2023年考研数学真题含答案详解

页“://hbwendu/“hbwendu页“://hbwendu/“hbwendu10第102023年全国硕士争论生入学统一考试数学〔一〕试题解析一、选择题:1 8小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在指定位置上.fx在f(x)的图形如下图，则曲线yf(x)的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3〔C〕0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f(x)的图形可得，yf(x存在两个拐点.应选〔C〕.

1e2x

(x )exyaybycex的一12 31个特解，则( )(A) a3,b2,c1(B) a3,b2,c1(C)a3,b2,c1(D) a3,b2,c1〔A〕——解来确定微分方程.1 1e2x ex

yayby02

、 为二阶常系数齐次微分方程3

的解，2,1为特征方程r2arb0的根，从而a(12)3，b122，从而原方y3y2ycexyxex代入得c1.应选〔A〕假设级数an

条件收敛，则x

与x3依次为幂级数3n13

na(x1)n的( )n收敛点，收敛点收敛点，发散点发散点，收敛点发散点，发散点〔B〕【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】由于an

条件收敛，即x2为幂级数n1

a(x1)n的条件收敛点，所以nn1

a(x1)n1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不转变收敛区间，故nna(x1n的收敛区间还是(0,2).因而x3n3

与x3依次为幂级数

na(x1)n的nn1 n1收敛点，发散点.应选〔B〕.设D是第一象限由曲线2xy1，4xy1与直线yx，y 3x围成的平面区域，函数fx,y在D上连续，则 fx,ydxdy ( )D(A)

1

frcos,rsinrdr3 1 34 2sin2(B)

334

11

frcos,rsinrdrd1

frcos,rsindr(C) 4

12sin2(D)

334

11

frcos,rsindryo〔Byo【分析】此题考察将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，

f(x,

y)dxdy

33

11

f(rcos,rsin)rdr，D 4应选〔B〕1 1 1

2sin2x1 设矩阵A1 2

1 4 a2 无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) a,d(B) a,d(C)a,d(D) a,d【答案】(D)

1 1

1 1 1 1 1 【解析】(A,b)1 2 a d0 1 a1 d1 1 4 a2 d2 0 0 (a1)(a2) (d1)(d2) ，rA)rAb3，故a1或a2，同时d1或d2.应选〔D〕设二次型fx,x,x在正交变换为xPy 下的标准形为2y2y2y2

1 2 3 1 2 3

，假设Qeee

fxxx

xQy下的标准形为1 2 3( )

1 3 2

1 2 3(A) 2y2y2y21 2 3(B) 2y2y2y21 2 3(C)2y2y2y21 2 3(D) 2y2y2y21 2 3【答案】(A)xPyfxTAxyT(PTAPy2y2y2y2.2 0 0

1 2 3且PTAP0 1 0 0 0 1 0 0由可得:QP0 0 1PC 0 1 0 2 0 0 故有QTAQCT(PTAP)C0 1 0 0 0 1 fxTAxyT(QTAQy2y2y2y2.选〔A〕1 2 3假设A,B为任意两个随机大事，则 ( )(A) PABPAPB (B) PABPAPB(C)

PAB

PAPB2

(D)

PAB

PAPB2【答案】(C)ABAABB，按概率的根本性质，我们有PABPA)且PAB)P(B)PAB)

PAP(B)，选(C).P(P(A)P(B)设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY,DX3，则EXXY2( )(A) 3 (B)3 (C)5 (D)5【答案】(D)EXXY2)]EX2XY2X)EX2EXY2EX)D(X)E2(X)E(X)E(Y)2E(X)32221225，选(D).二、填空题：9 14小题,每题4分,共24分.请将答案写在指定位置上.limlncosx .x0 x2【答案】120【分析】此题考察0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.sinxlimln(cosx)

limcosx limtanx1.x0 x2

x0 2x

x0

2x 21limln(cosx)limln(1cosx1)limcosx1lim

x22

1.x0 x2

x0 x2

x0 x2

x0

x2 2

sinx2( 1cosx2

.2【答案】4. sin

xdx2

xdx2.【解析】

2 21cosx 0 42zzxy由方程exxyzxcosx2确定，则dz【答案】dx【分析】此题考察隐函数求导.F(x,yzezxyzxcosx2，则F(x,y,z)yz1sinx,Fxz,F(x,y,z)ezxy

.(0,1)x y zx0,y1时ez1z0.zxzx所以 x

1,z

F(0,1,0)

0，因而dz

dx.(0,1)

F(0,1,0) y(0,1)z

F(0,1,0) (0,1)z设xyz1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 (x2y3z)dxdydz .1【答案】4.【解析】由轮换对称性，得(x2y3z)dxdydz6zdxdydz61zdzdxdy，0 DzDz

zz截空间区域1(1z)2.所以2(x2y3z)dxdydz6zdxdydz61z1(1z)2dz31(z32z2z)dz1.0 2 0 4 200220021202(13) n阶行列式00220012【答案】2n12【解析】按第一行开放得2 0 0 21 2 D n

22Dn1

(1)n12(1)n12D 2n1002(2Dn2

0 2 20 1 22)222Dn2

2222n2n122n12(14)设二维随机变量xy听从正态分布N(1,0;1,1,0)，则P{XYY0} .1【答案】2X~N(1,1),Y~N(0,1)X、Y相互独立，从而P{XYY0}P{(X1)Y0}P{X10,Y0}P{X10,Y0}P{X1}P{Y0}P{X1}P{Y0}

1111

1.2 2 2 2 2三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在指定位置上.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)此题总分值10分)设函数fxxaln(x)bxsinxg(x)kx3fgxx0是等价无穷小，求abk的值.

x与1 1【答案】a1,b ,k .2【解析】法一：原式limx0

3xaln1xbxsinx1kx3 x2 x3

x3

xax

o x32 3

bxx6o x3 lim 1x0 kx31axbax2ax3bx4ox3 2 3 6lim 1x0即1a0,ba

0,a

kx312 3ka1,b1,k12 3lim

xaln1xbxsinx1x0 kx31 a bsinxbxcosxlim 1x 1x0 3kx20，则a1x0

11x

2bcosxbxsinx6kx

10b12 22bsinxbsinxbxcosxlimx0

1x36k

1，k13a1,b1,k12 3(16)(10分)fx在定义域Ix0

y=fx在点xfxxxx4，且0 0 0f02fx的表达式.【答案】f(x) 8.4xfx在点x0

,fx0

yfx0

fx0

0fx令y0，得到x 0x，fx 01

1

fx故由题意， f2程，

x xx0 0

4，即 f020

x f

0 4，可以转化为一阶微分方x0

y2 1，可分别变量得到通解为：

1xC，8 y 8y02，得到C

1 ，因此

1x1；fx

8x4.

2 y 8 2(17)(10分)函数fx,yxyxy曲线C：x2y2xy3求fx,y C上的最大方向导数.【答案】3【解析】由于fx,y沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.f”x,y1y,fx

”x,y1x，1y21x2gradfx,y11y21x2

11y21x2在约束条件Cx2y2xy3下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简洁，可以转化为对d(x,y)1y21x2在约束条件Cx2y2xy3下的最大值.构造函数：Fx,y,1y21x2x2y2xy3F21x2xy0x

F21y

0M

2,1,M

1,2 . y 1 2 3 4Fx2y2xy30dM1

8,dM2

0,dM3

9,dM4

99所以最大值为9

3.(18)(此题总分值10分)设函数u(x),v(xx设函数u

(x),u

(x),,u

(xf(xu(x)u(x)u(x)，写出f(x)1 2 n的求导公式.

1 2 n〔I〕[u(x)v(x)]limu(xh)v(xhu(x)v(x)h0 hlimu(xh)v(xh)u(xh)v(x)u(xh)v(x)u(x)v(x)h0 hlimu(xh)v(xh)v(x)limu(xh)u(x)v(x)h0

h h0 hu(x)v(x)u(x)v(x)〔II〕由题意得f(x)[u1

(x)u2

(x) un

(x)]u(x)u1

(x) un

(x)u1

(x)u

(x) u2

(x) u1

(x)u2

(x)u

(x)n(19)(此题总分值10分)z 2x2y2,

曲线L的方程为 起点为A0, 2,0 ，终点为B0, 2,0 ，zx,I

yzxz2x2yy(x2y2)z.L2【答案】 π22

xcos【解析】由题意假设参数方程y

sin，:π

π2zcos 2 2222π[22

sincos)sin2sincos(1sin2)sin]dπ22π2

2sin2sincos(1sin2)sind2π22

2sin2d π2π0 22π(20)(11分),设向量组α α,α,1 2 3

内R3β1

=2α1

+2kα3

，β=2α2

，β=α3

+k+1α.3证明向量组1 2

为R3的一个基;3k0ξ在基α

, 2

与基

下的坐标一样，并ξ.【答案】【解析】(I)证明：

1 3 1 2 3,,1 2

1

+2k3

2

,+k11 32 0 1 00,, 2 001 2 32k 0 k12 0 10 2 0 222k 0 k1

1k1

40

为R3的一个基.1 2 3〔II〕由题意知，

k1

k2

k3

k1

k2

k3

,0k1 1

k1 2

k2 3

0,3

ik21

+2k3

k1

22

k2

1

031

+2k3

k2

k2

1

0有非零解+2k,1 3

,+k 01 3即0100，得k=02k0k1 2 3 1C1 2 311 2 3 1 2 3 10 1kk10 1kkk0k 0,kk 01 12 23 1kk,k01 1 1 3 1(21)(11分)2 1 3A1012323B=031a02b300.1(I) ab的值；〔II〕PP1AP为对角矩阵..【解析】(I) A~Btr(A)tr(B)3a1b10AB112323130a02 0b 03 1ab1a42ab3b5(II)A10232310 13301 3 0 010011 1 2223EC 31 2

0,430时(0EC)x0的根底解系为1

(2,1,0)T;2

(3,0,1)T5时(4EC)x0的根底解系为 3A的特征值A

1C

:1,1,5P,

2 3 1,)1 0 1，1 2 3 0 1 1 P1AP 1 5 5 (11分)Xf

x

2xln2,x0,0, x0.对X 进展独立重复的观测,直到2个大于3的观测值消灭的停顿.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;(II)EY【解析】(I)p3pPX3)3

2xln2dx ，1811 7从而P{Yn}C1 p(1p)n2p(n1)( )2( )n2，n2,3,n1 8 8为Y的概率分布；(II)法一:分解法:将随机变量Y分解成Y=MN两个过程,其中M表示从1到n(nk次试验观测值大于3N表示从n1k试验观测值大于3首次发生.M~Ge(n,pNGe(kn,p(注：Ge表示几何分布)1 1 2 2E(Y)E(MN)E(M)E(N)所以法二:直接计算