小波奇异性检测

小波奇异性检测第一页，共十七页，编辑于2023年，星期六断裂分析是地球物理资料解释中的一个重要环节。人们往往根据断裂在地球物理场上所产生的各种异常特征来进行定性和定量解释，还采用相关分析，水平一阶方向导数，垂向二阶导数，总梯度模，希尔伯特变换等各种方法来推断解释断裂位置、产状及性质[1－3]。为了分析深层的断裂或判断断裂向下延深的情况，往往通过向上延拓的方法来分析，但是，随着延拓高度增加，异常变得平坦光滑，即使再求水平一阶导数，其特征也变得模糊，不仅难以可靠地分析断裂空间位置，而且异常的信息也大大减少，这就是以往断裂分析中存在的问题。

第二页，共十七页，编辑于2023年，星期六小波分析是近年来发展起来的一种新的数学分析方法，广泛应用于信号与图象处理和石油地震勘探。利用小波分析人们成功地实现了地震勘探数据的压缩，地震道的奇性反演，分析石油储层的详细结构，信号重建与压制面波以及提高地震资料的信噪比与分辨率；利用小波多尺度分析方法对重力异常进行分解和多尺度反演，显示了小波分析方法在地球物理信号处理方面的广阔前景[3－6]。本文利用小波细节的微分特征对重力场进行断裂分析。

第三页，共十七页，编辑于2023年，星期六小波分析及其微分特征

——小波分析原理及Mallat算法

对信号f(t)∈L2(R)，其连续小波变换为，

（1）其中，ψ(t)∈L2(R)称为小波母函数，ψa,b(t)为由ψ(t)生成的依赖于参数ａ和ｂ的连续小波。在ψ(t)的傅立叶变换满足条件的前提下，有小波逆变换公式：，（2）

取，则有小波变换离散形式

，

（3）

相应的小波逆变换为

，

（4）

第四页，共十七页，编辑于2023年，星期六在多分辨分析理论基础上，Mallat提出了所谓的塔式分解算法，简述如下：设{Vj}是一多分辨分析，分别是相应的尺度函数和小波函数，对于整数J1<J2∈Z，函数，有以下分解，（5）其中，（6），（7）而

，（8），（9）定义无穷矩阵和，则（8）和（9）式可写成矩阵形式

小波分析及其微分特征

——小波分析原理及Mallat算法

第五页，共十七页，编辑于2023年，星期六，

（10）对（10）式两端同时与函数作内积，则可得Mallat重构算法：，（11）

上述一维空间的多分辨分析及Mallat算法可以很容易推广到二维空间[11]，只要将原来的{Vj}用{Vj2}取代就可以了。对于信号f(x,y)有类似一维的Mallat分解算法：

，（12）和重构算法：

，（13）小波分析及其微分特征

——小波分析原理及Mallat算法

第六页，共十七页，编辑于2023年，星期六小波分析及其微分特征

——小波细节的微分特征与信号奇异性检测在信号处理中，信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信号重要的特征之一。通常情况下，信号奇异性分两类：一类是信号在某一时刻内，其幅值发生突变；一类是信号幅值没有突变，但是，信号一阶微分有突变产生。通常用李普西兹指数（Lipschitz）来描述函数的局部奇异性。我们知道，小波变换具有空间局部化和频率局部化性质，因此，利用小波变换来分析信号的奇异性是比较有效的。第七页，共十七页，编辑于2023年，星期六对一个信号f进行小波分解后，低频部分a是对信号轮廓的描述，而高频部分d则是对信号变化的描述，信号变化大，d的值大，变化小，d的值小，在信号突变的位置上，小波变换后的系数具有模量极大值，因此，小波细节这一特征与一阶微分类似，我们称之为小波细节的微分特征。小波分析及其微分特征

——小波细节的微分特征与信号奇异性检测第八页，共十七页，编辑于2023年，星期六理论模型计算图1断裂模型及其产生的重力异常断裂模型：△σ＝0.1g/cm3,厚2.5km,埋深1和5km.第九页，共十七页，编辑于2023年，星期六图2小波变换结果：f重力异常；D1f～D5f一阶～

五阶小波变换重力异常细节；A5f重力异常五阶逼近.可以看到，小波变换后的各阶重力异常

细节突出了原重力异常变化大的部位，

即通常所说的梯度带或曲线拐点位置，

而其极值点位置正好对应着断裂错开的

水平位置。由此可见，小波细节与水平

一阶导数一样，具有突出地质体边界的

作用。

第十页，共十七页，编辑于2023年，星期六实际应用

——东秦岭1：20万重力断裂分析图3东秦岭1：20万布格重力异常图

等值线单位：g.u.(10g.u.=1mGal)第十一页，共十七页，编辑于2023年，星期六（a）一阶小波变换细节

（b）小波变换一阶细节功率谱

（c）原平面水平一次导数

第十二页，共十七页，编辑于2023年，星期六（a）二阶小波变换细节

（b）小波变换二阶细节功率谱

（c）上延3km后水平一次导数

第十三页，共十七页，编辑于2023年，星期六（a）三阶小波变换细节

（b）小波变换三阶细节功率谱

（c）上延5km后水平一次导数

第十四页，共十七页，编辑于2023年，星期六（a）四阶小波变换细节

（b）小波变换四阶细节功率谱

（c）上延10km后水平一次导数

第十五页，共十七页，编辑于2023年，星期六小波变换不但具有“数学显微镜”的作用，而且小波变换细节具有微分特征。利用小波变换细节的微分特