电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答

三章习题解答3.1真空中半径为一个球面，球两极点处罚别设置点电荷和，试计算球赤道平面上电通密度通量(如题3.1图所表示)。赤道平面题3.1图解由点电荷和赤道平面题3.1图则球赤道平面上电通密度通量3.219卢瑟福在试验中使用是半径为球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为电子云，在球心有一正电荷（是原子序数，是质子电荷量），经过试验得到球体内电通量密度表示式为，试证实之。解位于球心正电荷球体内产生电通量密度为原子内电子云电荷体密度为题3.3题3.3图电子云在原子内产生电通量密度则为故原子内总电通量密度为3.3电荷均匀分布于两圆柱面间区域中，体密度为,两圆柱面半径分别为和，轴线相距为，如题3.3图所表示。求空间各部分电场。解因为两圆柱面间电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为小圆柱面内看作同时具备体密度分别为两种电荷分布，这么在半径为整个圆柱体内具备体密度为均匀电荷分布，而在半径为整个圆柱体内则具备体密度为均匀电荷分布，如题3.3图所表示。空间任一点电场是这两种电荷所产生电场叠加。在区域中，由高斯定律，可求得大、小圆柱中正、负电荷在点产生电场分别为题3.3图＝＋题3.3图＝＋在且区域中，同理可求得大、小圆柱中正、负电荷在点产生电场分别为点处总电场为在空腔区域中，大、小圆柱中正、负电荷在点产生电场分别为点处总电场为3.4半径为球中充满密度体电荷，已知电位移分布为其中为常数，试求电荷密度。解：由，有故在区域在区域3.5一个半径为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为为体电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球内部电场为，设球内介质为真空。计算：（1）球内电荷分布；（2）球壳外表面电荷面密度。解（1）由高斯定律微分形式可求得球内电荷体密度为（2）球体内总电量为球内电荷不但在球壳内表面上感应电荷，而且在球壳外表面上还要感应电荷，所以球壳外表面上总电荷为2，故球壳外表面上电荷面密度为3.6两个无限长同轴圆柱半径分别为和，圆柱表面分别带有密度为和面电荷。（1）计算各处电位移；（2）欲使区域内，则和应具备什么关系？解（1）由高斯定理，当初，有当初，有，则当初，有，则（2）令，则得到3.7计算在电场强度电场中把带电量为点电荷从点移到点时电场所做功：（1）沿曲线；（2）沿连接该两点直线。解（1）（2）连接点到点直线方程为即故3.8长度为细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为。（1）计算线电荷平分面上任意点电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点电场，并用查对。解（1）建立如题3.8图所表示坐标系。依照电位积分表示式，线电荷平分面上任意点电位为题3.8题3.8图（2）依照对称性，可得两个对称线电荷元在点电场为故长为线电荷在点电场为由求，有3.9已知无限长均匀线电荷电场，试用定义式求其电位函数。其中为电位参考点。解因为是无限长线电荷，不能将选为无穷远点。3.10一点电荷位于，另一点电荷位于，求空间零电位面。解两个点电荷和在空间产生电位令，则有即故得由此可见，零电位面是一个以点为球心、为半径球面。3.11证实习题3.2电位表示式为解位于球心正电荷在原子外产生电通量密度为电子云在原子外产生电通量密度则为所以原子外电场为零。故原子内电位为3.12电场中有二分之一径为圆柱体，已知柱内外电位函数分别为（1）求圆柱内、外电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成？表面有电荷分布吗？试求之。解（1）由，可得到时，时，（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成，其表面有电荷分布，电荷面密度为3.13验证以下标量函数在它们各自坐标系中满足（1）其中；（2）圆柱坐标；（3）圆柱坐标；（4）球坐标；（5）球坐标。解（1）在直角坐标系中而故（2）在圆柱坐标系中而故（3）故（4）在球坐标系中而故（5）故3.14已知空间中没有电荷，以下几个函数中哪些是可能电位解?（1）；（2）；（3）（4）。解（1）所以函数不是空间中电位解；（2）所以函数是空间中可能电位解；（3）所以函数不是空间中电位解；（4）所以函数不是空间中电位解。3.15中心位于原点，边长为电介质立方体极化强度矢量为。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证实总束缚电荷为零。解（1）同理（2）3.16二分之一径为介质球，介电常数为，其内均匀分布自由电荷，证实中心点电位为解由，可得到时，即，时，即，故中心点电位为3.17一个半径为介质球，介电常数为，球内极化强度，其中为一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外电场和电位分布。解（1）介质球内束缚电荷体密度为在球面上，束缚电荷面密度为（2）因为，所以即由此可得到介质球内自由电荷体密度为总自由电荷量（3）介质球内、外电场强度分别为介质球内、外电位分别为3.18（1）证实不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度表示式。解（1）由，得束缚电荷体密度为在介质内没有自由电荷密度时，，则有因为，有所以由此可见，当电介质不均匀时，可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。（2）束缚电荷密度表示式为3.19两种电介质相对介电常数分别为=2和=3，其分界面为=0平面。假如已知介质1中电场那么对于介质2中和，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点和？解设在介质2中在处，由和，可得于是得到故得到介质2中和在处表示式分别为不能求出介质2中任意点和。因为是非均匀场，介质中任意点电场与边界面上电场是不相同。3.20电场中二分之一径为、介电常数为介质球，已知球内、外电位函数分别为验证球表面边界条件，并计算球表面束缚电荷密度。解在球表面上故有，可见和满足球表面上边界条件。球表面束缚电荷密度为3.21平行板电容器长、宽分别为和，极板间距离为。电容器二分之一厚度()用介电常数为电介质填充，如题3.21图所表示。(1)

板上外加电压，求板上自由电荷面密度、束缚电荷；(2)

若已知板上自由电荷总量为，求此时极板间电压和束缚电荷；(3)

求电容器电容量。解（1）设介质中电场为，空气中电场为。由，有题题3.21图又因为由以上两式解得，故下极板自由电荷面密度为上极板自由电荷面密度为电介质中极化强度故下表面上束缚电荷面密度为上表面上束缚电荷面密度为题3.22图（2题3.22图得到故（3）电容器电容为3.22厚度为、介电常数为无限大介质板，放置于均匀电场中，板与成角，如题3.22图所表示。求：（1）使值；（2）介质板两表面极化电荷密度。解（1）依照静电场边界条件，在介质板表面上有由此得到（2）设介质板中电场为，依照分界面上边界条件，有，即所以介质板左表面束缚电荷面密度介质板右表面束缚电荷面密度3.23在介电常数为无限大均匀介质中，开有以下空腔，求各腔中和：（1）平行于针形空腔；（2）底面垂直于薄盘形空腔；（3）小球形空腔（见第四章4.14题）。解（1）对于平行于针形空腔，依照边界条件，在空腔侧面上，有。故在针形空腔中，（2）对于底面垂直于薄盘形空腔，依照边界条件，在空腔底面上，有。故在薄盘形空腔中，3.24在面积为平行板电容器内填充介电常数作线性改变介质，从一极板处一直改变到另一极板处，试求电容量。解由题意可知，介质介电常数为设平行板电容器极板上带电量分别为，由高斯定理可得所以，两极板电位差故电容量为3.25一体密度为质子束，束内电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部径向电场强度。解在质子束内部，由高斯定理可得故在质子束外部，有故3.26考虑一块电导率不为零电介质，设其介质特征和导电特征都是不均匀。证实当介质中有恒定电流时，体积内将出现自由电荷，体密度为。试问有没有束缚体电荷？若有则深入求出。解对于恒定电流，有，故得到介质中有束缚体电荷，且3.27填充有两层介质同轴电缆，内导体半径为，外导体内半径为，介质分界面半径为。两层介质介电常数为和，电导率为和。设内导体电压为，外导体接地。求：（1）两导体之间电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度电容及漏电阻。解（1）设同轴电缆中单位长度径向电流为，则由，可得电流密度介质中电场因为于是得到故两种介质中电流密度和电场强度分别为（2）由可得，介质1内表面电荷面密度为介质2外表面电荷面密度为两种介质分界面上电荷面密度为（3）同轴线单位长度漏电阻为由静电比拟，可得同轴线单位长度电容为3.28半径为和两个同心理想导体球面间充满了介电常数为、电导率为导电媒质(为常数)。若内导体球面电位为，外导体球面接地。试求：（1）媒质中电荷分布；（2）两个理想导体球面间电阻。解设由内导体流向外导体电流为，因为电流密度成球对称分布，所以电场强度由两导体间电压可得到所以媒质中电荷体密度为媒质内、外表面上电荷面密度分别为（2）两理想导体球面间电阻3.29电导率为无界均匀电介质内，有两个半径分别为和理想导体小球，两球之间距离为，试求两小导体球面间电阻。解此题可采取静电比拟方法求解。假设两小球分别带电荷和，因为两球间距离、，可近似认为小球上电荷均匀分布在球面上。由电荷和电位叠加求出两小球表面电位差，即可求得两小导体球面间电容，再由静电比拟求出两小导体球面间电阻。设两小球分别带电荷和，因为、，可得到两小球表面电位为所以两小导体球面间电容为由静电比拟，得到两小导体球面间电导为故两个小导体球面间电阻为3.30在一块厚度导电板上，由两个半径为和圆弧和夹角为两半径割出一块扇形体，如题3.30图所表示。求：（1）沿厚度方向电阻；（2）两圆弧面之间电阻；沿方向两电极电阻。设导电板电导率为。解（1）设沿厚度方向两电极电压为，则有题3.30题3.30图故得到沿厚度方向电阻为（2）设内外两圆弧面电极之间电流为，则故得到两圆弧面之间电阻为（3）设沿方向两电极电压为，则有因为与无关，所以得到故得到沿方向电阻为3.31圆柱形电容器外导体内半径为，内导体半径为。当外加电压固定时，在一定条件下，求使电容器中最大电场强度取极小值内导体半径值和这个值。解设内导体单位长度带电荷为，由高斯定理可求得圆柱形电容器中电场强度为由内外导体间电压得到由此得到圆柱形电容器中电场强度与电压关系式在圆柱形电容器中，处电场强度最大令正确导数为零，即由此得到故有3.32证实：同轴线单位长度静电储能等于。为单位长度上电荷量，为单位长度上电容。解由高斯定理可求得圆柱形电容器中电场强度为内外导体间电压为则同轴线单位长度电容为同轴线单位长度静电储能为3.33如题3.33图所表示，二分之一径为、带电量导体球，其球心位于两种介质分界面上，此两种介质电容率分别为和，分界面为无限大平面。求：（1）导体球电容；（2）总静电能量。解（1）因为电场沿径向分布，依照边界条件，在两种介质分界面上，故有。因为、，所以。由高斯定理，得到即题3.33图题3.33图导体球电位故导体球电容（2）总静电能量为3.34把一带电量、半径为导体球切成两半，求两半球之间电场力。解先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积电荷受到静电力，然后在半球面上对积分，求出两半球之间电场力。导体球电容为故静电能量为依照虚位移法，导体球表面上单位面积电荷受到静电力方向沿导体球表面外法向，即这里在半球面上对积分，即得到两半球之间静电力为3.35如题3.35图所表示，两平行金属板，板间距离为，竖直地插入在电容率为液体中，两板间加电压，证实液面升高其中为液体质量密度。解设金属板宽度为、高度为。当金属板间液面升高为时，其电容为题3.35题3.35图液体受到竖直向上静电力为而液体所受重力与相平衡，即故得到液面上升高度3.36可变空气电容器，当动片由至电容量由至直线地改变，当动片为角时，求作用于动片上力矩。设动片与定片间电压为。解当动片为角时，电容器电容为此时电容器中静电能量为作用于动片上力矩为3.37平行板电容器电容是，其中是板面积，为间距，忽略边缘效应。题3.