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文档简介

四、1则F(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，由Rolle定理，即四、2则F(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，由拉格朗日中值定理，即公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有其中②则当公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺余项

.③称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.称为带佩亚诺余项的麦克劳林公式.常用函数的麦克劳林公式（皮亚诺余项）小结在x0点的n阶可导函数在x0点的n阶近似多项式存在且唯一，就是泰勒多项式；佩亚诺型余项的泰勒公式常用于讨论函数的局部性质，如求极限；拉格朗日型余项的泰勒公式常用于讨论函数的整体性质，如近似计算、误差估计以及建立函数与其高阶导数之间的联系。21/23作业三、即①②①-②:即由于f(x)具有三阶连续导数,由介值定理得第四节函数单调性与凹凸性

导数符号与单调性单调性的判定步骤凹凸与拐点的定义二阶导数符号与凹凸性凹凸与拐点的判定步骤小结、作业1/21一、导数符号与单调性定理12/21证在[x1,x2]上应用拉格朗日中值定理，得3/21单调区间的分界点可能是导数为0的点或导数不存在的点。定理1注意:

单调区间的分界点除导数为0的点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某导数为0的点的两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,二、单调性的判定步骤在f

的定义域上求f

的零点及f

不存在的点；2.用f

的零点及f不存在的点将f

的定义区间划分为子区间；根据f

在各子区间内的符号及

f在各子区间端点处的连续性确定f的单调性。二、三两步可借助于表格方式完成。4/21例1解5/21例2解7/21例3证注利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。8/216/17例4.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且三、凹凸与拐点的定义定义:若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。图形上任意弧段（）位于所张弦的上方。图形上任意弧段（）位于所张弦的下方。问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?的中点的中点

9/21定义拐点是函数的局部性质。10/21四、二阶导数符号与凹凸性1、凹凸的判定定理211/2112/21例5解曲线的拐点。2、拐点的判定拐点只能是f的零点或f不存在的点。定理4（拐点的第一充分条件）14/21拐点就是的单调性改变的点。*定理5（拐点的第二充分条件）*证15/21五、凹凸与拐点的判定步骤16/21例6解连续拐点连续非拐点17/21拐点为注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。例7解18/21六、小结单调性可以由一阶导数的符号确定；

利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式;曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——

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