导数计算公式

导数公式基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝eq\f(1,x)；(5)y＝f(x)＝eq\r(x).问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(c－c,Δx)＝0，∴y′＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝0.2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，(5)(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(eq\r(x))′＝(x)′＝eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2\r(x))，∴(xα)′＝αxα－1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin

xf′(x)＝cosxf(x)＝cos

xf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)导数运算法则已知f(x)＝x，g(x)＝eq\f(1,x).问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？问题2：试求Q(x)＝x＋eq\f(1,x)，H(x)＝x－eq\f(1,x)的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋eq\f(1,x＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝Δx＋eq\f(－Δx,xx＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝1－eq\f(1,xx＋Δx)，∴Q′(x)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(Δy,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,xx＋Δx)))＝1－eq\f(1,x2).同理H′(x)＝1＋eq\f(1,x2).问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)3.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)题型一利用导数公式直接求导[例1]求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5).[解](1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10)；y′＝eq\f(1,xln\f(1,2))＝－eq\f(1,xln2)；(4)y′＝(eq\r(4,x3))′＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2，且y0＝f(x0)＝xeq\o\al(3,0)－2x0.所以切线方程为y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)，即y－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)·(1－x0)即2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)，故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x0，y0)．则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，故切线方程为y－y0＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)．又点A(0,16)在切线上，所以16－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(0－x0)，化简得xeq\o\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2，即切点为M(－2，－2)，故切线方程为9x－y＋16＝0.课后练习1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3)；③若y＝eq\f(1,x2)，则y′＝－eq\f(1,x)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq\f(1,2x\r(x)).其中正确的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②错误；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝eq\f(0－x2′,x4)＝eq\f(－2x,x4)＝－2x－3，所以③错误；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝－eq\f(0－x′,x)＝eq\f(\f(1,2)x,x)＝eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2x\r(x))，所以④正确．答案：B2．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinx D．y′＝cosx·sinx解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案：14．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.答案：－65．求下列函数的导数：(1)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(2)y＝eq\f(1＋cosx,x2)；(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．解：(1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).(2)y′＝eq\f(1＋cosx′·x2－1＋cosxx2′,x4)＝eq\f(－xsinx－2cosx－2,x3).(3)法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝(4x