中南大学线性代数试卷1163

考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题(本题15分，每小题3分）1、设为四阶方阵，其中为的第个列向量,令，则。2、设为三阶方阵,为的伴随矩阵，且，则.3、设，且，则。4、若阶方阵有特征值，则必有特征值。5、若二次型经正交变换化为，则.二、选择题(本题15分，每题3分）1、设是阶方阵，则的必要条件是(）。(A）中两行（列)元素对应成比例；（B）中有一行元素全为零；（C）任一行元素为其余行的线性组合；（D）必有一行元素为其余行的线性组合.2、设是阶对称阵,是阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是（（A)；（B)；（C）；（D)。)3、设向量组当（(A）5（B）4)时，向量组线性相关.（C）3(D）24、设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量,为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为(（A）；（B）；（C）;（D）。）。5、设方阵是正定矩阵,则必有（（A）；（B）；（C）；（D)。三、（本题8分)计算行列式，其中。).四、（本题12分）设，且,求矩阵及，其中为的伴随矩阵,为单位矩阵。五、（本题14分）设向量组不能由向量组线性表示。线性表示。（1）求向量组的一个极大无关组；（2）求的值；（3）将向量用

六、（本题14分）设齐次线性方程组（Ⅰ）为，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为。（求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2)问方程组(Ⅰ）求出所有非零公共解，若没有,则说明理由。14分）设矩阵，1)和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则七、（本题（1）已知的一个特征值为求；（2)求方阵，使为对角阵。八、（本题8分)试证明:阶矩阵的最大特征值为，其中。参考答案一、填空题（本题15分,每题(本题15分，每题3分)1、D；2、B；3、A;4、(本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次原式=.3分）1、0；2、；3、4；4、；5、1。二、选择题C；5、B。三、往下一行加，再按最后一行展开得：四、（本题可逆，故；由于，。12分)解：由，得:，五、（本题14分)解：(1）令，，则线性无关，故是向量组（2）由于4个3维向量线性相关,若线性无关,则可由线性表示，与题设矛盾；的一个极大无关组；于是线性相关，从而。（3）令，。六、（本题14分)解：（1），所以方程组（Ⅰ）的基础解系为:；（2）设，即，故上述方程组的解为，于是方程组（Ⅰ)和(Ⅱ）所有非零公共解为：。七、（本题14分）解：（1），将代人上式，得；（2）由(1）得，显然为实对称阵，而令，显然是也实对称阵，是单位阵，

由，得的特征值，属于对应的特征向量为，单位化：，属于对应的特征向量为，单位化：,取，则有。八、（本题8分)证明：由得的特征值，，故的最大特征值是.考试试卷2闭卷考试时间:100分钟一、填空题（本题15分,每小题1、若n阶行列式零元素的个数超过n(n—1）个，则行列式为。2、若A为4阶矩阵，且=，则=.3分）3、设A=，且R（A）=3,则k=。4、已知向量，=（1,2，3）,=（1，,)，设A=，则A=。5、设A为n阶方阵，为A的伴随矩阵,E为n阶单位阵，若A有特征值必有特征值.二、选择题（本题15分,每题3分）1、设A,B，C为n阶方阵，E为n阶单位阵，且ABC=E，则下列各式中(）不成立.（A）CAB=E(B)（C）BCA=E（D）2、设A,B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则它们的秩满足（）。（A)必有一个B)都小于n(C)一个小于n，一个等于n（D）都等于n3、下列命题中正确的是（（A)在线性相关的向量（B)在线性无关的向量等于零（）组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关（C)任何n+k个n维向量（k）必然线性相关（D)若只有全为零时，等式才成立，且线性无关，则线性无关4、设,则=（)时，有为的基（A）（B）（C）（D）

5、设二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3,则（（A)k〉10分）计算10分）设=，且,求矩阵，其中的伴随矩阵，为单位矩阵。）8（B)k〉7（C)k〉6(D)k>5三、（n阶行列式，并求该行列式展开后的正项总数。四、（五、(本题14分）设有向量组，,，,（1）求该向量组的秩；（2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、（本题14分)设向量，（1)求3阶方阵的特征值与特征向量；(2)求一正交矩阵为对角矩阵。七、（本题14分)设矩阵，(1）问；（2)当A是正交矩阵时，求方程组的解。八、(本题8分）证明：线性无关的充要条件是其中。参考答案一、填空：(每小题3分,共计15分)1、0；2、；3、—3；4、；5、.选择：（每小题3分，共计15分)二、1、D2、B3、C4、D5、A三、（本题10分）（练习册P117）解：，设展开式中正、负项总数分别为则，，于是正项总数为。四、（本题10分)解：由,得：,可逆，故；由于。五、（本题14分）解:将矩阵化为最简形阶梯形矩阵，（1）；（2）为所求的一个最大线性无关组，且.六、(本题14分）解：A=，（1）A的特征值为0,0,3；由AX=0得对应的0的特征向量为k，k，l为不全为零

的任意常数，由得对应3的特征向量为c，c为任意非零常数。（2）将正交化,得,再单位化，得,将单位化得，为所求正交阵.使解:（1)若A是正交矩阵，则A的列向量两两正交，故有时A是正交（2）七、（本题14分）解得矩阵。八、（本题8分）证：记矩阵由于,从而得线性无关。考试试卷3闭卷考试时间:100分钟一、填空题(本题15分，每小题3分）1、设，2、设为如果有阶可逆矩阵，使成立，则称与相似。3、元非4、已知二次型，5、设4阶方阵二、选择题（本题15分，每题3分）矩阵，则。阶矩阵，齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是。则二次型对应的矩阵.满足：，（其中是单位矩阵)，则的伴随矩阵必有一个特征值为。1、已知4阶方阵的（A）81（B）27(C）2、设、都是阶方阵，且与有相同的特征值，并且、都有个线性无关的特征向量（A）与相似(B）（C)，D)与不一定相似，但3、设阶方阵为正,下面结论不正确的是（）（A）可逆（B）也是正（C）(D）的所伴随矩阵为，且的行列式，则(）。12（D）9,则（)。但（定矩阵定矩阵有元素全为正4、若阶实方阵，为阶单位矩阵,则（）。（A)（B）(C）（D）无法比较与的大小5、设，,，，其中为任意常数，（A）(B)（C)（D）三、(10分）计算阶行列式，的主对角线上的元素都为，其位余置元素都为，且。则下列向量组线性相关的为（）。四、（10分）设3阶矩阵、满足关系：,且，求矩阵。五、（10分）设方阵满足（其中是单位矩阵），求。

六、（12分)已知向量组:，，,，(1）求向量组的秩;(2）求向量组的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表出。七、（14分）设矩阵与矩阵相似,(1)求；（2）求正交矩阵，使.八、（14分）设有线性方程组为（1)证明：若两两不等,则此方程组无解；(2）设，且已知是该方程组的两个解，其中,写出此方程组的通解。参考答案二、填空：（每小题3分，共计15分）1、；2、；3、；4、；5、.二、选择：（每小题3分，共计15分)1、B2、A3、D4、C5、C三、（本题10分）（见教材P44习题第5题)解：后面列都加到第1列,得四、（本题10分）解：.五、（本题10分)(见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：，或。六、（本题12分)(见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6)解：将矩阵化为最简形阶梯形矩阵,（1）；（2)为所求的一个最大线性无关组，且，。七、（本题14分）（见典型