结晶学第三章 晶体的宏观对称

第三章

晶体的宏观对称

在通过测角、投影恢复出来的晶体理想外形上，最突出的特性就是其几何多面体的宏观对称性。一、对称的概念二、晶体对称的特点三、晶体的宏观对称要素和对称操作四、对称要素的组合五、对称型及其推导六、晶体的分类七、五次对称轴、二十面体与准晶一、对称的概念

对称就是物体或图形中，相同部分之间有规律的重复。每重复一次，整个物体或图形复原一次。

对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和更广泛的含义：变换中的不变性；建造大自然的密码；审美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。二、晶体对称的特点1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的。2）晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。由以上可见：格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。3三、晶体的宏观对称要素对称操作

对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。对称要素：在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素（点、线、面）。晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下。1.对称面2.对称轴3.对称中心4.旋转反伸轴1.对称面—P:假想平面(1)对称操作:对于此平面的反映，并把晶体平分为互为镜像反映的两个相等部分。(2)对称面的判断：如果垂直于对称面作任意直线，则在此直线上，位于对称面的两侧，且距对称面等距离的地方，必定可找到性质完全相同的对应点。(示意图)(立方体的对称面)(3)对称面可能存在的位置：通过晶体的几何中心，垂直并平分晶面；垂直晶棱并通过它的中点；包含晶棱。(示意图)

(4)晶体对称面的表示：数目＋符号（P）。

注意：晶体中可以没有P,也可能存在一个或几个P.62.对称轴—Ln:假想直线(1)对称操作：围绕此直线的旋转，每转一定角度，相同部分发生一次重复（整个物体复原一次）。

(2)相关概念：n代表轴次，意指旋转360度相同部分重复的次数。使物体复原所需的最小转角称基转角

，关系为：n=360/

。7晶体的对称定律：

由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n=1，2，3，4，6这五种，不可能出现n=5，n〉6的情况。为什么呢？a、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。b、数学的证明方法：t’=mtt’=2tsin(-90)+t=-2tcos+t所以，mt=-2tcos+t2cos=1-m

cos=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相应的＝0或360，60,90，120,180。对应的轴次为1，6，4，3，2。（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）tt’tt12349(3)表示方法：先写高次轴，后写低次轴；同一种对称轴的数目写在对称轴符号前面。

(4)对称轴可能出露的位置：通过晶体的几何中心，并且为某二角顶的联线，或某二平行晶面中心的联线，或某二晶棱中点的联线；如晶体无对称中心时，则还可能是某一晶面的中心、晶棱中点及角顶三者中任意二者之间的联线。

(示意图)(立方体的对称轴)

注意：1)同一方向同时出现高次轴和低次轴，只写高次轴。2)晶体中可有一种或几种对称轴。3)每一种对称轴可有一个或同时存在多个。4)晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴(对称定律)。

103.对称中心—C:假想点(1)对称操作：对于此点的反伸或倒反(相当于一个照相机镜头)。(2)对称中心的判断：通过晶体中心作一任意直线时，在直线上位于中心的两侧，且距中心等距离的两点，必为性质完全相同的对应点。总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。(图)(3)对称中心只可能在晶体中心，只可能有一个。

Li1=C

Li2=P

Li3=L3C

Li4

Li6=L3P4.旋转反伸轴–Lin:复合对称要素(1)辅助几何要素：一根假想的直线和此直线上的一个定点。(2)对称操作：旋转+反伸，围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的反伸。（四方四面体模型）

12注意：无论是先旋转后反伸，或是先反伸后旋转，两者的效果完全相同，但都是在两个操作连续完成以后而使晶体复原。所以一般来说，一个旋转反伸轴并不等于一个对称轴与对称中心两者的联合。(3)表示方法：旋转反伸轴以i表示，轴次n为1、2、3、4、6。相应的基转角为360°、180°、120°、90°、60°。

13(4)对称要素之间的等效关系：如果某一对称要素E1所施行的对称变换，能由另一对称要素E2的对称变换来代替（或由另二对称要素E3和E4的联合变换来代替），且最后能使物体（或图形）达到完全相同的复原效果时，则称E1与E2等效（E1＝E2）或与E3和E4等效（E1＝E3+E4）。除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间等效关系如下：

Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，

Li6=L3+P14但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4

和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4

不能被代替，Li6在晶体对称分类中有特殊意义。

Li1=C

Li2=P

Li3=L3+C

Li4

Li6=L3+P15但是在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误认为L2。因为在Li4内总是包含着一个与它重合的L2

，当连续施行两次Li4的操作，即旋转90°-反伸（第一次复原）接着再旋转90°-反伸（第二次复原）的过程中，等于又回到了未进行操作时的状态，所以两次Li4的操作，相当于单纯地旋转180°，即L2的操作。但我们不能用L2代替Li4

，就像我们不能用L2代替L4一样。因为L4高于L2

，Li4也高于L2

。在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。16没有C，有L2时，则此L2可能是一个Li4

，若确定为Li4

，则此L2将被包含在Li4内而不再独立存在。没有C，有L3时，且垂直L3还有一个P时，则在此L3的方向上肯定有一个Li6存在，而且由Li6可完全取代此L3+P的联合。独立的Li4和Li6出现的可能情况17对称要素对称轴对称中心对称面旋转反伸轴一次二次三次四次六次三次四次六次辅助几何要素直线点平面直线和直线上的定点对称操作围绕直线的旋转对点的反伸对平面的反映围绕直线的旋转及对于定点的反伸基转角(度)36018012090601209060习惯符号L1L2L3L4L6CPLi3Li4Li6国际符号123461m346等效对称要素Li1Li2

L3+CL3+P图示黑点或小圆圈粗线或双线宏观对称要素小结18四、对称要素的组合例如：L44L25PCL66L27PCL33L23PC从上面的结果可以看出什么规律？◆当对称要素共存时，它们的空间分布必须符合整体的对称关系，也可导出新的对称要素；◆对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律（对称要素进行组合时所遵循的普遍规律）。19对称要素组合定理定理1：LnL2LnnL2

(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半360/2n)(×表示组合关系，右下标代表该对称要素与前一对称要素的空间关系，等号表示等效关系，写在箭头后的是该组合所导致出现的全部对称要素。)(图)逆定理：

L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角θ的两倍，即n=360/2θ。并导出其它n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:两个L2相交30°，交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?20定理2：LnPLnP

C(n为偶数))(图)逆定理：

LnCLnP

C(n为偶数)PCLnPC(n为偶数)

这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。因为偶次轴包含L2。21定理3：Ln

P//LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半360/2n

）；(图)逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P夹角θ的两倍，即n=360/2θ

，并导出其它n个包含Ln的P。（定理3与定理2对应）思考：两个对称面相交60°，交线处会产生什么对称轴?22定理4：LinP//=LinL2

Linn/2L2n/2P//

（n为偶数）

(图)LinnL2nP//（n为奇数）(图)逆定理：如有一L2与P斜交，P的法线与L2的交角为θ，则平行P且垂直于L2的直线必为Lin

，n=360/2θ

。23定理5：如有两个对称轴相交，则过两者之交点必有另一个对称轴存在。定理6：在结晶多面体上的所有对称要素必有一共同点。24五、32个对称型（点群）及其推导

晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。表示方法：先写高次轴，再写低次轴，然后写对称面，最后写对称中心。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？

A类对称型（高次轴不多于一个）的推导1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6

。2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据对称要素组合定理1LnL2→LnnL2，可能的对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2。如果L2与Ln斜交有可能出现多于一个的高次轴，这时就不属于A类对称型了。3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合定理2Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合定理3Ln

P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2，即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥

L2

=LnnL2(n+1)P（C）（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生），可能的对称型为：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。

(定理1、2、3)286）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。根据组合定理4，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。这样推导出来的对称型共有27个，见表Ⅰ-4-3。还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。请同学们将表Ⅰ-4-3中空格的内容填上，空格中的内容与表中其他内容是重复的。Ln20LnnL2LnP⊥(C)LnnP∥LnnL2(n+1)P(C)LinLinnL2nPLinn/2L2n/2PL1Li1=

CL23L2L2PCL22P3L23PCLi2=

PL3L33L2L33PLi3=L3

CL33L23PCL4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22PL6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi63L23P=L33L24P30六、晶体的对称分类1、晶族、晶系、晶类的划分，见表Ⅰ-4-4。

这个表非常重要，一定要熟记。晶类：按对称型进行归类时所划分成的晶体类别。有32种对称型，则有32晶类。通常都将对称型和晶类视为同义词。具体分类方法：根据有否高次轴以及有一个或多个高次轴，分为低、中、高级三个晶族，所以晶族是晶体分类中的第一级对称类别。31

晶族之下的对称类别是晶系，根据对称轴或旋转反伸轴轴次的高低及数目的多少来划分。低级晶族：根据L2或P的多少分成三个晶系。中级晶族：根据唯一高次轴的轴次分成三个晶系。高级晶族不再进一步分类，总称为等轴晶系。晶系是最常用的对称级别，7个晶系分属三个晶族，每个晶系又包含了若干个对称型。所以对称型是晶体宏观对称分类中的基本单元，对称程度均从上而下增高。晶体在各晶系中的分布很不均匀，就矿物晶体而言，所属晶体种数最多的三个晶系依次为单斜、斜方和等轴。晶类(对称型)晶族晶系对称型3232个对称型见表Ⅰ-4-4

3334其它分类方法劳厄对称型：具有对称中心。对映对称型：只具有对称轴。异极对称型：不具有对称中心。在晶体中可找到至少一个的极轴（晶体中不能借助于对称要素的作用而使两端相互重合的几何轴线），显然，极轴的两端既然不能相互对称重复，它们的性质必定也是不同的。举例：β-石英，L33L2，(图)每一个L2的方向，都是极轴方向，由于极轴两端不对称，在机械力作用下，极轴上可以出现异号电荷—压电材料。352.对称型的国际符号在以上的叙述中，都是用习惯符号标记对称要素，并以对称要素总和的形式来代表对称型，这种表示方法虽然能使全部对称要素一目了然，但不能反映出对称要素之间的空间组合关系。在文献中，一般采用对称型的国际符号或圣弗利斯符号来表示。国际符号的有关规定：(其中的N代表1,2,3,4,6)N—单独一个Ln；N—单独一个Lin；N/m

－Ln和垂直它的P的组合；36N22或N2—Ln和垂直它的L2的组合；Nmm或Nm—Ln和包含它的P的组合，其中对称型m是N=1时的特殊情况，当N＝2时则特别写为mm2；N2m

或Nm2

－Lin和包含它的P以及垂直它的L2的组合；N/mmm－Ln和包含它的P以及垂直它的P的组合；X3Y或Y3

－X代表4、4