变量可分离方程及齐次方程

变量可分离方程及齐次方程演示文稿当前第1页\共有24页\编于星期三\1点变量可分离方程及齐次方程当前第2页\共有24页\编于星期三\1点如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个可分离变量的方程或可以写成的形式,易于化为形式特点变量的微分之积.两端积分可得通解.一阶微分方程一、变量可分离方程当前第3页\共有24页\编于星期三\1点可分离变量的方程求通解的步骤是:分离变量,两边积分1.2.将上式一阶微分方程其中C为任意常数.由上式确定的函数就是方程的通解(隐式通解).这种解方程的方法称为分离变量法.当前第4页\共有24页\编于星期三\1点例1求方程的通解.注意:

反映某种函数指数增长或指数衰减的现象.一阶微分方程当前第5页\共有24页\编于星期三\1点一阶微分方程例2求方程的通解.解分离变量两端积分为方程的通解.隐式通解当前第6页\共有24页\编于星期三\1点二、齐次方程如果一阶微分方程可以写成齐次方程.即得到u满足的方程即的形式,作变量代换代入则称之为可分离变量的方程分离变量两边积分,求出通解后,就得到原方程的通解.1.齐次型方程一阶微分方程当前第7页\共有24页\编于星期三\1点但分离变量,直接求解得到:这两种解都不包含在前面的通解中.一阶微分方程当前第8页\共有24页\编于星期三\1点例3求的通解.一阶微分方程当前第9页\共有24页\编于星期三\1点分析解令方程变为齐次方程可分离变量方程一阶微分方程例4当前第10页\共有24页\编于星期三\1点两边积分即得通解分离变量一阶微分方程当前第11页\共有24页\编于星期三\1点为齐次型方程.(其中h和k是待定的常数)否则为非齐次型方程.解法一阶微分方程2.可化为齐次的微分方程的微分方程有唯一一组解.当前第12页\共有24页\编于星期三\1点有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.一阶微分方程中必至少有一个为零.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.●●当前第13页\共有24页\编于星期三\1点可分离变量.一阶微分方程未必有解,上述方法不能用.方程可化为当前第14页\共有24页\编于星期三\1点解代入原方程得一阶微分方程例5

是非齐次型方程.方程组是齐次型方程.分离变量法得方程变为当前第15页\共有24页\编于星期三\1点分离变量法得得原方程的通解方程变为一阶微分方程即或当前第16页\共有24页\编于星期三\1点求解下列微分方程一阶微分方程例6

解题提示方程中出现等形式的项时,通常要做相应的变量代换当前第17页\共有24页\编于星期三\1点一阶微分方程解求微分得代入方程

可分离变量方程当前第18页\共有24页\编于星期三\1点解代入原式分离变量法得所求通解为另解一阶线性方程.

可分离变量方程一阶微分方程方程变形为当前第19页\共有24页\编于星期三\1点三、增长与衰减模型一阶微分方程有高为1米的半球形容器,解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里流出,例7小孔横截面积为1平方厘米(如图).水从它的底部小孔当前第20页\共有24页\编于星期三\1点所求规律为一阶微分方程可分离变量方程当前第21页\共有24页\编于星期三\1点可分离变量的微分方程分离变量两端积分一阶微分方程四、小结解法:隐式(或显式)通解当前第22页\共有24页\编于星期三\1点一阶微分方程一阶微分方程的解题程序(1)审视方程,判断方程类型;(2)根据不同类型,确定解题方案;(3)若方程的求解最终化为分离变量型的,则作适当变换;(4)做变量替换后得出的解,最后一定要还原为原变量.