差数的显著性检验

差数的显著性检验第一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六问题一、某区三年级数学考试的平均成绩为86．5分，标准差为13．8分，其中某实验学校三年级152人的数学考试的平均成绩为90．5分，问该校三年级数学考试的平均成绩与全区的平均成绩之间是否有显著差异?二、某自然课实验班52名学生自然课考试的平均成绩为97．5分，标准差为15．6分，另一非实验班54名学生自然课考试的平均成绩为95分，标准差为17．5分，问自然课实验是否取得了显著的效果?第二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六第一节平均数差异的显著性检验平均数差异的显著性检验要解决两个问题：第一个问题:检验已知样本平均数为的总体平均数μ是否等于已知的总体平均数μ0?即检验已知样本平均数与已知总体平均数μ0的差异是否显著?因为这种检验仅考察一个未知总体参数μ，所以称为单总体检验。第三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六μ0、、μ关系图μ0已知μ未知已知第四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六第二个问题:

检验已知样本平均数分别为1和2的两个未知总体平均数μ1和μ2是否相等?即检验两样本平均数1和2的差异是否显著?因为这种检验考察了两个未知总体参数μ1和μ2

，所以称为双总体检验。

根据统计量抽样分布形态的特点，平均数差异的显著性检验可分为Z检验和t检验两种情况。

第五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六μ1、1、2、μ2关系图μ1未知μ2未知2已知1已知第六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六一、Z检验

(一)平均数的单总体Z检验只要下面两种条件之一能得到满足，就可以应用平均数的单总体Z检验。其一，如果样本来自正态分布的总体，而且总体的标准差已知，这时无论样本容量多大，都可以采用平均数的单总体Z检验。其二，如果样本来自未知或者非正态的总体，只要样本容量充分大(一般要求n≥30)，也可以近似采用平均数的单总体Z检验。第七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六平均数的单总体Z检验的步骤如下：(1)建立虚无假设：

H。：μ=μ0(2)计算Z值：式中，为已知样本的平均数；μ0为已知总体的平均数；σ为已知总体的标准差；n为已知样本的容量。第八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(3)选择显著性水平α，查标准正态分布表取得临界值Zα。(4)作出统计判断；如果|Z|＜Zα，则接受虚无假设H0；如果|Z|＞Zα，则拒绝虚无假设H0。第九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六例5．1：某区三年级数学考试的平均成绩为86．5分，标准差为13．8分，其中某实验学校三年级152人的数学考试的平均成绩为90．5分，问该校三年级数学考试的平均成绩与全区的平均成绩之间是否有显著差异?

解：因为样本容量n＝152＞30，而且已知总体平均数μ0＝86．5分，标准差σ＝13．8分，样本平均数＝90．5分，要求判断与μ0的差异是否显著。所以应该采用平均数的单总体Z检验。检验步骤如下：第十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(1)建立虚无假设：

H。：μ=μ0(2)计算Z值

(3)确定显著性水平α＝0.01，查标准正态分布表得临界值Z0.01=2．58。

(4)作出统计判断：因为|Z|＞Z0.01，所以拒绝H0，即认为该校三年级数学考试平均成绩与全区相比有极显著差异。第十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(二)平均数的双总体Z检验要检验两相互独立的样本平均数1与2是否差异显著，只需要下面两条件之一能满足，就能进行平均数的双总体的Z检验。其一，两相互独立样本分别来自已知总体标准差为σ1与σ2

的正态总体，无论两样本容量大小如何，都能进行平均数的双总体Z检验。其二，两相互独立样本的容量充分大(一般要求大于30)，无论两样本来自的总体的分布形态是否正态，都可以近似地进行平均数的双总体Z检验。而且当两总体标准差σ1与σ2未知时，可以用两样本标准差S1与S2来替代。第十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六平均数的双总体Z检验的步骤如下：(1)建立虚无假设：

H0：μ1=μ2(2)计算Z值：式中，1与2为两样本的平均数；σ1与σ2为两总体的标准差；n1与n2为两样本的容量。第十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(3)选择显著性水平α，查标准正态分布表取得临界值Zα。(4)作出统计判断；如果|Z|＜Zα，则接受虚无假设H0；如果|Z|＞Zα，则拒绝虚无假设H0。第十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六例5．2：某自然课实验班52名学生自然课考试的平均成绩为97．5分，标准差为15．6分，另一非实验班54名学生自然课考试的平均成绩为95分，标准差为17．5分，问自然课实验是否取得了显著的效果?

解：因为两班人数均超过30人，而且两班分数的取得互不影响，是两个相互独立的大样本，所以满足平均数的双总体Z检验的条件。由于两总体标准差σ1与σ2未知，因此需要用两样本标准差S1与S2来代替。其检验的步骤如下：

第十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(1)

建立虚无假设:Ho：μ1=μ2(2)

计算Z值：

(3)确定显著性水平α＝0．05，查标准正态分布表得临界值Z0.05=1．96。

(4)作出统计判断：因为|Z|＜Z0.05，所以接受虚无假设Ho，即认为两班自然课考试的平均成绩没有显著差异，自然课实验的效果不显著。普通高中男女生数学学习差异的研究.doc第十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

教育统计与测量RESEARCHIN

EDUCATIONALSTATISTICS

二、t检验（TTEST）

——平均数差异显著检验的基本方法第十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六t检验是利用抽样分布为t分布的t统计量来进行统计假设检验。检验过程中需计算t统计量和查t分布表。第十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（一）思考题1．t检验与Z检验有什么联系与区别？2．t检验有哪类型，各适用于什么情况?3．平均数差异的显著性检验在应用中需要注意哪些问题？

第十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六t检验与Z检验有什么联系与区别？联系:(1)Z检验和t检验都可以用于平均数差异的显著性检验。(2)Z检验是t检验的特例。区别：(1)标准正态分布曲线只有一条，因此其临界值仅由显著性水平α所确定；而t分布曲线却有无数条，因此其临界值由指定曲线的自由度df和显著性水平α共同确定。t分布曲线的自由度df与样本容量n和统计假设有关。(2)有些情况下不能使用Z检验而只能使用t检验。第二十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（二）内容框架t检验

单总体检验独立样本的双总体检验

相关样本的双总体检验

第二十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（三）过程分析

平均数的单总体t检验（MeansTestforOneSamplewithTTEST）检验的一般步骤为：(1)建立虚无假设：

H。：μ=μ0(2)计算t值：

(3)确定显著性水平α，自由度df=n—l，查t分布表得临界值tα(df)。(4)作出统计判断：如果|t|＞tα(df)，则拒绝H0；如果|t|＜tα(df)，则接受H0。第二十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六例5．3：某校五年级举行数学竞赛，已知全年级参加数学竞赛学生的数学水平呈正态分布，而且平均成绩为85．8分，某实验班参加数学竞赛的8名学生的分数分别为70，75，75，80，80，85，87，96。问该班的数学竞赛成绩与全年级相比是否有显著差异?

解：条件分析：总体为正态分布，总体标准差σ未知，样本容量n＝8＜30。因此要检验样本平均数与总体平均数μ0差异是否显著，适宜采用平均数的单总体t检验。检验步骤：(1)建立虚无假设：

H。：μ=μ0第二十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(2)计算t值：首先求出样本平均数和标准差，然后求t值。第二十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(3)确定显著性水平选择α＝0．05，自由度df=n一1＝8—1＝7，查t分布表得临界值t0.05(7)＝2．365。(4)作出统计判断因为|t|＜t0.05(7)，所以接受H0，即认为该实验班的数学竞赛的平均成绩与全年级相比没有显著差异。第二十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六EXCEL算法1．语法（1）AVERAGE，STDEV，SQRT，“=”（2）TINV(probability,degrees_freedom)Probability为对应于双尾学生氏-t分布的概率。Degrees_freedom

为分布的自由度。2．实际操作例5.3（1）计算t值（2）求临界值t0.05(7)第二十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（四）问题讨论1．虚无假设在检验中有什么作用？2．在检验中S与σ有什么不同？3．自由度df对检验有什么影响？4．如何选择显著性水平α？5．你还有什么疑问？

第二十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（五）参考资源1．王孝玲编著，《教育统计学》，华东师范大学出版社，2007年,P94—103。2．张厚粲、徐建平编著，《现代心理与教育统计学》，北京师范大学出版社，2003年。

P258—260第二十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（六）参考练习王孝玲编著，《教育统计学》，华东师范大学出版社，2007年。第19和21题。第二十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

平均数的双总体t检验（MeansTestforTwoSampleswithTTEST）（一）两相互独立样本的t检验（TwoIndependentSampleswithTTEST）1．条件与问题分析设两个平均数分别为1与2的样本，来自相互独立的两个正态分布总体，当检验1与2的差异是否显著时，可以采用两相互独立样本的t检验。这种t检验需要根据两总体的方差σ12与σ22是否相等来选择相应的检验公式。（σ12与σ22

是否相等的推断方法将在本章的第二节中介绍。）第三十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六2．检验方法

如果两总体方差σ12=σ22，那么，两相互独立样本t检验的步骤如下：(1)建立虚无假设：

H0：μ1=μ2(2)计算t值：

(3)确定显著性水平α，自由度df＝n1＋n2－2，查t分布表得临界值tα(df)。

(4)作出统计判断：如果t＞tα(df)，则拒绝H0；如果|t|＜tα(df)，则接受H0。第三十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

例5．4：从甲、乙两班分别抽取7名和8名学生进行看图说话测验，测验结果甲班7名学生的成绩为88、86、84、84、90、87、90；乙班8名学生的成绩为86、87、84、89、90、92、92、94。问甲、乙两班测验的平均成绩有无显著差异?

解：

1．条件分析假设两班学生看图说话的能力服从正态分布，两总体方差σ２１

=σ２2(下一节介绍检验方法)，并且两样本相互独立，因此可以采用σ２１=σ２２时的两相互独立样本的t检验。

2．检验步骤第三十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(1)建立虚无假设：

H0：μ1=μ2(2)计算t值：首先求1、2、S２１和S２２；第三十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六然后将上述各量数代入公式(5．4)求t值，

(3)确定显著性水平α＝0．05，计算自由度df＝n1+n2-2=7+8-2=13查t分布表得临界值t0.05(13)=2.160。

(4)作出统计判断：因为|t|＜t0.05(13)，所以接受H0，即认为甲、乙两班测验的平均成绩无显著差异。第三十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六EXCEL算法1．语法（1）TTEST(array1,array2,tails,type)Array1

为第一个数据集。Array2

为第二个数据集。Tails

指明分布曲线的尾数。如果tails=1，函数TTEST使用单尾分布；如果tails=2，函数TTEST使用双尾分布。Type

为t检验的类型。1代表成对；2代表等方差双样本检验；3代表异方差双样本检验。

（2）TINV(probability,degrees_freedom)Probability为对应于双尾学生氏-t分布的概率。Degrees_freedom

为分布的自由度。2．实际操作例5．4xls（1）求显著性水平（2）计算t值第三十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（二）两相关样本的t检验（TwoPairedSampleswithTTEST）在平均数的双总体t检验的假设前提下，如果要检验两相关样本的平均数1与2的差异是否显著，可以采用两相关样本的t检验方法。检验步骤如下：

(1)建立虚无假设：

H0：μ1=μ2(2)计算t值：式中，D为两样本对应数据之差，即D＝X1-X2；为两样本n对应数据之差D的平均数，即＝ΣD／n。第三十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(3)确定显著性水平α，自由度df＝n—l，查t分布表得临界值tα(df)。

(4)作出统计判断：如果|t|＞tα(df)，则拒绝H0；如果|t|＜tα(df)，则接受H0。

两相关样本的t检验一般用于同一组统计对象实验前后测验结果的比较；同一组学生两等值测验成绩的比较；按照成绩或者能力等条件将学生一一配对分成两组测验成绩的比较等。第三十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

例5．5：某校在一年级学生中选取了16名学生，按音乐能力大致相当的方式将他们配对分成两组，每组8人，采取不同的方法教学，教学结束后进行测验的成绩如下表的第一、二两列，问两种教学法产生的效果差异是否显著?

第三十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六学号X1X2D＝X1-X2D-(D-)219590500290855003908010525485850-525585751052568075500770601052585560-5-10100合计650610400200

第三十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六解：由于两样本是配对形成的，所以是两相关样本，假定满足平均数的双总体t检验的其他条件，那么，可以采用两相关样本的t检验方法。检验步骤如下：

(1)建立虚无假设：H0：μ1=μ2(2)计算t值：首先求1与2，

第四十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

(3)确定显著性水平α＝0．05，自由度df=n—l＝8一l＝7，查t分布表得临界值t0.05(7)＝2．365。

(4)作出统计判断：因为|t|＞t0.05(7)，所以拒绝Ho，即认为两种教学方法产生的教学效果有显著的差异。例5．5.xls特殊教育教师心理健康状况的调查研究.pdf特殊教育教师心理健康状况的调查研究.doc第四十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六第四十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六（六）阅读与练习1．阅读：王孝玲编著，《教育统计学》，华东师范大学出版社，2007年，P1０6-118，P1２3—1２72．练习：P127第1题，P1２８第4题。2．要求：基本方法理解，数据输入规范，格式设计美观，结果显示清楚。第四十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六Z检验和t检验的联系与区别虽然Z检验和t检验都可以用于平均数差异的显著性检验，但是在有些情况下不能使用Z检验而只能使用t检验。比如，当样本容量n较小，而且总体标准差σ未知时，就只能采用t检验方法检验平均数差异的显著性。第四十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六第四十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六第二节

其他量数差异的显著性检验

一、方差齐性的显著性检验其他量数差异的检验在上一节两相互独立样本的t检验中，曾对两总体方差σ12与σ22是否相等，作过不同的假设。方差σ12＝σ22或者σ12≠σ22的假设实际上可以通过统计假设检验来决定，这种对两正态总体方差的统计假设检验称为方差齐性的显著性检验。检验两总体方差是否相等，需要利用样本方差S12与S22，其中第四十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六假设两样本相互独立，且分别来自方差相等的两正态分布总体，那么，样本方差S12与S22的比称为F统计量，记为F＝S12/S22。F统计量构成的抽样分布称为F分布。利用F统计量的F分布就可以对两正态分布总体的方差齐性进行显著性检验。检验步骤如下：(1)建立虚无假设：

H0：σ12＝σ22(2)计算F值：实际应用中，为了查F分布表方便起见，特别将S12与S22中的较大者作为分子，记为S2大，较小者作为分母，记为S2小。所以，常用的F统计量的形式为

F＝S大2/S小2(5.6)

第四十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(3)确定显著性水平α，分别计算分子和分母的自由度df大和df小，查F分布表得临界值Fα(df大，df小)。

F分布的临界值由Fα(df大，df小)显著性水平α、自由度df大和df小共同决定。其中df大和df小可分别记为df1和df2，那么，df1＝n1一1，df2＝n2—l，分别列在F分布表的最上端一行和最左端一行。比如，某F统计量分子的自由度df1=9，分母的自由度df2＝7，那么，当显著性水平α＝0．05时，查F分布表得临界值F0。05(9，7)＝3．68；当显著性水平α＝0．01时，查F分布表得临界值F0。01(9，7)＝6．71。

(4)作出统计判断：如果F＞Fα(df1，df2)，则拒绝H0；如果F＜Fα(df1，df2)，则接受H0。第四十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

例5．6：在例5．4中，我们曾假设两总体方差σ12＝σ22，现可以采用F检验的方法对这一假设进行验证。为了便于查F分布表，即把方差较大的作为F的分子，较小的作为分母，所以，将两样本方差记为S12＝10.57，S22＝6．33，两样本容量改记为n1=8，n2=7。

检验的步骤如下：

(1)建立虚无假设：

H0：σ12＝σ22(2)计算F值：

F=S12/S22=10.57/6.33≈1.66(3)确定显著性水平α＝0．05，自由度df1＝n1一1＝8-1=7，df2＝n2-1=7-l＝6，查F分布表得临界值F0.05(7，6)＝4．2l。

(4)作出统计判断：因为F＜F0.05(7，6)，所以接受H0，即认为虚无假设σ12＝σ22成立。

第四十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六二、比例差异的显著性检验

教育工作中，除了需要对平均数差异的显著性进行检验外，优秀率、合格率等比例差异显著性的检验也是经常要遇到的问题。比例差异的显著性检验也可分为单总体检验和双总体检验。

(一)比例差异显著性的单总体检验

如果某总体具有某种属性的个体所占总体的比例为π0，而某样本具有该属性人数的比例p,那么，对样本比例p与总体比例π0差异的显著性检验就称为比例差异显著性的单总体检验。

第五十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

当样本容量n较大，p不接近0或者1，即np和n(1-p)中数值较小者大于5时，可以利用标准正态分布的Z统计量进行比例差异显著性的单总体检验。检验的步骤如下：

(1)建立虚无假设：

H0：π=π0(2)计算Z值：

(5.7)(3)确定显著性水平α，查标准正态分布表得临界值Zα。

(4)作出统计判断：如果|Z|>Zα，则拒绝H0；如果|Z|<Zα，则接受H0。

第五十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

例5.7：1995年某市小学教师中，具有大专以上学历的教师的比例为14．5％，而某小学60名教师中具有大专以上学历的有12人，问该小学教师具有大专以上学历人数的比例与全市相比是否有显著差异?

解：已知总体的比例π0＝0．145，样本的比例p=12／60＝0.2，np=60×0.2＝12和n(1-p)＝60×0.8＝48中的较小者np＞5，所以可以采用公式(6．9)进行比例差异显著性的单总体检验。检验步骤如下：

(1)建立虚无假设：

H0：π=π0

(2)计算Z值：

(3)确定显著性水平α＝O．05，查标准正态分布表得临界值Z0.05=1．96(4)作出统计判断：因为|Z|＜Z0.05，所以接受Ho，即认为该小学具有大专以上学历的教师与全市相比无显著差异。第五十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六(二)比例差异显著性的双总体检验检验两样本比例p1与p2差异的显著性就称为比例差异显著性的双总体检验。根据两样本是否相互独立，可采用不同的检验方法。

1．两样本相互独立假设具有比例p1与p2的两个样本相互独立，而且均来自正态分布的总体，只要两样本容量n1与n2较大，p1与p2均不接近0或1，即n1p1、n1(1一p1)、n2p2和n2(1一p2)中的最小者大于5，那么，就可以利用标准正态分布的Z统计量进行比例差异显著性的双总体检验。第五十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六检验步骤如下：

(1)建立虚无假设：

H0：π1=π2(2)计算Z值：

(5.8)

式中

(3)确定显著性水平α，查标准正态分布表得临界值Zα。（4）作出统计判断：如果|Z|>Zα，则拒绝H。；如果|Z|<Zα，则接受Ho。

第五十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

例5.8:甲校50名教师中35岁以下的青年教师占32名，乙校60名教师中35岁以下的青年教师占42名。问甲、乙两校35岁以下青年教师的比例是否有显著差异?

解：已知n1=50，p1=32／50＝0.64，n2=60，p2=42／60＝0.7，两样本相互独立，而且n1p1=50×32／50＝32，n1(1-p1)＝50×18／50＝18，

n2p2=60×42／60＝42和n2(1-p2)＝60×18／60＝18中的最小者n1(1-p1)＝18＞5，所以可以采用公式(6.10)进行两独立样本的比例差异的显著性检验。

第五十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六检验步骤如下：

(1)建立虚无假设：

H0：π1=π2(2)计算Z值：首先求值和(1-)