因人类对相对判断（relativejudgments）的把握能力比对绝对判断（absolutejudgments）的把握能力要强得多。冗余判断的使用使得AHP允许从口头／语言判断（verbaljudgments）求解准确的优先权，即使这些口头判断的词语本身不是非常精确。这就打开了解决或然性问题的新天地——我们可以使用语言去判断定性的因素，然后再获得优先权等级比例，这就可以与定量因素问题相结合。递阶层次权重解析方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上而下逐层计算得到的。这个过程称为递阶层次权重解析过程。判断矩阵m个物体测重问题（两两比较）设各物体重量组成的向量为

G=（g1，g2，…，gm）T层次元素排序的特征向量法m为A的最大特征值，G是A属于特征值m的特征向量。

说明一组物体无法直接测出各自重量，可以通过两两比较判断，得到每对物体相对重量的判断值，构造判断矩阵。求出判断矩阵的特征值和对应的特征向量，就得到物体相对重量。对其他领域决策问题，可以通过建立层次结构模型，在相邻两层次间构造两两元素比较判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。

互反一致性正矩阵判断矩阵A=（aij）m×m

，A是互反矩阵，即有aii=1，aij=1/aji

，aij>0。满足以下三个条件的判断矩阵称为互反的一致性正矩阵：aii=1；aij=1/aji;aij=aik/ajk

。判断矩阵与一致性判断矩阵判断矩阵一致性判断矩阵Saaty的1－9标度法则标度定义含义1同样重要两元素对某属性同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2，4，6，8相邻标度中值表示相邻两标度之间折衷时的标度以上倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，反之为1/aij例一个不一致的5阶判断矩阵Saaty的1－9标度法则1-9标度法则符合人的认识规律，具有一定科学依据。从人的直觉判断能力来说，在区分事物数量差别时，总是习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同属性上的差异，其分辩能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将1-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。特征向量法对于A=（aij）m×m，若满足：AW=λmaxW，则称：λmax为A的最大特征值，W是A对应于最大特征值λmax的特征向量。W=（w1，w2，…，wm）T矩阵的一些概念正矩阵：矩阵A=(aij)m×m

对于中的任何一组值，都有aij>0，记作A>0。正向量：m维向量X=(x1,x2,…,xm)T，其中xi>0，记作X>0。互反正矩阵：对于A=(aij)m×m

，aij>0，并满足aii=1，aij=1/aji。一致性矩阵：A=(aij)m×m

满足aij=aik/ajk。

一致性矩阵的性质一致性矩阵也是互反正矩阵AT也是一致性矩阵

A

的每一行均为任意指定一行的正数倍数，并且秩（A）=1A最大特征值λmax=m，其他特征值为零若A的属于λmax的特征向量为

X=（x1，x2，…，xm）T，则aij=xi/xj。互反正矩阵的性质设λmax为A的最大特征值，则：

λmax≥m

对于A来说，A也是一致性矩阵的充分必要条件是：

λmax=m

判断矩阵的一致性按照1-9标度构造的判断矩阵，显然是正矩阵，并也是互反正矩阵。但一般不一定满足一致性条件:aij=aik/ajk。满足一致性条件的矩阵，称之为“具有完全的一致性”。判断矩阵一般不具有完全的一致性。最大特征值λmax≥m，其余特征值并非全为零。满意一致性判断矩阵A一般仅仅是互反正矩阵，并且判断值aij与计算值wi/wj并非一致。

尽管判断矩阵一般情况不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值λmax稍大于m

，其余特征值接近于零，称之为具有满意的一致性。只有这样计算出的结果才是合理的。判断矩阵的一致性指标CI一般说来，CI越大偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。另外，m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。当m≤2时，CI=0，表示判断矩阵具有完全的一致性。

平均随机一致性指标R.IR.I指标随判断矩阵的阶数而变化。Saaty计算R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。

R.I指标参考值见教材。阶数12345678R.I000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I1.461.491.521.541.561.581.59一致性比率CR一致性指标CI与同阶的平均一致性指标RI的比值，称为一致性比率。用一致性比率CR检验判断矩阵一致性，CR越小时，判断矩阵一致性也越好。一般CR≤0.1，认为判断矩阵符合满意的一致性标准，结果是可以接受，否则需要修正判断矩阵，直到检验通过。判断矩阵的一致性检验步骤求出一致性指标CI。

查表得到平均随机一致性指标RI。

计算一致性比率CR，当CR≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修正该判断矩阵。

Saaty解释CR≤0.1由于众多原因，专家判断的传递性和完全一致性是不现实的。不一致性产生的原因，除了标度原因以外，主要还有：决策过程中书写错误、信息缺乏、缺乏专注等等。尽管如此，维持判断的一致性仍然处于一个优先的地位。一致性与不一致性不应处于一个量级，因此，建议它们之间的分水岭是90％与10％。

判断矩阵的求解——根法计算A的每一行元素之积Mi

计算Mi的m

次方根ui

对向量U=（u1，u2，…，um）T归一化，得到最大特征值对应的特征向量W。求A最大特征值λmax。

举例M1=18,M2=4/3,M3=1/24

U=(u1,u2,u3)T=(2.6207,1.1006,0.3467)T

归一化得特征向量W=（w1，w2，w3）T=(0.6442,0.2706,0.0852)T

最大特征值为进行一致性检验满足一致性要求。

判断矩阵的求解——和法按列归一化判断矩阵A的元素，得到矩阵Q=（qij）m×m

将Q中的元素按行相加，得到向量

V=（v1，v2，…，vm）T

对V做归一化处理得到最大特征值对应的特征向量W得到最大特征值举例上例矩阵。归一化处理，得到Q的元素按行相加，并归一化处理，得到最大特征值λmax＝3.0541进行一致性检验满足一致性检验又例又例AHP方法实现的基本步骤明确问题划分和选定有关因素建立层次结构构造各层判断矩阵对层次进行单排序，检验判断矩阵的一致性并修正判断矩阵。确定多层并合的有关方案的总优先次序（层次总排序是从上到下逐层进行的）检验总体一致性分析讨论得出结论构造层次结构模型构造层次结构模型构造各层判断矩阵按照层次结构模型，从上而下逐层构造判断矩阵每层元素都分别以相邻上一层元素为准则，按1-9标度方法两两比较构造判断矩阵。构造各层判断矩阵层次单排序根据实际情况，用不同方法求解每一层次的判断矩阵最大特征值和对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。层次单排序要进行一致性检验，检验不合格的要修正判断矩阵，直到符合满意的一致性标准。层次总排序层次总排序一致性检验检验总体一致性。同样，总排序的一致性检验也是从上到下逐层进行的。在实际中，这一步常常可以省略。因为层次单排序通过一致检验，层次总排序的一致性检验用上面的公式计算加权平均时，不会有太大偏离。另外，实际构造判断矩阵，难以兼顾整体排序的一致性。层次总排序一致性检验层次总排序检验的一致性指标平均随机一致性指标一致性比率指标举例某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，为了解决这个问题，制定了三个方案，试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析：a1：在商场附近修建一座天桥a2：修建地下人行通道a3：搬迁商场举例决策的总目标是改善市中心交通环境。根据当地的具体条件和有关情况，专家组拟订五个目标作为评价准则：c1：通车能力c2：方便群众c3：基建费用不宜过高c4：交通安全c5：市容美观建立层次结构模型先根据专家咨询意见，建立层次结构模型层次单排序及一致性检验对于总目标，准则层各准则构造判断矩阵层次单排序及一致性检验对于各准则，构造方案层各方案的判断矩阵，求出优先权重向量，并进行一致性检验。对于准则c1

（通车能力），判断矩阵及其求解结果为层次单排序及一致性检验对于准则c2

（方便群众），判断矩阵及其求解结果为对于准则c3

（基建费用），判断矩阵及其求解结果为层次单排序及一致性检验对于准则c4

（交通安全），判断矩阵及其求解结果为对于准则c5

（市容美观），判断矩阵及其求解结果为层次总排序及其一致性检验方案层三个可行方案对准则层各准则的优先权重向量所构成的3×5矩阵为层次总排序及其一致性检验三个可行方案对总目标G的组合优先权重向量为层次总排序及其一致性检验因此，这说明三个可行方案的排序结果是即是修建天桥为最满意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬迁商场。例一某公司利润分配方案AHP层次结构图如图例一构造判断矩阵例一只有4个元素比较例一由相关专家构造判断矩阵对应各层判断矩阵并计算结果如下：对于总目标G：特征向量C.R=0.0369<0.1例一对于准则C1：特征向量

C.R=0.0191<0.1对于准则C2：特征向量W2=(0.05,0.5811,0.1140,0.2549)T，C.R=0.0551<0.1对于准则C3：特征向量W3=(0.375,0.375,0.125,0.125)T，C.R=0<0.1例一补齐对应的“0”：第三个方案“办职工学校”最好。

W==(0.1422,0.1567,0.4097,0.1203,0.1680)T）（）（caWP几个问题讨论Saaty的1－9标度法则标度定义含义1同样重要两元素对某属性同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2，4，6，8相邻标度中值表示相邻两标度之间折衷时的标度以上倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，反之为1/aij韦伯法则关于标度的问题，实际上和韦伯法则（LawofWeber）存在着某种联系。韦伯法则解决的是人们在测量过程中区分微小变化的个人能力。Saaty（1980）在讨论韦伯法则时提供了一个韦伯的例子，该实例是关于区分球的重量的：韦伯法则实例例如，人们手持两个不同重量的球时，可以区分出20克和21克，但是不能区分出20克和20.5克；另外，人们无法区分40克和41克，但是可以区分出40克和42克。这就说明，如果给定一个区间，人们要能够区分出该区间两端的值，就要使得区间间隔足够大，并且间隔与区间端值的大小有关，它随区间端值的增大而增大。基于此，标度的刻度之间的间隔显然也应当是一个增函数。韦伯法则语言逻辑试验J.S.Finan和W.J.Hurley对Queen’sUniversity的1个MBA经理班分为三组进行的测试(2023)：目标A比目标B稍微重要；而目标B比目标C又稍微重要。那么，下面那个判断更为合理呢？目标A比目标C明显重要；目标A比目标C强烈重要；目标A比目标C极端重要。语言逻辑试验结果113个学生中有96个认为应当是：目标A比目标C明显重要。说明Saaty的1－9标度存在的问题。

语言逻辑绝大多数人在通常情况下有如下结论：目标A比目标B稍微重要，目标B比目标C稍微重要，那么目标A比目标C明显重要。目标A比目标B明显重要，目标B比目标C明显重要，那么目标A比目标C强烈重要。目标A比目标B强烈重要，目标B比目标C强烈重要，那么目标A比目标C极端重要。标度选择与具体问题有关不同的专家即使有同样的语言判断，其判断的数字比率也是不一样的。对于同一个专家或者决策者，针对不同的判断对象或者同一个判断对象的不同属性也可能会有不同的标度选择。

现有标度自Saaty最早提出的1－9标度以来，目前国内外关于数字标度的研究较多，提出的标度方式也有多种。国外主要有Saaty的1－9标度、1－5标度、1－15标度（1，5，8，11，15）、x2标度、x1/2标度等。国内主要有9/9－9/1标度、10/10-18/2标度、指数9k/9标度等。

问题事实上，在实际应用中，采用不同的数字标度，得出的决策结果往往有很大的差异。这种由于采用不同标度引起的不同决策结果是应当引起人们的重视的。数字标度的选择是一个开放的研究课题，标度的选择依赖于经验，一种标度或许只适用于一个应用而不适用于其他应用。因此，如何在实际的决策过程中选择合适的标度应该是AHP使用过程中的关键。

几种标度与自然语言对应关系人的自然语言描述对应的标度刻度等级通过不同的数字标度转化，得到不同的结果。同样，不同的人可能会对同一个词汇有着不同的理解，或者同一个人在不同情况下也会对同一个词汇有着不同的理解，即不同人对自然语言的判断的期望值不同，因此每一种数字标度都有其适用的情况。

数字标度产生的不一致性针对专家相同的自然语言判断，使用不同的数字标度进行转化，得到的数字判断矩阵是不同的。而不同数字判断矩阵的使用，会使同样的专家判断具有不同的判断结果。采用不同的数字标度转化，得到的最终方案排序结果是不同的。因此，数字标度选择的关键就是通过该标度的转换，能否将专家用自然语言表述出的主观判断准确地反映出来。

数字标度产生的不一致性事实上，往往专家的自然语言判断是合理的，但是通过数字标度转化获得的相应数字判断矩阵却无法通过Saaty定义的一致性比率要求。若专家有下述这样一个自然语言判断结果：

数字标度产生的不一致性显然，该矩阵中的各语言判断结果都较为符合语言逻辑，并不存在较为矛盾的或者不一致的地方。因此，在通常情况下，我们应该认为这个语言判断矩阵应当是合理的。现在，我们使用1－9标度来将该语言判断矩阵转化为数字判断矩阵并计算其一致性比率CR＝0.1231，即根据一致性比率要求，该专家判断不合理，不能接受。

标度谱系t>-1；k为自然数，并代表标度等级，M为最大等级，如M=9。t表示判断逻辑。前例使用新标度情况使用标度谱系中参数t位于-0.1和2之间的标度来计算该判断矩阵的一致性比率，得到如下结果：

平均随机一致性计算缺陷Saaty平均随机一致性的计算缺陷是采用有限次随机试验，也就是随机生成若干不同阶数的判断矩阵。带来计算结果的不稳定性，不同教材和参考资料上的RI数据会不相同。

有限次随机试验，对于较高阶的矩阵不能够代表样本空间的状态。12阶矩阵有1.62e+81个可能的判断矩阵。解决方法必须设计一种科学合理的试验方法去计算判断矩阵的随机平均一致性。

可以采用正交实验设计方法（orthogonalexperimentaldesignmethods，OEDM），在样本空间中选取足够的试验样本，去代表样本空间的整体。RI计算结果（3－12阶）：0.5406，0.8792，1.0986，1.2361，1.27061.3365，1.3836，1.4280，1.4592