【无线射频技术】-生动形象的傅里叶变换解析

1/1生动形象的傅里叶变换解析！使用联想链条和几何直观，辅以从实际需求衍生概念的思索模式，详解什么是傅立叶变换，为什么要做傅立叶变换等，关心记忆和理解，目的当然是标题所说：让你永久忘不了傅里叶变换这个公式。另，这篇博客还从侧面肯定程度上回答了另一个问题：为什么要讨论复数

本篇博客为形象展现傅里叶变换和欧拉公式与初等群论两个视频的笔记结合，盼望通过此篇让全部读者对傅立叶变换有一个全新的认知，并且宣扬一波3b1b良心视频系列！重塑对未知和学问的渴求

欧拉公式与旋转

在开头一步一步接近【傅立叶变换】前，先说一下群论提前说明，此部分有地方会提到【群论】这个概念，但博主并不是要试图把什么环、域、向量空间、代数结构、线性代数群、李群等等一大堆很抽象的概念灌输给大家，我们只是为了利用群论的概念，加深或者说建立一个对【理解傅立叶变换】极度有关心的直观概念：指数函数（逆操作对数函数同理）是加法和乘法运算的桥梁，在自变量包含复数时表示旋转。以详细的一个例子来说:

e^(i)表示的是在单位圆上逆时针在旋转180这个变换。

等等，这不是排行世界上最宏大的十个公式其次名的欧拉公式（上帝公式）嘛？（BTW，我们今日的主角【傅立叶变换】排行第七，这阵容着实强大）

​是的，这第一部分，捎带，会带你更进一步的重新熟悉这个公式的宏大。

对称性symmetry

首先，假设我们有以下陈述：正方形是对称图形

那么从数学（定义or公式）角度上来说，怎么描述【对称】这个概念呢？我们作为【人】，确定会想，不就是看着左右一样嘛？不够严谨，不够优雅，连续深化，可以这么考虑：你能对正方形做些什么，并且在这个操作后，保持正方形的形态和操作前相同

我们把具有上述性质的操作都列出来，放在mi一起，如下面动图所示（左右旋转90，旋转180，四个轴对称，不变，这八个操作），就构成了一个有限群【对称群】，更专业的叫法是【八阶二面体群Dihedralgroupoforder8】

​有了上面的直观理解，还有一个无限群需要了解，即【旋转群】，表示的是全部旋转操作，当然，由于角度可以无限细分，这个操作也是无限的，比如：顺时针旋转

此时，能总结出一个巧合的现象，根据挨次进行上面8个操作的某两个，恰好等同于8个操作中的其他的某一个（旋转群同理），如下面的动图所示，把这些组合放到一起，才真正的表达了【群】这个概念

​许多不同的概念都能从对称性和对称性的符合构建得到，如下图所示，其中，数字本身有两种表达方式（操作），加法和乘法

​对于【数】这个集合来说，加法对应数轴的平移变换（一个操作），乘法对应着数轴的伸缩变换（一个操作）把这个数轴的概念拓展到平面坐标系，1D➜2D。假如我们要把一个点，比如（1,0）移动到另一个点，应当如何操作？简洁的说，只需要先在横轴方向上平移，再在纵轴方向上平移即可（核心思想类比于正方形的几个操作）同理，除了平移外，使用伸缩加旋转也可以完成同样的事情（将任意一点移动到另一个位置），伸缩是乘法显而易见，但是旋转怎么表示呢？（当然直接转变坐标轴的定义也是能做到的，例子就是极坐标系，但我们并不想这么做），我们构造以下思索链条：

考虑一个特例操作：一个点变到另一个点：（1,0）通过伸缩和旋转到（-1,0），长度不用变，只需旋转即可

此时，留意到了一个形式很有特点的定义：，-1就是我们需要的目标位置，那如何从（1,0）动身进行两次同样的操作可以得到（-1,0）呢？（这个操作即ii这个虚数单位定义的操作）答案即：一个单位ii表示旋转90即可

更意外的发觉，进行一次ii操作，假如是逆时针旋转90，正好会落在二维平面y轴的（0,1）与单位长度不谋而合

更大胆的假设，假如y轴自带虚数单位，如，就有旋转操作了，是不是就就能通过乘法来描述处在这个平面上的全部变换了

以上都是假设和推理，剥丝抽茧后，最关键的部分：如何使用单位i表示逆时针旋转90，并且给出了一种可能的映射规章，x轴平移表示伸缩，y轴平移表示旋转，这样就可以保证群的特性？（几种操作肯定可以组合成其他某个操作，有一个学名：保持群结构）i怎么可能表示旋转呢？怎么看都像啊，此时陷入了死胡同，不妨换个角度来思索，旋转究竟是什么？旋转，是沿着一个圆弧（有圆心，转过的角度）运动的过程假如你对泰勒公式特别熟识，就可以通过一系列公式推导得到一个完善桥梁：【指数函数】，形如

​假如底数a=e，通过泰勒绽开式，可以完成一个非常美丽的变形，如下：

​将x=i带入（1）式（这里的是一个未知数，即自变量），整理项，移动，结合cos(x)和sin(x)的泰勒绽开式，还有虚数单位的定义i=11，有下列推导：

​这个公式有什么用呢？可视化后，如下图所示

​假设纵坐标自带虚数单位i（复平面），那么，sin()为纵坐标（自带虚数单位i），cos()为横坐标，则可以发觉：e^(i)表示一个圆心在原点，半径为1的单位圆（图中是，由于作图软件的限制，换不成，但不影响）

e^(i)这个公式等价于一种旋转，为旋转角的度数（统一单位，弧度制，即把转换成实数）=2即为360，是单位圆我们已经优雅的找到了这个桥梁，接下来认真讨论一下它意味着什么

指数函数Exponentiation

指数函数有一个特别重要的特性：加法变乘法，即

​也就是说通过指数函数，可以做到使用平移变换来描述伸缩变换，这详细是什么意思呢？参考下面的动图

​上方的数轴，表示的是平移变换-1（左移一个单位）和2（右移两个单位）（加法），下方的数轴将两个数作为输入，代入到一个指数函数中，对于函数来说，这个输出值，就是两次伸缩变换（乘法），一次是收缩为原来的，另一次是拉伸成原来倍

留意，所谓可以变的意思是说，加法运算可以成立，意味着先往左平移1单位，再往右平移一单位，组合起来的左右就是往右平移一到位（-1+2=1,群论的保持结构特性),而乘法运算成立也要满意这个特性

复平面ComplexPlane

至此，构造复平面，把虚数单位ii加到纵轴上。我们就同时拥有了伸缩和旋转，最关键的是，有了这两个操作，我们同时也可以维持的群的特性（使用乘法）如下面动图所示，在复平面内，以指数函数为桥梁，实轴横向平移对应伸缩，虚轴纵向平移对应旋转

​横坐标红线，横向平移映射到伸缩操作的可视化纵坐标虚数单位，纵向平移映射到旋转操作的可视化，正为逆时针旋转现在使用的桥梁是底数为2的指数函数，我们知道e^(i)代表的半个圆周，我们盼望把底数变成e,这样更加便利表达圆的概念每走一个单位的纵向位移，在圆周上旋转的圆弧长度就是1，参照下面的动图，e^(i)恰好代表逆时针旋转180，并且落在的位置为（-1,0），这就是欧拉公式，或者说是欧拉公式的几何直观可视化

​总结

这第一部分究竟干了啥？其实就是想建立一个观念（或者说常识）e^x在复平面，或者说x=ai（a为某个常数，就是弧度制的圆周长度）代表的变换是：旋转假如你之前学过傅立叶变换，那么会明白为什么需要花费这么大篇幅来讲这个，由于公式中，e^(i)那是可是相当重要的一部分啊

傅里叶变换

正式进入傅立叶变换的部分，老法规，先做一下基本信息整理

什么是傅立叶变换

首先，还是先弄清晰我们理解的目标是什么傅立叶变换（假如不加限定，这个词对应的是连续傅立叶变换）

傅立叶级数傅立叶变换还有许多其他的内容：离散时间傅立叶变换，离散傅立叶变换，傅立叶逆变换，快速傅立叶变换等，进一步的拉普拉斯变换，小波变换，z变换等

[公式表示]

傅立叶变换，变换作用是时域映射到频域，公式是长这样的：

​许多时候，这里的会写成F(w)或F(f)表示角速度或者频率，当然后面的公式的量纲也需要对应的修改；后面的自变量x大多数时候都是写成t表示时间。当然，他们表示的都是同一个东西

[联想链条]

既然是为了【理解】和【记忆】，那么我们还是需要定义一个联想链条：傅立叶变换➜分解声音的过程

这么抽象实在是由于拆字法真的很难联想出什么东西来（傅里叶？变换？嗯，很难的样子），只能这样了。

接下来就是精华部分：3b1b的傅立叶变换讲解内的核心内容！在笔记完成后，会给出结合直观理解的完整联想链条，目的当然是【让你永久忘不了】喽，点题！

【看到】傅立叶变换

[声音的表示]我们是如何记录声音的呢？假如你测量的是扬声器旁的气压，那么它会是一个随时间以正弦函数形态不断震荡的图像，一个标准音A（下图黄色），它的频率是440Hz，表示每秒钟振动440次，比它低一些的D（下图紫红），是294Hz，振动的慢一些。假如这两个音同时发出，产生的气压随时间曲线怎么打算呢？如下动图，其实就是把全部时间点的振幅加起来

​那么假如给你随便一段随时间变化的气压曲线，你如何找到这些原有的组成音符呢？这就是我们的目的，参考下面的动图，感觉有点像是把一盘混好的原料分成组成它的单独的颜色，感觉不那么简单吧？

​下面就需要一步一步把这件事情做出来[可视化方法]首先，假设我们有一个每秒钟3拍子的声音信号（440Hz实在太快了），它的图像如下（Intensity为强度，可以同理成气压），并且，我们只关注前面的4.5秒（即图像中画出来的部分）

1.绕圈记录法：同一事物的不同角度

千万不要刺眼！下面是最关键的一步，是【看到】傅立叶变换的核心部分，如下面动图所示

首先把黄色曲线缠绕到一个圆上，大小就是原本信号的振幅

圆四周的图像由白色的箭头绘制而成，速度可变，上图中的白色箭头移动速度是每秒钟转过半圈（这个速度是对于下面的圆形图像来说，每秒钟在圆形图像中转半圈），对应上面的则是虚线表示一圈走到的位置，0.5拍子/秒

此时，有两个频率在起作用，一个是信号的频率：3次震荡/秒，另一个是图像缠绕中心圆的频率，为0.5圈/秒，其次个频率可以自由转变，相当于一个变量，下面的动图直观的呈现了缠绕速度变化时的可视化表现

​从最开头的0.79圈/秒（留意这里的速度是指绕单位圆的白色箭头的滑动速度）始终变化到1.55圈/秒，再到最终的恰好是3圈/秒，和原来的信号3拍/秒相同，此时会消失一个特别稳定的图像，我们可以理解成，同步，这个绕圈图像记录了原信号的幅值变化并且每一圈都相同（周期性）其实，我们只是把一个水平的轴缠绕到一个单位圆上，并用另一个速度的记录标尺（白色箭头）来画图，从另一个角度（维度）来看我们的信号

2.质心记录法：新维度的特征提取

虽然新图像挺好看的，但是现在感觉并没法从中看出什么。也不尽然，我们直观的发觉，当白色箭头记录的速度在某些特定的值时，画出来的图形特别稳定，形态清楚。那如何表现这个特征呢？从两个角度来思索

（1）自变量是什么？（输入特征）输入是一个可变化的转圈速度，既然可变，不妨把它看作自变量，即f(x)中的x

（2）输出（新的圆圈图）有什么特征？（输出特征）观看到，当图像很混沌（没有规律，混乱的）时候，图像基本关于原点对称；稳定时，其实是"头重脚轻'的。

描述"头重脚轻'最好的方法当然是用【质心】（它描述了物体的空间分布特征），下面的动图直观呈现了质心特征对图像特征的描述力量（红色点为质心）

​考虑到质心其实是一个二维坐标，这里为了简洁和直观，取质心的横坐标来表示质心的特征【输入（横坐标）】➜【进行采样的（白色箭头）的绕圈速度】【输出（纵坐标）】➜【圆圈图的质心位置的横坐标】根据上面的说明来记录绘出图像，记录每个缠绕频率（速度）对应的质心位置，参看下列动图，随着图像的绘制到3圈/秒这个位置的时候，是不是感到似曾相识呢？

​我们可以看到，新图像的横坐标写的是【频率Frequency】，即缠绕圆圈的记录速度，所以剧烈建议看到频率，想起速度，并且抽象为围着圆圈跑的速度（个人感受，对理解【频率】的概念有助益）好！有了这个工具，先把它应用到两个声音的组合图像中看看效果：（这是我最喜爱的一张动图）

​什么？还是没看清上面的振动图像如何变成圆圈图的？看下面的动图，缠绕圆圈速度为2圈/秒的白色箭头将时间信息映射到圆圈图中的的可视化。再次重复，白色箭头以肯定的速度（频率，一秒几圈）在上图中向右横移，同时，在下面的单位圆内被转换成类似钟表指针移动的圆圈运动，并记录振幅，画出图像

​BTW，图形的一部分有点像动画EVA中某个使徒的脸，带给人一种诡异的仪式感。数学之令人敬畏，可能在这一刻熠熠生辉，刺的人睁不开眼[公式表示]大家也发觉了，我们已经通过这样一个缠绕机器完成了时域到频域的转换，总得来说，参看下面的动图

​这是一种【近傅立叶变换】，为什么是【近】，后面会提到。先考虑，那如何数学语言表达这个【转圈记录机制（工具or机器）】呢？

第一步：旋转的表示

如下面的动图所示，在这个工具中，特别关键的就是转圈，即表达旋转这种运动，依据第一大部分，这个桥梁，就是复平面，其背后的原理是指数函数结合泰勒公式

​更进一步，指数函数中，以ee为底的函数有着特别的性质，如下面动图所示，单位的就表示一个单位圆的360旋转，则表示的就是一秒钟一圈的旋转方程，感觉速度有点太快了，所以加一个f频率，掌握旋转的速度，图中为1/10,合起来表示一秒钟非常之一圈

​其次步：缠绕的表示

首先，依据下面的动图所示，在傅立叶变换中，我们规定旋转是顺时针的（规定只是为了统一标准，并且有时候也会考虑书写简洁和便利计算），所以先加一个负号。假设原来的函数是g(t)，将两者的幅值相乘就能得到缠绕图像，，可以说是相当机灵了！

第三步：质心的表示

那如何表示质心这一概念呢？粗略想一下感觉挺难的，但是看起来很难的问题，有一种解决问题的途径是【演绎推理】，先从简洁的特例动身，推广到一般，最终证明正确性即可考虑如何求一个正方形的质心位置，我们只需在边框上取n个等距离分布的点，并且算这几个点的位置的平均值。那么推广到一般状况，也使用类似的采样点的方式解决，如下面动图所示（紫红色的点即采样点），得到

​随着采样点的增加，需要使用积分来求解这个问题，如下面动图所示，得到

​最终步：整理积分限和系数

看到常数项系数，假如忽视表达倍数关系的系数，对应的含义也会发生变化，不再是质心，而是信号存在的时间越久，位置是质心位置乘以一个倍数，它的值就越大。参看下面的动图，持续时长为3秒，那么新的位置就是原来质心位置的三倍；为6秒，就是原来的6倍

​而去掉系数的几何直观动图变为（红色箭头为去掉系数后的长度表示），最本质的区分是：可以使得最终绘制的图像更集中在对应的频率的四周，或者说在对应的频率位置的值更大

​连续考虑上下限。我们知道，一般傅立叶变换公式的上下限是正负无穷，那它的几何直观是什么呢？参看下面动图，其实就是看看信号持续时间无穷大是什么样子的

​说实话，这个动图解答了我高校时代的一个怀疑，音乐文件不都是有时间长度的嘛，我就始终不懂，凭什么对负无穷到正无穷做傅立叶变换？原来真实状况是，负无穷到0，音乐结尾到正无穷，就像上面的动图，其实都没有振动幅值（电信号幅值）与之对应，再结合缠绕圆圈的思想：原来，从音乐开头到结束傅立叶变换和从负无穷到正无穷做傅立叶变换，是特么的一回事啊！（吐槽完毕）

补充

[相位]在表示质心的时候，我们只取用了x轴坐标，下面的图中的蓝色曲线就是纵坐标（y轴or虚部）的可视化,红色曲线是横坐标（x轴or实部）

​那么相位是如何表示的呢？如下面动图所示，其中红色的部分为质心，长度为振幅大小，对应的角度就是相位

​[原信