材料非线性有限元分析

材料非线性有限元分析第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1非线性弹性问题的有限单元法

前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此象线性问题一样，设位移和应变分别为则全量形式的应力为增量形式的应力为第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为单元刚度方程集成，可得总体平衡方程与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因此要用求解非线性方程组的方法来求解。1）切线刚度法——牛顿法集成非线性方程用牛顿法求解时，切线刚度矩阵为(这里认为)第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为式中Rn是应力σn引起的结点力，因此其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以自修正的牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足够小。表示集成第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六切线刚度法分析的计算步骤像牛顿法一样，切线刚度法每步都要形成切线刚度矩阵，计算量大。基于修正牛顿法的应力转移法、初应力法此时不平衡力节点力为外荷载形成nnnnnTnUUURRKUDD+=-=+-11

)()(第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2）应力转移法、初应力法——修正牛顿法为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因为初始切线刚度矩阵，故表示集成第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六式中是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从修正牛顿法迭代公式可得因为非线性应力所以若将视作“初应力”，并记则表示集成它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力和真实应力之差）。因此也称初应力法。第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六

nennDBDdes==e

第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六切线刚度法，应力转移、初应力法示意第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六切线刚度法将杆分成两个单元，其单元刚度矩阵为：

第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六初应力法

初应力法迭代公式为：第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2弹塑性问题的有限单元法涉及路径相关性的材料应力应变非线性（加载及卸载、残余塑性变形等）必须用增量法来求解。在增量荷载ΔRm作用下，位移、应力、应变和内变量等的增量分别为下一步迭代时的荷载水平为设m迭代步的结果已知，位移、应力、应变和内变量等分别记作第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六由于所讨论的是小变形问题，因此或也即单元增量应变为。象弹性问题一样，第m+1步单元刚度方程为精确解时第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六对弹塑性问题，本构关系为弹性矩阵塑性矩阵弹塑性矩阵

在应力增量dσij作用下，应变增量dεij可分成弹性和塑性两部分。总应变为正交（相关）流动准则非负的尺度因子dλ，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况F为屈服面方程弹塑性问题本构关系－应力应变关系第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六对于具有强化的加载状态，因为屈服面为由df=0又因为第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六则由df=0可得在屈服面方程中的内变量k，dk将有不同的形式，仿照塑性变形的取法，统一记第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六塑性状态的加载和卸载准则在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2-2)具有强化的弹塑性材料2-1）理想弹塑性材料由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展而改变，因此屈服面为。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为：卸载，弹性加载，塑性卸载，弹性加载，塑性中性变载，塑性转图其几何解释为：弹性应力增量指向屈服面内侧或相切时，反应是弹性的。否则是塑性加载，反应是弹塑性的。第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六理想弹塑性材料等向强化弹塑性材料随动强化弹塑性材料第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应加载状态应力增量dσij的应变增量dεij为若引入如下记号：则弹塑性本构关系可统一表示成上述本构方程是以应力为基本未知量的，它只适用于强化材料。第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六应变空间表述的弹塑性本构关系

以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。基于两者的对应关系，因此只简单列出式子。1)屈服条件和屈服面屈服面方程初始屈服面

2)加、卸载和流动准则正交流动准则dλ大于零表示加载，等于零表示其他情况。第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六3)弹塑性本构关系应变空间应力空间应变空间应力空间第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六确定弹塑性矩阵－等向强化-软化的米塞斯材料在主应力状态下，第二不变量为由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为式中J2是应力偏张量的第二不变量，由于偏张量第一不变量等于零，因此在单向拉伸状态下，J2=σ2/3。在纯剪状态下，J2=τ2。一般情况下，sij=σij-σkkδij/3,所以.第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六屈服面式中χ(k)，是由单向应力状态的数据确定的屈服参数。在单向拉伸时为χ2=σB2/3。在纯剪状态下χ=τB。任何情况下χ都是硬化参数塑性功wp的函数。根据屈服面表达式，可求得因为第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六为了求A，需先由屈服面对wp的偏导数求M式中Gp是曲线的斜率。同理，对单向拉伸情况，-M=Ep/3。纯剪Gp是塑性剪切模量单向拉伸Ep是塑性拉伸模量第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六因为由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因由此可得弹塑性矩阵为第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六加、卸载准则为统一的本构关系为由此可得弹塑性矩阵为第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1)根据实验研究建立材料合理的屈服条件f。2)由屈服条件求屈服面方程对应力或不变量等的导数。等向强化-软化材料的屈服面方程为3)根据硬化参数的选取，计算M。第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六4)由计算A。5)由计算塑性矩阵。6)计算并由此判断H(l)。7)最后形成弹塑性矩阵。第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六为进一步讨论状态判别，设在荷载Rm作用下应力和内变量对应一弹性状态，也即增加荷载ΔRm后，转入塑性状态，即弹性应力弹性应力应变空间的加、卸载的规则第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六也可由下式线性内插确定因此可用下式确定中性变载点处弹、塑性部分的比例因子r基于此，加荷载ΔRm后，应力增量为弹性应力第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六当ΔRm足够小时(Δεm足够小)，上式可写为跳转式中Dp是按计算的塑性矩阵。当r=1时，反应是纯弹性的，可以是弹性到弹性、塑性卸载到弹性或中性变载。当r=0时，应力应变是塑性的，是弹性到塑性的加载。0<r<1时，应力应变是弹塑性的。弹性应力第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六弹性弹性塑性fmfm+1弹性转18有状态改变无状态改变弹性塑性由中性状态改变到塑性第三十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六由应变求应力的计算步骤第三十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六解决了由应变求应力的计算，下面再解决弹塑性问题非线性方程组求解问题。将其代入单