考研专业课流力第四章

§4-4动量方程及其应用在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。一、稳定流动量方程从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化等于作用于该物体上外力的总和。由于流动为稳定流动，所以时间的下标可去掉，则22图4－15

控制体及系统

IIIIIIv1

v2

111122如图示是一个稳定流动。首先选取

所围成的空间为控制体，取t时刻占据控制体的流体为系统，经过时间dt间隔后，控制体不动，而系统移动到新的位置

，构成了图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个空间区域。在此过程中，系统动量的变化值为这就是一元稳定流动的动量方程。两端同除以dt得（1）由动量定理得为流入控制体内的流体所具有的动量，而为流出控制体的动量，并考虑到稳定流动的连续性方程，则有物理意义：作用在控制体上的合力等于单位时间内流出与流入控制体的动量差。式（1）的分量形式为（2）作用在控制体上的合外力如下图示：首先，控制体外流体或固体壁面作用在控制体上的表面力：在控制体进出口截面上的和；在控制体侧表面上有压力的合力P及粘性力的合力T，这两个力比较复杂，在大多数情况下是未知量，常用R=P+T来表示作用在控制体侧表面上的合力，即通过控制体侧表面作用在控制体内流体上的合力。图4－16

控制体受力分析

Fb=mfp1A1

p2A2

n1

n2

P=∫pdA

T=v1所以式（1）中合力为把上式代入（1），得或（3）（4）其次，作用于控制体内流体的质量力一般为重力。①R为壁管对管内流体的作用力，根据牛顿第三定律可

知，F和R是一对作用力和反作用力，即：F=-R。②式（1）和（5）仅适用于只有一个进出口的控制体。考虑到及，上式可写成（5）质量力通常为已知力或忽略不计。引入冲量上式变为强调：对于有多个进出口的控制体，可依据动量方程物理意义将其推广得到及（7）（6）注意正负号稳定流动的动量方程的特点：①在计算过程中只涉及控制面上的运动要素，而不必考虑控制体内部的流动状态。②作用力与流速都是矢量，动量也是矢量，故动量方程是一个矢量方程。二、动量方程的应用

应用动量方程应注意：1.合理选用控制体，正好包含需要确定流体作用力的边界，上下游断面选取在缓变流区域以便计算压力；2.方程中应包含作用于控制体的一切外力，两断面上的压力、边界上的力不要遗漏，但不包括惯性力。3.注意正负号（Q,v），对于Q而言，流出为正，流入为负；对于v而言，与坐标轴方向相同为正，相反为负；4.动量方程是矢量式，应写成分量形式，对未知力可假设其方向，如果结果为正，说明原假设的方向正确，如果结果为负，则作用力的方向与原假设方向相反。5.一般要联立连续性方程和伯努利方程求解。1．流体作用于弯管的力一变直径弯管，轴线位于同一水平面，转角，直径由变为，在流量时，压强，求水流对AB段弯管的作用力。不计弯断的水头损失。解：取控制体为弯管AB内的空间，坐标系如图所示，设R为弯管AB对控制体内流体的作用力。采用动量方程的投影式即：水流对弯管的作用力F的大小将、、值代入式（1）和（2），得F与x轴的夹角2．射流对固体壁面的冲击力

一股均匀射流正面冲击如右图所示固体壁面，由于控制体内的流程很短，水流阻力较其他外力很微小，可忽略不计。因此可认为：（1）控制体内液流的能量损失（2）水平射流与壁面在接触后，射流只是改变方向，不改变大小；（3）由于壁面的对称性，水平射流的反作用力R平行于射流方向。图4－19QvQ/2vQ/2vθθF=-Rx例4-6

试求图示的射流对挡板的作用力。解：设水平射流的流量为Q，因曲面对称且正迎着射流，则两股流量可认为相等，都为Q/2，x方向动量方程为例4－6图（a）

QvQ/2vQ/2vθθF=-Rx所以,射流对壁面的作用力为射流冲击力的分析是冲击式水轮机转动的理论基础。从上式可知：

当时，当时，曲面所受冲击力最大，如例4－6图（b）所示。例4－6图(b)

QvQ/2vQ/2vF=-R射流对壁面的作用力为例4－7图

Q0，v0Q1，v0Q2，v0θF=-Rxyo解：设射流的初始速度为v0，因为壁面光滑，水平射流的速度只改变方向不改变大小；

光滑壁面对射流的反力R垂直于壁面，合外力在x方向上为0，列x方向的动量方程可得例4－7

流量为

的水平射流，冲击铅直放置并与之成θ角的光滑平面壁，冲击后液流分散，设液流的密度为ρ。求：（1）流量

与

之分配；（2）若测得来流的直径为

，射流对平面壁的冲力F是多少？联立上两式可解出列y方向的动量方程式由连续性方程例4-8水射流v的速度从喷嘴射出，垂直冲击到一块平板上，该平板以速度沿射流的方向运动，射流的横截面积为A，直径，流量，求射流对平板的作用力及功率。解：坐标系xoy：固定在运动的平板上，x方向取水平方向。

控制体：断面1和断面2（柱面）之间流体所占空间，在该动坐标系中位置固定不变。在动坐标系中，流动可看成无穷远处均匀来流冲击在平板上的流动，是恒定的。因此，动量方程成立的条件（惯性力和恒定流）均满足。在x方向动量方程的投影式根据相对运动速度合成公式代入上式得射流对平板的作用力方向：沿射流的方向。作用力F所做的功率2.控制体随平板以速度u沿射流方向移动，在动坐标系xoy内观察是固定不变的。

1.坐标系不能取静止坐标系。在静止坐标系中观察流动，流速在流场中的分布由于移动平板的存在而变化，而且流场的范围（边界）也在移动，因此是非恒定流，动量方程成立的条件不满足。剖析：3.

射流的反推力航天器利用气流反推力获得飞行动力.如火箭，左图。取与火箭一起运动的相对坐标系，取火箭本身的外壳表面和喷管出口截面积为A，流体相对于发射火箭喷出的速度为流量为，流体密度为，列飞行方向的动量方程有火箭所获推力与气流受力方向相反，即可说明：提高速度可增大火箭推力。图4－20

火箭的推力zQvF例4-9如图所示，一条矩形断面明渠，宽度

,渠中设有薄壁堰，堰顶水头，堰高，下游水深为，已知流量，堰后水舌内外压强均为大气压。试求堰壁上所受的水平总压力（上、下游渠底均为平底，摩擦力可以忽略不计）解：薄壁堰上游流速和下游流速分别为对堰上的上游断面和下游断面之间的水体，应用动量方程。上、下游断面的总压力可视为静水压力。设薄壁堰作用在水体上的力为F，方向从左向右，由水平方向的动量方程，得

1.应用动量方程时，一般要联立_______才能求解。A伯努利方程B连续性方程C

A和B

C2.恒定总流的连续性方程、伯努利方程、动量方程中的流速为A断面平均流速B断面上的最大流速C断面形心出的流速D断面上压力中心处的流速A在任意形状和大小的流体系统封闭表面，大