第一章线性规划及单纯形法习题

第一章线性规划及单纯形法习题用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。（（1）minz=2x+3x1 2'4X1+6x2-6<2x+2x-4x,x-012

max=3x+2x'2xi+x21-22<3x+4x-12x,x-012maxmaxz=5x+6x'2「x2^2<-2x+3x<2x,x-021maxz=x+x[6气+10x2<120⑶'5<x<10 ⑷<x<82将下列线性规划问题化成标准形式。minz=-3x+4x-2x+5xx—x+2x—x=—2(1)x+x—x+2x<14—2x+3x+x—x—2x,x,x-0,x无约束、1 2 3 4

minz=2x—2x+3x—x+x+x=4(2)—2x+x—x<6—2x+3x+x—x—2x<0,x-0,x无约束对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。minzminz=3x+x+2x12x+3x+6x+3x=9⑴ 8x+x—4x+2x=10v3x1-x6=2 4、xj-0 (j=1,・・・,6)(2)minz=5x—2x+3x+2xx+2x+3x+4x=7v2x+2x+x+2x=10x1-0(j=1：・・・,4)4ij分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

maxzmaxz=10x+5x1 23x+4x<9x+2x<8x,x>021maxz=2x+x3x+5x<15<6x+2x<2412x,x>021/上题（1）中，若目标函数变为maxz=巳+dx2,讨论c,d的值如何变化，使该问题可行域的每一顶点依次使目标函数达到最优。考虑下述线性规划问题：maxz=cx+dxax+ax<b111 122<ax+ax<b211 222x,x>0式中1<气<3,4<c2<6,-1<a11<3,2<a2<5,8<气<12,2<a21<5,4<a22<6，10<b2<14，试确定目标函数最优值的下界和上界。分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解。maxzmaxz=2x一x+2xx+x+x>6「2x1+x3>2<2x2-x3>0、xj>0(j=1,2,3)minz=2x+3x+x

x+4x+2x>8<3x+2x>6x,x,x>0'12 3minminz=4x+x3x+x=3⑶v4气+3%―x3=6x+2x+x=4、xj>0(j=1",4)maxz=10x+15x+12x5x+3x+x<9⑷一5x+6x+15x<15'/V1 2 32x+x+x>5x「>0(j=1：...,3)已知某线性规划问题的初始单纯形表和单纯形法迭代后得到的表1-1，试求括号中未知数a〜/的值。表1-1_x1_x2x3x4x5x46(b)(c)(d)10x51-13(e)01c.-z(a)-1200x1(f)(g)2-11/20X54(h)(i)11/21c.-z0-7(j)(k)(l)9.若X(i),X⑵均为某线性规划问题的最优解，证明在两点连线上的所有点也是该问题的最优解。线性规划问题maxz=CX,AX=b,XN0，设X0为问题的最优解。若目标函数中用C*代替C后，问题的最优解变为X*，求证：(C*-C)(X*-Xo)N0考虑线性规划问题maxz=ax+2x+x-xx+x-x=4+2P (i)<2x-x+x-2x=5+7P (ii)x>0(j=13,4「ij(模型中以,P，为参数，要求：⑴组成两个新的约束(i)'=(i)+(ii),根据(i)',(ii)',以x1，x2为基变量，列出初始单纯形表；在表中，假定P=0,则a为何值时，x1，x2为问题的最优基；⑶在表中，假定a=3，则p为何值时，x1，x2为问题的最优基。线性规划问题maxz=CX，AX=b，XN0，如X•是该问题的最优解，又且>0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化。目标函数变为maxz=人CX；目标函数变为max2=(C+人)X；目标函数变为maxz=—x，约束条件变为AX=杼力

13.某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需 700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表1—2所示：？ . 一 一 一 ..要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。（建立这个问题的线性规划模型，不求解）14.某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表1-3所示。每班护士值班开始时向病房报到，试决定：（1）若护士上班后连续工作8小时。该医院最少需多少名护士，以满足轮班需要（2）若除22点上班的护士连续工作8小时外，其他护士由医院排定上1〜4班中的两个，则该医院又需多少名护士，以满足轮班需要表1-3班 次工作时间所需护士人数16:00-10:00|60210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050•522:00-2:002062:00-6:003015.一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1-4所示。现有三种货物待运，已知有关数据列于表1-5。表1-4前 舱、中 舱后 舱最大允许载重量（t）200030001500容积（m3）400054001500表1-5商品数量（件）每件体积（m3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A600108#1000B100056700C80075$600又为了航运安全，前、中、后舱的实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应装载A、B、C各多少件运费收入才最大试建立这个问题的线性规划模型。时代服装公司生产一款新的时装，据测今后6个月的需求量如表1—6所示。每件时装用工2小时和10元的原材料非，售价40元。该公司1月初又4个工人，每人每月可工作200小时，月薪2000元。该公司可于任何一个月初新雇工人，但每雇一人需要一次额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需要补偿1000元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存每件每月5元。当供不应求时，短缺数不需要补上。试帮助该公司决策，如何使6个月的总利润最大。表1—6月份123456需求500600300400500800童心玩具厂下一年度的现金流（万元）如表1—7所示，表中负号所示该月现金流出大于流入，为此该厂需借款。借款有两种方式：一是于上一年末借一年期贷款，一次得全部贷款额，从1月份起每月还息1%，于12月归还本金及最后一次利息；二是得到短期贷款。每月初获得，于月底还，月息％，当该厂有多余现金时，可短期存款，月初存入，月末取出，月息％。问该厂应如何进行贷款操作，即能弥补可能出现得负现金流，又可使年末现金总量最大表1—7月份12 3 4125 67 891011现金流—12—10—8—10—4455—7—21512—7宏银公司承诺为某建设项目从2003年起得4年中每年初分别提供以下数额贷款：2003年——100万元，2004年——150万元，2005年——120万元，2006年一—110万元。以上贷款均于2002年底筹集齐。但为了充分发挥这笔资金得作用，在满足每年贷款额得前提下，可将多于资金分别用于下列投资项目：（1） 于2003年初购买A种债券，期