导数中分类讨论的三种常见类型

PAGEPAGE4导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.1.导函数根的大小比较实例1：求函数，的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数进行求导可以得到导函数，观察可知导函数可以因式分解为，由此可知方程有两个实根，，由于的范围未知，要讨论函数的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分，，三种情况进行讨论：当时，，随的变化情况如下：-1+0_0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.当时，在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，没有单调递减区间.当时，，随的变化情况如下：-1+0_0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于，所以要分，，三种情况，这里注意不能漏了的情况.2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数进行求导可以得到导函数，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式，若即，方程没有实根，即在上恒成立，所以在上单调递增；若即，方程有两个相等的实根，即在上恒成立，所以在上单调递增；若即，则方程有两个不同实根，的对象以及按什么标准进行分类，做到不重复、不遗漏.导数中的分类讨论在历年高考中也是经常出现，主要是在研究函数的单调性、极值与最值中应用比较多.导数问题中分类讨论的方法摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值范围为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题求导令=0求出=0的根作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述例1：若函数（a≥0），求函数的单调区间。解：令=0，即：（注意这里方程的类型需要讨论）作出的图像，由图像可知在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数若由，得<0,>0作出的图像，由图像可知在综上所述：，在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数在例2：(08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间解：令（注意这里根的存在需要讨论）若，即，则若由得，,上为增函数在上为减函数综上所述：时，上为增函数，在上为减函数例3.（2010北京）已知函数()=In(1+)-+(≥0)。求()的单调区间。解：令=0，即：（这里需要对方程的类型讨论）若k=0，则在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数若k≠0,由得，（这里需要对两个根的大小进行讨论）若k=1，则＞０，在（-1,＋∞）上为增函数若，则在或上为增函数在上为减函数若，则在或上为增函数在上为减函数综上所述：若k=0，在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数若，在或上为增函数在上为减函数若k=1，在（-1,＋∞）上为增函数若，在或上为增函数在上为减函数例4.（2009北京理改编）设函数，求函数的单调区间解：令，即（这里需要对方程的类型讨论）若ｋ＝０，则，在Ｒ上为增函数若k≠0则由得，(这里需要对的斜率讨论)若k>0则在上为减函数，在上为增函数若k<0，则在上为增函数，在上为减函数综上所述：若k=0，在Ｒ上为增函数若k>0则在上为减函数，在上为增函数若k<0，则在上为增函数，在上为减函数例5：（海南2011四校联考）若对任意的范围解：令（对方程类型的讨论）若p=0,则若p≠0,由得（对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论）若,符合题意若，不符合题意若，符合题意若，符合题意若，符合题意若，不符合题意若，不符合题意若，不符合题意综上所述：p的取值范围为下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指教。例6：（海南2010理）设函数。若当时，求的取值范围令（此方程是个超越方程，故根的讨论转换成两个函数的交点的问题）