抽样误差区间估计统计学

抽样误差区间估计统计学第一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六Review:□统计资料的整理与描述□频数分布和描述集中位置的指标□描述离散趋势的指标□正态分布的特征及曲线的面积规律□标准正态分布□正态分布的应用第二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六4.1抽样误差和抽样分布SamplingErrorandSamplingDistribution第三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六主要内容□抽样误差抽样误差的重要性抽样误差的定义抽样误差的规律性□标准误标准误的定义标准误的计算标准误的意义标准误的作用□

t分布t分布的演化t分布的图形t分布的性质第四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六抽样误差的重要性既然有误差，为什么还要抽样？□无限总体的客观存在□试验研究的成本效益问题（costeffect)第五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六总体同质个体、个体变异总体参数未知样本代表性、抽样误差随机抽样样本统计量已知统计推断风险抽样误差的重要性第六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六

抽样误差的定义假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了五次。μ＝119.41cmσ=4.38cm第七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六抽样误差的定义五次抽样得到了不同的结果，原因何在？个体变异随机抽样不同男童的身高不同每次抽到的人几乎不同抽样误差第八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六抽样误差的定义【定义】由于个体变异的存在，在抽样研究中产生样本统计量和总体参数之间的差异，称为抽样误差（samplingerror）。各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为研究对象第九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六抽样误差的表现抽样误差的表现样本均数和总体均数间的差别样本均数和样本均数间的差别第十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六抽样误差□只要有个体变异和随机抽样研究，抽样误差就是不可避免的。□抽样误差有自己的客观规律，统计学就是拨开抽样误差之雾来洞察客观规律的利器。第十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六抽样误差的规律性

既然抽样误差是有规律的，那么到底它的分布规律到底是怎样的？

第十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六□从正态总体中随机抽样，其样本均数服从正态分布;□从任意总体中随机抽样，当样本含量足够大时，其样本均数的分布逐渐逼近正态分布；□样本均数之均数的位置始终在总体均数的附近；□随着样本含量的增加，样本均数的离散程度越来越小，表现为样本均数的分布范围越来越窄，其高峰越来越尖。中心极限定理（centrallimittheorem)的表现第十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六第十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六第十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六标准误的定义□样本统计量（如均数）也服从一定的分布；□与描述观测值离散趋势的指标类似，我们使用样本统计量的标准差来衡量抽样误差的大小。又称标准误(standarderror,SE)。□所以样本均数的标准差，称为均数的标准误第十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六标准误的计算□计算公式为其中，σ为总体标准差，n为抽样的样本例数□在研究工作时，由于总体标准差常常未知，可以利用样本标准差近似估计第十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六标准误的计算【例9】根据7岁男童的身高资料，在已知总体标准差时，标准误为4.38/10=0.438cm而若以第一次抽样的样本标准差来代替总体标准差，则标准误为4.45/10=0.445cm第十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六标准误的意义□反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的离散程度，体现了抽样误差的大小。□标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估计总体参数越不可靠。反之亦然。□标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。第十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六标准误的作用标准误的用途□衡量样本统计量代表总体参数的可靠性；□估计总体参数的可信区间；□进行假设检验。第二十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六标准误、标准差的区别和联系第二十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六区别1、意义上标准差描述个体值之间的变异，即观察值之间的离散程度；而标准误是描述统计量的抽样误差，即样本统计量和总体参数的接近程度；第二十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六2、用途上标准差常用于表现观察值的波动范围；标准误常表示抽样误差的大小，估计总体参数的可信区间。第二十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六3、标准差、标准误与样本含量标准差是随着样本含量的增多，逐渐趋于稳定。标准误是随着样本含量的增多，逐渐减少。第二十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六联系首先，标准差和标准误都是变异指标，说明个体之间的变异用标准差，说明统计量之间的变异用标准误。其次，当样本含量不变时，标准差大，标准误亦越大，均数的标准误与标准差成正比。第二十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六样本均数的抽样分布规律中心极限定理从均数为μ，标准差为σ的正态总体中随机抽样，样本均数服从均数为μ，标准差为的正态分布。从均数为μ，标准差为σ的任意总体中随机抽样，当样本含量足够大时，样本均数近似服从均数为μ，标准差为的正态分布。第二十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六t分布的演化根据中心极限定理的内容，当样本含量足够大时，对从均数为μ，标准差为σ的任意总体中随机抽样所得的样本均数进行标准化变换，有第二十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六□由于总体标准差往往是未知的，此时往往用样本标准差代替总体标准差，

这里，ν为自由度（degreeoffreedom,df)，取值为n-1，□由W.S.Gosset提出。t分布的演化第二十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六

f(t)

=∞(标准正态曲线)

=5

=10.10.2-4-3-2-1012340.3自由度分别为1、5、∞时

t分布的图形第二十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六t分布的性质□t分布为一簇单峰分布曲线，以0为中心，左右对称。□分布的高峰位置比u分布低，尾部高。即相同的尾部面积对应的界值，比u分布大。例如:P=0.05,u=1.64,而自由度为10的t分布界值，t=1.812。□t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布。□每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。第三十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六t界值表每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律，这个规律可见于t界值表。表上的阴影部分，表示t,以外的尾部面积占总面积的百分数，即概率P。表中数据表示与确定时相应的t界值（criticalvalue），常记为t,。第三十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六例如，当=10，单尾概率=0.05时，查表得单尾t0.05，10=1.812，表明，按t分布的规律，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等于1.812的概率为0.05，或者小于等于-1.812的概率亦为0.05，可表示为：P(t≤-1.812)=0.05或P(t≥1.812)=0.05第三十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六例如，当=10，双尾概率=0.05时，查表得双尾t0.05,10＝2.228，表明，按t分布的规律，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等于2.228的概率为0.025，小于等于-2.228的概率亦为0.025。可表示为：P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)＝0.05或：P(-2.228<t<2.228)=1-0.05=0.95。第三十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六从t分布图不难看出：①在相同自由度时∣t∣值越大，概率P越小；②在相同t值时，双尾概率P为单尾概率P的两倍。如双尾t0.10，10=单尾t0.05，10=1.812。第三十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六t界值表单侧：P(t<=-tα,ν)=α或

P(t>=tα,ν)=α双侧：

P(t<=-tα,ν)+P(t>=tα,ν)=α

即:P(-tα,ν<t<tα,ν)=1-α【例10】查t界值表得t值表达式

t0.05,10=2.228(双侧）

t0.05,10=1.812(单侧）-tt0第三十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六小结□抽样误差的定义和表现□抽样误差的规律：中心极限定理□标准误的定义及其意义□t分布的演化、图形、特征及意义第三十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六4.2区间估计和可信区间IntervalEstimationandConfidenceInterval第三十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六主要内容□统计推断□点估计□区间估计区间估计的实质可信区间的定义总体均数可信区间的计算□正确理解可信区间的含义第三十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六统计推断所谓统计推断(statisticalinference)，是指如何抽样，以及如何用样本性质推断总体特征。

参数估计(parameterestimation)

假设检验(hypothesistesting)第三十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六统计推断的思路总体个体、个体变异总体参数未知样本代表性、抽样误差随机抽样样本统计量已知统计推断风险第四十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六参数估计

□点估计（PointEstimation)Touseanumbertoestimatetheparameter.□区间估计(IntervalEstimation)Toobtainarangesoastoincludetheparameter.第四十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六(1)点估计用样本统计量作为总体参数的估计例如：用样本均数作为总体均数的一个估计第四十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六点估计的缺陷μ=?cmσ=?cmx1,x2,x3,x4……

N

=143.3747S=5.2347x1,x2,x3…x10

=144.0681S=4.7245x1,x2,x3…x10

=142.7203S=9.2473x1,x2,x3…x10样本含量n=10第四十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六点估计的缺陷第四十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六（2）区间估计例11：为了解某地1岁婴儿的血红蛋白浓度，从该地区随机抽取25名1岁婴儿，测得其血红蛋白均数=123.7(g/L)

标准差=11.9(g/L)

试估计该地区1岁婴儿的平均血红蛋白浓度。第四十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六可信区间的定义按一定的概率(1-α)用一个区间来估计总体参数所在的范围，该范围通常称为参数的可信区间或置信区间(confidenceinterval，CI),预先给定的概率(1-α)称为可信度或者置信度(confidencelevel),常取95%或99%。可信区间(CL,CU)是一开区间，

CL、CU

称为可信限第四十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六理论基础：t

值的分布均数的抽样分布-2.06402.064v＝24第四十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六区间估计：第四十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六（3）可信区间(confidenceinterval)：□区间(118.79,128.61)包含了总体均数，其信度为95%。□可信度(confidencelevel):95%.□结论：该地区1岁婴儿的平均血红蛋白浓度为118.79~128.61(g/L)(可信度为95%)。

或：该地区1岁婴儿的平均血红蛋白浓度的95%可信区间为118.79~128.61(g/L)。第四十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六可信区间的两个要素准确性要求小，可信度大精确性要求大，区间窄可信区间的长度受制于个体变异和样本含量：个体变异越大，区间越宽；样本含量越小，区间越宽第五十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六可信区间估计的理论基础：均数的抽样分布-t/2,v0t/2,v

1-/2/2第五十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六（4）总体均数可信区间的计算□总体标准差已知时均数的95%可信区间□总体标准差未知时均数的95%可信区间第五十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六总体标准差已知时均数的95%可信区间的估计2.5%2.5%95%第五十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六总体标准差已知时均数的95%可信区间的估计对于以总体均数为中心的曲线下95%面积所对应的区间内的任意一个，相应的区间

一定包含总体均数µ。第五十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六总体标准差已知时均数的95%可信区间的估计在总体中抽样，样本均数的u变换值有95%可能性落在(-1.96,1.96)之间在总体中抽样，样本均数所计算的区间有95%可能性包括总体均数第五十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六总体标准差未知时均数的95%可信区间样本含量较大时，样本标准差逼近总体标准差第五十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六总体标准差未知时均数的95%可信区间-t/2,v0t/2,v

1-/2/2第五十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六例12三种情形之下的计算

从该地区随机抽取25名1岁婴儿，测得其血红蛋白均数123.7(g/L)，根据文献已知该地血红蛋白总体标准差12.1(g/L)；

从该地区随机抽取250名1岁婴儿，测得其血红蛋白均数123.7(g/L)，样本标准差11.9(g/L)；

从该地区随机抽取25名1岁婴儿，测得其血红蛋白均数123.7(g/L)，样本标准差11.9(g/L)；试估计该地区1岁婴儿的平均血红蛋白浓度。第五十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六（5）正确理解可信区间□可信度为95%的CI的涵义：

每100个样本，按同样方法计算95%的CI，平均有95%的CI包含了总体参数。□这里的95%,指的是方法本身！而不是某个区间！□总体参数虽未知，但却是固定的值，而不是随机变量值。第五十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六95%可信区间的含义-2-101