概率与数理统计典型例题

《概率与数理统计》第一章随机事件与概率典型例题一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解1.设为三个事件，且，则2.设为两个任意事件，证明：二、古典概型与几何概型的概率计算1.袋中有个红球，个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第次取到红球的概率.（）2.从数字中可重复地任取次，试求所取的个数的乘积能被10整除的概率.（）3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（）4.掷颗骰子，求出现最大的点数为5的概率.5.（配对问题）某人写了封信给不同的个人，并在个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率.（）6.在线段上任取两点，在处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25）7.从中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于的概率.（）三、事件独立性1.设事件与独立，且两个事件仅发生一个的概率都是，试求.2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为和.（1）求甲取胜的概率；（2）求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（）四、条件概率与积事件概率的计算1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中至少有一次取到正品.（）2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1）五、全概率公式和贝叶斯公式概型1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.（）2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有个（）二等品，则该设备的使用寿命服从参数为的指数分布，试求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）若已知该设备寿命超过1，则安装在设备上的2个零件均是一等品的概率.（）六、伯努利试验1.甲袋中9个白球与1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地取一球交换放入另一袋中，这样做了3次，试求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756）2.假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了台仪器（假设生产过程相互独立），求恰好有台能出厂的概率.（）综合题1.某段时间内，证券交易所来了个股民的概率为，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为，且各股民是否购买这种股票相互独立.（1）求此段时间内，交易所共有个股民4.设随机变量的概率密度，令,为二维随机变量的分布函数.（1）求的概率密度；（2）求.六、综合题1.设随机变量的分布律为：-1012以及矩阵，试求的秩的分布函数.2.一商场对某商品的销售情况作了统计，知顾客对该商品的需求服从正态分布，且日均销售量为40件，销售机会在30件到50件之间的概率为0.5，若进货不足，每件利润损失为70元；若进货量过大，则因资金积压，每件损失100元，求日最优进货量.（37）第三章多维随机变量及其分布典型例题一、联合分布、边缘分布与条件分布的计算1.将三个相同的球等可能地放入编号为1、2、3的三个盒子中，记落入第1号与第2号盒子中球的个数分别为.（1）求的联合分布律；（2）求的边缘分布律；（3）问是否独立？（4）求关于的条件分布律.2.设随机变量相互独立，且均服从参数为的0—1分布，令（1）求的联合分布律；（2）为为何值时，取最小值？3.设服从上的均匀分布，其中为轴、轴及直线所围成的三角形区域，试求：（1）的联合密度函数；（2）的联合分布函数.二、已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数（参见教材）三、利用已知分布求相关事件的概率1.设二维随机变量，则2．设是两个相互独立的随机变量，它们均匀分布在内，试求方程有实根的概率.四、随机变量函数的分布1.设随机变量独立同分布，且的概率分布为：记.（1）求的概率分布；（2）求的协方差.2.设二维随机变量的概率密度为，（1）求；（2）求的概率密度.五、随机变量的独立性的讨论（参见教材）第四章随机变量的数字特征典型例题一、期望和方差的计算（参见教材中的练习题）1.一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2和0.3，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差.2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车的次数，求（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）.二、随机变量函数的数学期望与方差（参见教材中的练习题）1.设随机变量的概率密度为，求.2.在长为的线段上任意取两点，求两点间距离的数学期望与方差.三、有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题1.设的联合密度函数为，求2.设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，记，，（1）求和的联合分布律；（2）求和的相关系数.3.设随机变量的密度函数为，（1）求 和；（2）求与的协方差，问与是否不相关？（3）问与是否独立？为什么？4.设,其中,且，（1）求的数学期望及方差；（2）求与的相关系数；（3）与是否相互独立？为什么？四、有关数字特征的应用题1.一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度函数为工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.（）2.一商店经销某种商品，每周进货的数量（以公斤计）与顾客对该商品的需求量是相互独立的随机变量，且都服从[10,20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他地方调剂供应，这时每单位商品可获利500元，试计算此商店经销该商品每周所得利润的期望值.（）3.假设由自动生产线加工的某种零件的内径（单位：毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系：，问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（）第五章大数定律和中心极限定理典型例题一、有关切比雪夫不等式的命题1.设随机变量的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式，（）2.设随机变量，试用切比雪夫不等式证明：.3.设连续型随机变量的阶绝对长存在，证明：对任意，有.二、有关大数定律的命题1.设随机变量相互独立同服从参数为2的指数分布，则当时，依概率收敛于______________.（0.5）2.设随机变量相互独立同分布，且，求：.（1）三、有关中心极限定理的命题1.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.、0.5，某天售出300只蛋糕.（1）求这天的收入至少400（元）的概率；（2）求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率.()2.检查员逐个地检查某产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要再花10秒钟重复检查一次，假设每个产品需要复查的概率为0.5，求在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率是多少？()3.银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张需付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4，问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换？()4.（1）