电力负荷预测方法研究毕业设计(论文)

本科毕业设计说明书（论文）第42页共42页电力负荷预测方法研究1绪论电力工业的发展一方面直接制约着国民经济和社会的发展，另一方面电力工业的发展也依赖于社会对电力的需求。电力系统的作用就是对各类用户提供尽可能经济可靠而合乎标准要求的电能，以随时满足各类用户的要求，用电力系统的术语来说，就是满足负荷要求。所以正确的电力负荷预测既可以为国民经济的发展提供充足的电力，也可以为电力系统自身的发展提供帮助，特别是对于电力系统规划而言，准确的负荷预测是整个规划工作的基础和前提。电力系统短期负荷预测对未来1日至1周的负荷进行预测，而中期负荷预测则是对未来一月至一年的负荷进行预测的。中、短期负荷预测是随着电力系统EMS的逐步发展而发展起来的，现已经成为EMS必不可少的一部分和为确保电力系统安全经济运行所必需的手段之一。电力系统负荷预测为这一地区电力规划奠定了一定的基础，同时也为这一地区电力工业布局、能源资源平衡、电力余缺调剂，以及电网资金和人力资源的需求与平衡提供可靠的依据。因此，电力负荷预测是一项十分重要的工作，它对于保证电力工业的健康发展，乃至对于整个国民经济的发展均有着十分重要的意义。负荷预测技术经过几十年的发展，人们提出了许多的预测方法。现有的预测方法大体可以分为2类：经典的数学统计方法以及上世纪90年代兴起的各种人工智能方法。经典的数学统计方法包括线性外推法、多元线性回归法、时间序列法和状态空间法等。人工智能方法包括人工神经网络法、专家系统方法和模糊推理方法、小波分析等。本文介绍了一种基于BP神经网络的短期负荷预测方法[1]。其中首先根据实际经验将一周的7天分为工作日（星期一到星期五）和休息日（星期六和星期天）等两种类型；然后建立相应的人工神经网络模型用以预测负荷归一化系数；最后通过最小二乘法预测日最大负荷和日最小负荷。利用相应的BP神经网络方法对未来24小时负荷进行短期预测[2]，该方法充分发挥了神经网络处理非线性问题的能力和人工神经网络自学习、自适应的优点。实际算例表明，这种方法应用在短期负荷预测方面有较高的精度。1.1电力负荷预测研究的意义电力负荷有两方面的含义[3]：一方面是指电力工业的服务对象，包括使用电力的部门、机关、企事业单位、工厂、农村、车间、学校以及各种各样的用电设备。另一方面是指上述各用电单位、用电部门或用电设备使用电力和电量的具体数量[4]。电力负荷预测中的负荷概念是指国民经济整体或部门或地区对电力和电量消费的历史情况及未来的变化发展趋势。电力负荷预测就是在正确的理论指导下，在调查研究掌握大量翔实资料的基础上，运用可靠的方法和手段对电力负荷的发展趋势作出科学合理的推断。本文中基于神经网络的电力短期负荷预测就是在大量有关电力短期负荷研究和神经网络理论的指导下，在充分调查研究处理了某市某年某月一个月700多组数据后，应用了神经网络理论与MATLAB的实现方式，进行了编程仿真，得出了月底某工作日和某休息日两天的各小时点的具体负荷[5]。较高的预测精度充分表明了它的科学合理性。电力用户是电力工业的服务对象，电力负荷的不断增长是电力工业发展的根据。正确地预测电力负荷，既是为了保证无条件供应国民经济各部门及人民生活以充足的电力的需要，也是电力工业自身健康发展的需要。电力负荷预测工作既是电力规划工作的重要组成部分，也是电力规划的基础。全国性的电力负荷预测，为编制全国电力规划提供依据，它规定了全国电力工业的发展水平、发展速度、源动力资源的需求量，电力工业发展的资金需求量，以及电力工业发展对人力资源的需求量。本文对某地区进行电力负荷的中、短期预测，它为这一地区电力规划奠定了一定的基础，同时也为这一地区电力工业布局、能源资源平衡、电力余缺调剂，以及电网资金和人力资源的需求与平衡提供可靠的依据。因此，电力负荷预测是一项十分重要的工作，它对于保证电力工业的健康发展，乃至对于整个国民经济的发展均有着十分重要的意义。1.2国内外电力负荷预测研究的现状电力负荷预测分为经典预测方法和现代预测方法[6]。1.2.1（1）时间序列法时间序列法是一种最为常见的短期负荷预测方法，它是针对整个观测序列呈现出的某种随机过程的特性，去建立和估计产生实际序列的随机过程的模型，然后用这些模型去进行预测。它利用了电力负荷变动的惯性特征和时间上的延续性，通过对历史数据时间序列的分析处理，确定其基本特征和变化规律，预测未来负荷。时间列模型的缺点在于不能充分利用对负荷性能有很大影响的气候信息和其他因素，导致了预报的不准确和数据的不稳定。（2）回归分析法回归分析法就是根据负荷过去的历史资料，建立可以分析的数学模型，对未来的负荷进行预测。从数学上看，就是利用数理统计中的回归分析方法，通过对变量的观测数据进行分析，确定变量之间的相互关系，从而实现预测目的。回归预测包括线性回归和非线性回归。虽然经典的数学统计方法具有速度快的优点，但是其预测模型比较简单，很难准确描述负荷预测的实际模型，所以其精度较差。随着人工智能技术逐步被引入到短期负，其中以神经BP算法为代表。1.2.2现代负荷预测方法20世纪80年代后期，一些基于新兴学科理论的现代预测方法逐渐得到了成功应用。这其中主要有灰色数学理论、专家系统方法、神经网络理论、模糊预测理论等。（1）灰色数学理论灰色数学理论是把负荷序列看作一真实的系统输出，它是众多影响因子的综合作用结果。这些众多因子的未知性和不确定性，成为系统的灰色特性。灰色系统理论把负荷序列通过生成变换，使其变化为有规律的生成数列再建模，用于负荷预测。灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授1982年3月在国际上首先提出来的，在国际期刊《SYSTEMSANDCONTROLLETTER》刊物上发表，题为“ControlProblemsofGreySystems”,引起了国际上的充分重视。灰色系统理论的形成是有过程的。早年邓教授从事控制理论和模糊系统的研究，取得了许多成果。后来，他接受了全国粮食预测的课题，为了搞好预测工作，他研究了概率统计追求大样本量，必须先知道分布规律、发展趋势，而时间序列法只致力于数据的拟合，不注重规律的发展。邓教授希望在可利用数据不多的情况下，找到了较长时期起作用的规律，于是进行了用少量数据做微分方程建模的研究。这一工作开始并不顺利，一时建立不起可供应的模型。后来，他将历史数据作了各种处理，找到了累加生成，发现累加生成曲线是近似的指数增长曲线，而指数增长正符合微分方程解的形式。在此基础上，进一步研究了离散函数光滑性，微分方程背景值、平射性等一些基本问题，同时也考虑了有限和无限的相对性，定义了指标集拓扑空间的灰导数，最后解决了微分方程的建模问题[7]。（2）专家系统方法专家系统方法是对于数据库里存放的过去几年的负荷数据和天气数据等进行细致的分析，汇集有经验的负荷预测人员的知识，提取有关规则。借助专家系统，负荷预测人员能识别预测日所属的类型，考虑天气因素对负荷预测的影响，按照一定的推理进行负荷预测。专家系统是一个用基于知识的程序设计方法建立起来的计算机系统（在现阶段主要表现为计算机系统），它拥有某个特殊领域内专家的知识和经验，并能像专家那样运用这些知识，通过推理，在那个领域内作出智能决策。所以，一个完整的专家系统是有四部分组成的，即知识库、推理机、知识获取部分和解释界面。（3）神经网络理论运用神经网络技术进行电力负荷预测，其优点是可以模仿人脑的智能化处理，对大量非结构性、非精确性规律具有自适应功能，具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算的特点，特别的，其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的[8]。因此，预测被当作人工神经网络（简记为ANN）最有潜力的应用领域之一，许多人都试图应用反传学习算法训练ANN。以用作时间序列预测。误差反向传播算法又称为BP法，提出一个简单的三层人工神经网络模型，就能实现从输入到输出间非线性映射任何复杂函数关系。因此，我们可以将对电力负荷影响最大的几种因素作为输入，即当天的天气温度、天气晴朗度（又称为能见度）、风向风力、峰谷负荷及相关负荷等，争取获得较好的预测结果。（4）小波分析预测技术小波分析（Wavelet）是本世纪数学研究成果中最杰出的代表[9]。它作为数学学科的一个分支，吸取了现代分析学中诸如泛函分析、数值分析、Fourier分析、样条分析、调和分析等众多分支的精华，并包罗了它们的特色。由于小波分析在理论上的完美性以及在应用上的广泛性，在短短的几年中，受到了科学界、工程界的高度重视，并且在信号处理、图象处理、模式识别、地震预报、故障诊断、状态监视、CT成象、语言识别、雷达等十几个科学领域中得到应用。小波分析为本世纪现代分析学作了完美的总结。小波分析方法的提出，可以追溯到1910年Harr提出的“小波”规范正交基及1938年Littlewood-Paley对Fourier变换的相位变化本质上不影响函数的L-P理论。1981年Stromberg对Harr系进行了改进，证明小波函数的存在。1984年法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性时，把小波运用于对信号分解，取得了满意的分析结果。随后，理论物理学家Grossman对Morlet的这种信号方法进行了理论研究，这无疑为小波分析的形成奠定了基础。1986年，法国数学家Mayer创造性地构造出了一个具有一定衰减特性的光滑函数，它的二进制伸缩和平移系构成L（R）的规范正交基，实现了信号在时频空间同时局部化的正交分解。他为小波理论的形成和完善作出了重大贡献，是小波理论的奠基人之一。1988年，Daubechies构成出了具有有限支撑的正交小波基。它在数学信号的小波分解过程中提供有限的从而更实际、更具体的数字滤波器。这样，小波分析的理论大厦就基本奠定了。1990年，Daubechies在美国作了10次小波讲座，把小波介绍到工程界中，“小波热”就开始了。此后，中国学者崔锦泰和王建忠构成了基于样条函数的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数与小波函数。而Wicherhanseer等将Mallat算法进一步深化，提出了小波包算法，取得了信号的最佳时频分解。目前，国内外有关小波在电力系统中的应用的文献还很少，这个领域还是很少，然而，由于其独特的分析方法，在电力系统负荷预测方面一定会有很好的前景[10]。小波分析是一种时域——频域分析方法，它在时域和频域上同时具有良好的局部化性质，并且能根据信号频率高低自动调节采样的疏密，它容易捕捉和分析微弱信号以及信号、图象的任意细小部分。其优于传统的Fourier分析的主要之处在于：能对不同的频率成分采用逐渐精细的采样步长，从而可以聚焦到信号的任意细节，尤其是对奇异信号很敏感，能很好的处理微弱或突变的信号，其目标是将一个信号的信息转化成小波系数，从而能够方便地加以处理、存储、传递、分析或被用于重建原始信号。这些优点决定了小波分析可以有效地应用于负荷预测问题的研究。（5）模糊负荷预测模糊负荷预测是近几年比较热门的研究方向。模糊控制是在所采用的控制方法上应用了模糊数学理论，使其进行确定性的工作，对一些无法构造数学模型的被控过程进行有效控制。模糊系统不管其是如何进行计算的，从输入输出的角度讲它是一个非线性函数。模糊系统对于任意一个非线性连续函数，就是找出一类隶属函数，一种推理规则，一个解模糊方法，使得设计出的模糊系统能够任意逼近这个非线性函数。1.3本文主要的研究工作通过本次毕业设计，我们要对所学知识得以巩固与加强；了解目前负荷预测的概况，弄清负荷预测的常用方法方法，完成电力负荷预测；培养运用所学知识分析和解决问题的能力，锻炼和提高学生的综合素质本设计主要是学习负荷预测的一般方法，在此基础上，结合某地区的实际负荷，将所研究方法应用到负荷预测上，完成相应的负荷预测计算和分析。通过这一段时间的学习和研究主要工作为以下几个方面的内容和要求：(1)广泛阅读有关电力系统负荷预测方面的书籍和文献资料，分析并整理有关资料。(2)学习有关负荷预测的基础知识。(3)深入研究最小二乘法、指数平滑法和人工神经网络法的预测方法(4)建立电力负荷预测的模型，对预测某地区的发电量。(5)建立人工神经网络算法程序,得出MATLAB的图形。(6)完成毕业设计论文的撰写和毕业答辩任务。2电力负荷预测的基本概念2.1电力负荷预测的内容电力负荷预测的内容是指需要测算些什么量（或参数），归纳起来有以下一些参数需要测算。（1）最大有功负荷及其分布。最大有功负荷的大小是确定电力系统装机规模的基础数据，换句话说是电源规划的依据。有功负荷，加上电网中损失的有功和发电厂自用有功量，再加上适量的备用容量，就等于电力系统的装机容量。有功负荷的分布是输电线路设计的基础，也是变电所配置的基础，即有功负荷的地区分布特点是输变电规划和配电规划的主要依据。（2）无功负荷及其分布。无功负荷的大小及分布是确定电力系统无功电源规划的基础，也是影响电力系统安全经济运行的重要因素。（3）需电量。它是进行能源供需平衡的主要依据。（4）电力负荷曲线及其特征值。电力负荷大小及其在时间上的分布特征，对电力规划及电力系统运行是至关重要的。它是确定电力系统中电源结构、调峰容量需求、运行方式及能源平衡的主要依据。负荷预测根据目的的不同可以分为短期、中期和长期：①超短期负荷预测是指未来1h以内的负荷预测，在安全监视状态下，需要5～10s或1～5min的预测值，预防性控制和紧急状态处理需要10min至1h的预测值。②短期负荷预测是指日负荷预测和周负荷预测，分别用于安排日调度计划和周调度计划，包括确定机组起停、水火电协调、联络线交换功率、负荷经济分配、水库调度和设备检修等，对短期预测，需充分研究电网负荷变化规律，分析负荷变化相关因子，特别是天气因素、日类型等和短期负荷变化的关系。③中期负荷预测是指月至年的负荷预测，主要是确定机组运行方式和设备大修计划等。④长期负荷预测是指未来3～5年甚至更长时间段内的负荷预测，主要是电网规划部门根据国民经济的发展和对电力负荷的需求，所作的电网改造和扩建工作的远景规划。对中、长期负荷预测，要特别研究国民经济发展、国家政策等的影响[11]。2.2电力负荷预测的程序电力负荷预测是一个过程，其一般程序可划分为准备、实施、评价与提交预测报告四个阶段。2.2.1准备阶段准备阶段的工作是由确定预测目标、落实组织工作、搜集资料、分析资料和选择方法等工作组成。（1）确定预测目标。确定目标就是要在明确预测目的前提下，规定预测对象的范围、内容和预测期限。一般而言，预测范围视研究问题所涉及的范围而定，编制全国电力规划，就要预测全国范围内的电力、电量需求量；编制大区网局或地方（省、地、县）电力局的发展规划，就要预测大区电网或地方电力局范围内的电力、电量需求量。预测内容是指包括电力、电量、电力负荷的地区分布，电力负荷随时间的变化规律，以及电力负荷曲线特征及负荷曲线等。（2）搜集与整理资料。资料是预测的基本依据，占有的资料的充裕程度及资料的可信度，对预测结果的可信度是至关重要的。一般在做电力负荷预测时需要搜集与整理的资料主要有：电力系统历年用电负荷、用电量、用电构成；经济发展目标（如国民生产总值、国民收入等）；国民经济结构的历史、现状及可能的变化发展趋势；人口预测资料及人均收入水平；能源利用效率及用电比重的变化；工业布局及用户的用电水平指标；以及国外参考国家的上述类似历史资料。这些资料的主要来源有两种途径：一是各国政府、研究机构等定期或不定期发表的报刊、资料、文献、和其他出版物；二是预测人员通过调查所获得的资料。资料的来源统计计算口径及调查方法不同，都有对资料的可信度产生不同的影响。因此，在调查搜集资料的过程中对搜集得到的资料应进行鉴别，去粗取精，去伪存真，以保证预测中使用的资料翔实可靠。（3）分析资料，选择预测方法。对经过鉴别整理后的资料要进行分析，以寻求其规律。在预测中常用的分析方法有多种，如时间序列分析、因果关系分析等方法。要根据资料的掌握情况及资料样式，选择相应的预测方法，寻求预测量的演变规律或趋势，建立预测模型。没有一种方法在任何预测场合下均可以保证获得满意的结果。因此，必须根据对资料的占有情况，以及预测目标、预测期限，预测环境、预测结果的精确度，同时考虑预测本身的效益成本分析等进行权衡，以便作出合理的选择。2.2.2实施预测阶段在进行预测时，要依据选择的预测方法来进行预测。如果是采用定量预测方法来进行预测，就要根据建立的定量预测模型，带入预测期的自变量目标值，就可以获得预测期所要的预测变量值。如果是采用定性预测方法来进行预测，就应根据掌握的客观资料进行科学的逻辑推理，推断出预测期的预测值。由于影响预测对象的诸因素可能会发生变化，从而可能使未来的实际结果与预测依据的历史资料呈现的规律不相吻合，预测人员必须适时的对预测模型及预测结果加以修正。这种情况下，预测人员的经验、理论素养及分析判断能力起重要的作用。2.2.3评价预测阶段预测的主要成果是得到预测结果。预测结果应该是明确的，可以被检验的。因此，在得到预测结果后必须对预测结果的准确度和可靠性进行评价。务使预测误差处于可接受的范围内。若误差太大，就失去了预测的意义，并从而导致电力规划的失误。2.2.4题出预测报告阶段预测报告是预测结果的文字表述。预测报告一般包括题目、摘要、正文、结论、建议、和附录等部分。预测题目主要反映预测目标、预测对象、预测范围和预测时限。摘要通常说明预测中的主要发现、预测的结果及提出的主要建议和意见。摘要与题目配合，可以引起有关方面的重视。正文包括分析及预测过程、预测模型及说明、有关计算方法、必要的图表、预测的主要结论及对主要结论的评价。结论与建议是扼要地列出预测的主要结果，提出有关建议和意见。附录主要包括说明正文的附表、资料，预测中采用的计算方法的推导和说明，以及正文中未列出的有价值的其他资料[12]。3电力负荷预测方法的研究3.1基于最小二乘法的预测研究及算例分析在实践中，我们往往需要从一组实测数据（）（i=1，2，……，n）中寻找变量x与y间函数关系的某种近似表达式。例如，我国某地区发电量的历年历史数据如表3.1所示。表3.1我国某地区发电量的增长情况序号123456789101年份19831984198519861987198819891990199119921983发电量11.061.361.461.581.741.941在表中，发电量取的是标么值，以1983年的发电量为基准。在预测时为方便起见，我们用标中的序号作为自变量。为了用外推法预测今后的发电量，我们需要寻求y=f(x)的一个近似表达式。从几何上讲，就是希望根据表中所列的一组离散点（1，1.0），（2，1.07），……，（10，1.95）求函数y=f(x)图像的一条拟合曲线。假定我们选定函数来逼近f(x)，则两者之间的误差应越小越好。现在用表示近似函数在点的误差（i=1，2，……，n）在一般情况下使用（i=1，2，……，n）全都为零是不可能的。因此通常归结为要求在各点的误差和为最小。即（3-1）这种根据误差平方和最小的原则选择f(x)的近似函数的方法就叫曲线拟合的最小二乘法。利用最小二乘法进行曲线拟合时，首先要选定一个函数的类型。从负荷预测问题来看，通常选择的函数或者趋势曲线有以下几种：1直线；2抛物线；3三阶曲线；4指数曲线；5几何曲线6增长曲线7Compertz曲线。前三种曲线都属于多项式类型，比较简单。当某一量的增长率接近常数时，其增长趋势常用指数曲线来拟合。选择合适的曲线类型主要是根据经验，或把离散点画在坐标纸上，进行观察分析，找到一个比较接近的曲线类型。例如将表3.1的离散点画标在坐标纸上可看出这些离散点用抛物线开拟合,即可选择（3-2）当选定了函数类型之后，就要确定其中的常数。这就是最小二乘法的核心。以下我们从一般的基础上进行讨论。设有一个具有n对值的函数及一个m次多项式（3-3）其中m<n。我们要按照（3-1）的原则确定式中的系数，即要求下列函数的最小值（3-4）式中S为m+1个自变量的函数。我们按通常的方法来求S对的偏导数，并使这些导数等于零。由此可得到m+1个方程式（K=0，1，2，…，m）（3-5）整理上式可得（K=0，1，2，…，m）（3-6）式中，为简单起见，令（3-7）（3-8）这样，式中（3-6）可展开为（3-9）式（3-9）的系数矩阵显然为对称矩阵。可以证明，该矩阵为非奇异矩阵，故式（3-9）有唯一解[13]。已知原始数据如表3.1所示，现欲用抛物线对其进行拟合（将离散点画到图上得抛物线）试用最小二乘法确定其系数和。根据式（3-7）（3-8），对表3.1的原始数据可按下表进行处理表3.2最小二乘法的计算表格111111111248161.062.124.2413927811.163.4510.351416642561.24.819.215251256251.266.331.5163621612961.368.1648.96174934324011.4610.2271.54186451240961.5812.64101.12198172965611.7415.66140.941101001000100001.9419.4194105538530252533313.7583.75622.85根据式3-9可得到线性方程解之得即拟合曲线的表达式为根据此方程式即可利用外推法对未来负荷电量进行预测。例如，第13年（即1995年）的负荷电量为即1995年的用电量应为1983年的2.4823倍。在确定拟合曲线的表达式后，往往我们需要检验下拟合的误差，以便确认所选拟合曲线是否理想，在此研究中，可按表3.2计算各离散点的误差。表3.3拟合曲线的误差xy11.00420.01230.00781.024310.02430.0005921.00420.02460.03121.09781.060.03780.00142931.00420.03690.07021.11131.150.03870.00149841.00420.04920.12481.17821.20.02180.00475451.00420.06150.1951.26071.260.00070.00000161.00420.07380.28081.35881.360.00120.00000171.00420.08610.38221.47251.460.00750.00005681.00420.09840.49921.60181.580.02180.00047591.00420.11070.63181.74671.740.00670.000045101.00420.1230.781.90721.940.03280.001076由表表3.3可以看出，最大误差在X=3处均方差为MSE=0.005646/10=0.00056463.2基于指数平滑法的预测研究及算例分析指数平滑法是最常用的预测方法之一，是确定性的时间序列分析技术。对于时间上有序的一组观测数据可以用对连续n个时期的观测值计算出的平均数作为对下一时期，即t+1时期的预测值，即表示（3-10）这种预测方法称为移动算术平均法。其优点是计算简单，缺点是：1要保存的历史数据比较多，如预测的项目很多就要保存大量历史数据；2它对所有数据都同等对待，而从直观和经验上看，我们在预测时应该对离目前越近的数据越重视；3它只能用于水平趋势的时间序列，当时间序列有某种明显的增加或减少的趋势时，移动算术平均法不能很快适应这种变化。指数平滑法是从移动算术平均法演变而来的。实际上，由式(3-10)可知（3-11）式（3-10）减去（3-11）得（3-12）令代替式中，即可得到（3-13）（3-14）该式可以被理解为下一时刻的预测值等于本时刻预测值再加上一个误差修正项，这就是一次指数平滑法。和移动算术平均法相比，它有以下几个优点：(1)不需要储存过去n个时刻的历史数据。在时刻t预测t+1时刻的数值时，只需知道t时刻的实际值及预测值；(2)对不同时刻的数据做了不等权的处理。顺次将……的表达式带入式可得（3-15）由上式可见，的权是a(1-a)……，由于0<1-a<1，这些权数的增加而逐渐趋于零。这就是指数平滑的由来，它也符合了离目前越近的数据，对未来预测影响越大的原则。在实属平滑法中，t+1时刻的预测值式（3-13）（3-14）叫t时刻的一次指数平滑，用表示。因此式（3-13）（3-14）可以改写为（3-16）（3-17）将t=1,2,……，n的所有一次指数平滑值作为新的时间序列，再次进行指数平滑，我们就得到了原时间序列的二次指数平滑（3-18）同理，如以（1，2，……，n）做为新的时间序列进行指数平滑，又可得到三次指数平滑值（3-19）依此类推。一般来说，一次指数平滑法和移动算术平均法一样只适用于具有水平趋势的时间序列。平滑系数a可根据最小方差的原则来决定，即选几个a可能的取值分别计算平滑值与相应实际值的均方差/t,并选取其中均方差最小的平滑系数a。当时间序列具有不断增大（或减小）的趋势时，用一次指数平滑法预测的结果往往出现明显的滞后现象，误差较大。在这种情况下，需要高次指数平滑法。指数平滑法的基本理论断言[14]，当时间序列具有多项式趋势时（3-20）式中系数可以由x在t时刻的前N+1阶指数平滑的线性组合表示。例如，当时间序列有线性趋势时，我们用线性指数平滑法进行预测（3-21）式中系数可由t时刻的前二次指数平滑值来表示（3-22）（3-23）当时间序列具有抛物线趋势时，我们用平方指数平滑法进行预测（3-24）式中系数可由t时刻的前三次指数平滑值来表示（3-25）（3-26）（3-27）应用研究：已知江苏泰州某小区两年来用电情况如下表（单位为MkWh）;试用线性指数平滑法对今后半年的用电量进行预测。表3.4线性指数平滑法的计算过程11421421422151143.80142.36145.240.36-3160147.04143.30150.7840.936145.604138145.23143.68146.7810.387151.725136143.39143.62143.148-0.060147.176173149.31144.76153.8561.137143.097141147.65145.34149.9560.577154.998140146.12145.49146.7410.156150.539161149.09146.21151.9740.720146.9010179155.08147.99162.1641.772152.6911163156.66149.72163.5991.735163.9412170159.33151.64167.0141.921165.3313205168.46155.01181.9193.364168.9414192173.17158.64187.7013.633185.2815206179.74162.86196.6144.219191.3316217187.19167.72206.6534.866200.8317228195.35173.25217.4525.525211.5218224201.08178.82223.3465.566222.9819203201.46183.35219.5844.530228.9120226206.37187.95224.7934.605224.1121222209.50192.26226.7354.309229.4022241215.80196.97234.6284.708231.0423238220.238201.622238.8554.654239.3424265229.19207.14251.2465.516243.5125256.76(m=1)26262.27(m=2)27267.78(m=3)28273.30(m=4)29278.81(m=5)30284.33(m=6)表中各列分别为：原始记录数据；一次指数平滑值，由式（3-16）求得；二次指数平滑值，由式（3-18）求得；系数，由式（3-22）求得；系数，由式（3-23）求得；预测值，由式（3-21）求得；整个计算中，平滑系数取0.2。下面我们以根据t=23时段用电量预计t=24时段用电量为例说明我们的研究的具体步骤。首先计算t=23时段用电的前两次平滑值然后利用前两次平滑值计算t=23时段的拟合常数最后求出对t=24时段的预测值同理可得到令预测误差为（3-28）并定义平均误差ME（3-29）平均绝对值误差MAE（3-30）平均方差MSE（3-31）如果从t=10到t=24进行误差统计，则可从表5-4的计算结果得到为了利用式（3-16）及式（3-18）等，首先必须知道。但是当t=1时这个值并不存在，因此需要在计算前给定出定值，最简单的方法就是使在开始时都等于Xt,或者都等于前几个Xt的平均值。所有指数平滑法都会遇到这种给定值的问题的。如果平滑系数a取值不接近于零值，则预测几步后，初值的影响会组建减弱，假如a的取值接近于零，从式（3-15）中我们可以看出初值对未来的影响较大，因此最好给定初值时比较慎重。4人工神经网络日负荷预测方法的原理及MATLAB实现4.1基于人工神经网络日负荷预测方法的原理4.1.1人工神经网络简介及其原理(1)神经网络简介人工神经网络的英文名称是ArtificialNeuralNetworks(ANN)是一种“采用物理可实现的系统来模仿人脑神经细胞的结构和功能的系统。”当前国际著名的神经网络专家，第一家神经计算机公司的创始人和神经网络技术研究的领导人HechtNielson给神经网络的定义是:“神经网络是一个以有向图为拓扑结构的动态系统，它通过对连续或断连续的输入作状态响应而进行信息处理。”人工神经网络是最近发展起来的十分热门的交叉学科，它涉及生物、电子、计算机、数学和物理学科，有着非常广泛的应用背景，这门学科的发展对日前和末来的科学技术的发展有重要的影响。二维的简单人工神经网络按网络拓扑结构可分为两类:前馈型网络和反馈型网络。反馈型网络模型是一种反馈动力学系统，它具有极复杂的动力学特性。反馈神经网络模型可以用完备的无向图表示，代表性的模型包括;Hopfield网络模型和Hamming网络模型。反馈神经网络模型有很强的计算能力。前馈神经网络模型是指那些在网络中各处理单元之间的连接都是单向的，而且总是指向网络输出方向的网络模型。本文中采用前馈型网络对电力系统短期负荷进行预测。前馈型神经网络的基本原理是:神经网络在组成时，各个神经元通过一定权值相连，神经网络在使用之前必须确定这些权值，而没有经过训练的神经网络的权值是没有任何意义的，神经网络的学习过程就是通过已知数据确定权值的过程。即通过这些权值使神经网络具有了一定的记忆功能，可以对数据的规律进行记忆(信息保存在权值中)。从而可以用于以后的预测。从已知数据确定权值是一个无约束最优化问题，典型的算法是BP法，对于前馈神经网络模型还有很多其他权值修正法。(2)人工神经元基本原理人工神经元模型是生物神经元的模拟与抽象。从数学角度而言，所谓模拟是对神经元的结构和功能而言，相当于一个多输入单输出的非线性阐值器件。激活函数有许多种类型，其中比较常用的激活函数可归结为三种形式:闽值型，S型和线性型。①人工神经元网络模型将前面介绍的神经元通过一定的结构组织起来，就可构成人工神经元网络。按照神经元连接的拓扑结构不同，可分为分层网络和相互连接型网络。分层网络是将一个神经元网络模型中的所有神经元按功能分为若干层，一般有输入层、中间层和输出层。相互连接型网络是指网络中任意两个单元之间都可以相互连接。②神经元网络的学习过程模仿人的学习过程，人们提出了多种神经元网络。人工神经元模型的学习方式，其中主要三种:有导师学习、无导师学习和强化学习。学习是一个相对持久的变化过程，学习往往也是一个推理过程，例如通过经验也可以学习，学习是神经元网络最重要的能力。③神经元网络的学习规则在学习过程中主要是网络的连接权的值发生了改变，学习到的内容也是记忆在连接权之中。学习规则有:Hebb学习规则、感知机(Perception)学习规则、Delta学习规则等等。④神经元网络的工作过程当网络训练好了以后，就可以正常进行工作，可以用来分析数据和处理问题。神经元网络的工作过程有许多种形式，比如回想和分类。4.1.2BP(误差反向传播算法)网络本文采用BP网络，BP网络学习规则的指导思想:对网络权值和阈值的修正要沿着表现函数下降最快的方向-负梯度方向.（4-1）其中是当前的权值和阈值矩阵,是当前表现函数的梯度,是学习速度。下面介绍BP算法的推倒过程。假设三层BP网络,输入节点,隐层节点,输出节点[15]。输入节点与隐层节点间的网络权值为,隐层节点与输出节点间的网络权值为.当输出节点的期望值为时,模型的计算公式如下:隐层节点的输出（4-2）其中（4-3）输出节点的计算输出（4-4）其中（4-5）输出节点的误差（4-6）传递函数f(x)的导数S型函数则（4-7）（4-8）对输出节点（4-9）（4-10）对输出节点（4-11）（4-12）求函数梯度有两种方法：递增和批处理。递增模式，就是每增加一个输入样本，重新计算一次梯度并调整权值；批处理模式，就是利用所有的输入样本计算梯度，然后调整权值。4.2电力系统短期负荷预测建模及MATLAB实现4.2.1基于神经网络的预测原理(1)正向建模正向建模是训练一个神经网络表达系统正向动态的过程，这一过程建立的神经网络模型称为正向建模。正向建模的结构如图所示，其中神经网络与待辨别的系统并联，两者的输出误差用做网络的训练信号。显然，这是一个典型的有教师学习问题，实际系统作为教师，向神经网络提供算法所需的期望输出。当系统是被控对象或传统控制器时，神经网络多采用多层前向网络的形式，可直接选用BP网络或它的各种变形。而当系统为性能评价器时，则可选择再励学习算法[16]。动态系统动态系统神经网络Ud++_ey图4.1正向建模结构(2)逆向建模建立动态系统的逆模型，在神经网络控制中起着关键的作用，并且得到了特别广泛的应用。下面介绍其中一种比较简单的直接逆向建模法。直接逆向建模也称为广义逆学习，如图6.2所示。从原理上说，这是一种最简单的方法。由图可见，拟预报的系统输出作为网络的输入，网络输出与系统输入比较，相应的输入误差用于训练，因此网络将通过学习建立系统的逆模型。但是如果所辨别的非线性系统是不可逆的，利用上述方法，将得到一个不正确的逆模型。因此，在建立系统逆模型时，可逆性应该事先有所保证。动态系统神经网络动态系统神经网络U+|y图4.2逆向建模结构为了获得良好的逆动力学特性，应妥善选择网络训练所需的样本集，使其比未知系统的实际运行范围更大。但实际工作时的输入信号很难事先给定，因为控制目标是使系统输出具有期望的运动，对于未知控制系统期望输入不可能给出。另一方面，在系统预报中，为保证参数估计算法的一致收敛，必须使用一定的持续激励的输入信号。对于神经网络，这是一个仍有待于进一步研究的问题。4.2.2电力系统短期负荷预测建模及MATLAB实现负荷预测对电力系统控制、运行和计划都有着重要的意义。电力系统负荷变化受多方面的影响，一方面，负荷变化存在着由未知不确定的因素引起的随机的波动；另一方面，又具有周期变化的规律性，这也使得负荷曲线具有相似性。同时，由于受天气、节假日等特殊情况的影响，又使负荷变化出现差异。由于神经网络所具有的较强的非线性映射等特性，它常被用于负荷预测。本文采用MATLAB软件编程、仿真，具体过程如下所示：(1)问题描述电力系统负荷短期预报问题的解决办法和方式可以分为统计技术、专家系统法和神经网络法等。众所周知，负荷曲线是很多因素相关的一个非线性函数。对于抽样和逼近这种非线性函数，神经网络是一种合适的方法。神经网络的优点在于它具有模拟多变量而不需要对输入变量做复杂的相关假设的能力。它不依靠专家经验，只利用观察到的数据，可以从训练过程中通过学习来抽样和逼近隐含的输入/输出非线性的关系。近年来的研究表明，相对于前两种方法，利用神经网络技术进行电力系统短期负荷预报可获得更高的精度。在对短期负荷进行预报前，一个特别重要的问题是如何划分负荷类型或日期类型。纵观已经发表的文献资料，大体有以下几种划分模式：a将一周的7天分为工作日（星期一到星期五）和休息日（星期六和星期天）等两种类型；b将一周分为星期一、星期二到星期四、星期五、星期六、星期天等5种类型。c将一周的7天每天都看做一种类型，共有7种类型。本文采用第1种负荷划分模式，将一周的7天分为工作日（星期一到星期五）和休息日（星期六和星期天）等两种类型。(2)输入/输出向量设计在预测日的前一天中，每1个小时对电力负荷进行一次测量，这样一来，一天共测得24组负荷数据。由于负荷值曲线相邻的点之间不会发生突变，因此后一时刻的值必然和前一时刻的值有关，除非出现重大事故等特殊情况。所以这里将前一天的实时负荷数据作为网络的样本数据。此外，由于电力负荷还与环境因素有关，如最高和最低温度等。因此，还需要通过天气预报等手段获得预测日的最高和最低温度。这里将电力负荷预测日当日的气象特征数据作为网络的输入变量[17]。因此，输入变量就是一个26维的向量。显而易见，目标向量就是预测日当天的24个负荷值，即一天中每个整点的电力负荷。这样一来，输出变量就成为一个24维的向量。获得输入和输出变量后，要对其进行归一化处理，将数据处理为区间[0，1]之间的数据。归一化方法有许多种形式，这里采用如下公式：（4-13）在样本中，输入向量为预测日前天的电力实际负荷数据，目标向量是预测日当天的电力负荷。由于这都是实际的测量值，因此，这些数据可以对网络进行有效的训练。如果从提高网络精度的角度出发，一方面可以增加网络训练样本的数目，另一方面还可以增加输入向量的维数。即，或者增加每日的测量点，或者把预测日前几天的负荷数据作为输入向量。目前，训练样本数目的确定没有通用的方法，一般认为样本过少可能使得网络的表达不够充分，从而导致网络外推能力不够；而样本过多可能会出现样本冗长现象，既增加了网络的训练负担，也可能出现信息量过剩使得网络出现过拟合现象。总之，样本的选取过程需要注意代表性、均衡性和用电负荷的自身特点，从而选择合理的训练样本。(3)BP网络的设计本文依据人工神经网络来建模，根据BP网络来预测24点负荷。如图4.3预测24点负荷的BP网络。·············123824n1224输出层隐层输入层图4.3预测24点负荷的BP网络BP网络是系统预测中应用特别广泛的一种网络形式，因此，本文采用BP网络对负荷值进行预报。根据BP网络来设计网络，一般的预测问题都可以通过单隐层的BP网络实现。本文由于输入向量有26个元素，所以网络输入层的神经元有26个，经过多次训练网络中间层的神经元可以取53个。而输出向量有24个，所以输出层中的神经元应该有24个。网络中间层的神经元传输函数采用S型正切函数tansig，输出层神经元传递函数采用S型对数函数logsig。这是因为函数的输出位于区间[0，1]中，正好满足网络输出的要求。利用以下代码创建一个满足上述要求的BP网络：threshold=[01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01;01];net=newff(threshold,[53,24],{‘tansig’,’logsig’},’trainrp’);其中，变量threshold用于规定输入向量的最大值最小值，规定了网络输入向量的最大值为1，最小值为0。‘trainrp’表示设定网络的训练函数为trainrp,它采用BP算法进行网络学习。(4)网络训练计算出预测日24点的归一化系数网络经过训练后才可以用于电力负荷预测的实际应用。考虑到网络的结构比较复杂，神经元个数比较多，需要适当增大训练次数和学习速率。训练参数的设定如表所示。表4.1训练参数训练次数训练目标学习速率10000.010.1训练代码如下：net.trainParam.epochs=1000;net.trainParam.goal=0.01;LP.lr=0.1;net=train(net,P,T);%P为输入向量，T为目标向量休息日训练结果为：TRAINRP,Epoch0/1000,MSE0.22531/0.01,Gradient0.0874257/1e-006TRAINRP,Epoch17/1000,MSE0.00941281/0.01,Gradient0.00530143/1e-006TRAINRP,Performancegoalmet.工作日训练结果为:TRAINRP,Epoch0/1000,MSE0.255465/0.01,Gradient0.0755527/1e-006TRAINRP,Epoch22/1000,MSE0.00933507/0.01,Gradient0.00624565/1e-006TRAINRP,Performancegoalmet.可见，经过次训练后，网络误差达到要求，结果如图6.4(休息日训练结果)所示,图4.5(工作日训练结果)所示。图4.4(休息日)训练结果图4.5(工作日)训练结果训练好的网络还需要进行测试才可以判定是否可以投入实际应用。休息日测试代码如下：P_test=[0.00000.01820.00000.00000.09750.56510.04560.35010.27100.00000.00000.00000.17960.00000.00000.00000.62840.57140.44690.38610.24280.01200.00000.01970.33060.0075]';Out=sim(net,P_test);工作日测试代码如下：P_test=[0.20620.13380.06000.04930.18380.05910.04280.46820.54790.33210.33610.30800.17220.26730.16600.18340.08730.55330.19410.51820.13810.15110.00000.24770.14510.2805]';Out=sim(net,P_test);这里利用仿真函数sim来计算网络的输出。预报误差曲线如图6.6(休息日预报误差曲线)所示,图4.7(工作日预报误差曲线)所示。图4.6(休息日)预报误差图4.7(工作日)预报误差(5)结论分析电力负荷预测是电力调度、用电、计划、规划等部门的重要工作，国内外关于短期负荷预测的文献很多，但是由于电力负荷受诸多因素的影响和负荷本身的不确定性，使得迄今还没有一种十分满意的方法。本文介绍的基于BP神经网络的预测方法，在综合考虑天气情况、历史负荷和日类型等对未来负荷影响的因素后，使用了神经网络的非线性拟合等功能[18]，取得了较好的负荷预测效果。如表4.2休息日预测结果对照所示，如表4.3工作日预测结果对照所示。表4.2休息日预测结果对照预测时段实际值/MW预测值/MW误差/%1：00370.9384.9-3.772：00349.1346.90.633：00340.1336.77.124：00348.1379.70.995：00334.0335.8-0.546：00345.4346.6-0.387：00387.5369.84.578：00418.8395.75.529：00452.8423.86.4010：00423.0423.8-0.1911：00442.9415.16.2812：00423.0397.36.0813：00400.3420.3-4.9914：00420.7401.54.5615：00424.6392.97.4716：00399.8400.1-0.0817：00431.2416.13.5018：00475.2450.45.2219：00489.1476.52.5820：00444.9456.1-2.5221：00440.6423.53.8822：00416.2422.8-1.5923：00385.9394.5-2.2324：00368.1368.6-0.14从表4.2可见，17个点的误差的绝对百分误差小于5%，最小绝对百分误差为-0.08%，最大绝对百分误差为7.47%，平均绝对百分误差为2.02%，表明预测取得了较满意的结果。表4.3工作日预测结果对照预测时段实际值/MW预测值/MW误差/%1：00316.0330.7-4.662：00320.5334.9-4.493：00324.3322.50.564：00322.2349.3-8.415：00323.9328.9-1.546：00355.1337.94.847：00360.0371.0-3.068：00403.1384.44.649：00429.3390.39.0810：00402.2391.12.7611：00392.1401.2-2.3212：00406.0396.72.2913：00382.6384.8-0.5814：00391.7393.2-0.3815：00383.6392.3-2.2716：00417.1400.44.0017：00435.5416.54.3618：00473.4494.3-4.4119：00483.7457.75.3820：00456.2428.26.1421：00436.4407.86.5522：00408.9408.60.0723：00348.4376.2-7.9824：00379.4378.00.37从表4.3可见，18个点的误差的绝对百分误差小于5%，最小绝对百分误差为0.07%，最大绝对百分误差为-8.41%，平均绝对百分误差为0.46%，表明预测取得了较满意的结果。结束语本文介绍的电力中、短期负荷预测的特点，即都是受多个影响因素共同影响，且各个因素之间有着比较复杂的关系，具有高度不确定的非线性系统，利用传统的预测方法有着诸多限制，而采用神经网络方法则能较好地克服这些限制，实现精确的非线性预测。为了进一步提高网络的预测精度，需要从以下几个方面展开研究：（1）网络的训练过程是从给定的样本数据中归纳出输入、输出之间的复杂规律，为了能够更加精确地对系统进行预测，样本数据应该尽可能准确。（2）提高网络预测能力的主要途径有:a尽可能增加样本的涵盖面；b在输入中尽可能地包括影响输出的主要因子；c确定适当的收敛误差。对于常用的BP算法，可考虑采用遗传算法、小波分析和径向基函数做进一步的深入研究。（3）针对BP算法中存在的收敛速度慢、易陷入局部最小值的问题，可采用附加动量法和自适应学习速率法在一定程度上解决这些问题。附加动量法是在BP算法的基础上，在每个权值变化上加上一项正比于上一次权值变化量的值，并根据BP算法来产生新的权值变化，利用附加动量法可能会避开某些局部最小值。自适应学习速率法是在学习过程中不断修正学习速率，有利于提高学习效率，缩短学习时间。致谢在论文完稿之际，首先我要向指导老师教授表示衷心的感谢。老师渊博的知识、丰富的实践经验和严谨的科学作风让我十分敬佩，老师不辞辛劳，对每一个细节的详细讲解、指导和答疑解惑让我们深受启发，并深为感动。如果没有老师的悉心指导，老师的督促，本论文也不可能完成得如此顺利。在为期几个月的设计中，同学们的团结互助，无私帮助让我十分的感动，如果在这几个月中，我单凭一己之力要完成本设计是十分困难的，因为本设计的知识和内容大部分是以前未曾接触的，有许多新的东西要求我在短短几个月内消化吸收。但我们小组做为一个团队，大家相互帮助，相互鼓励，互相监督，共同讨论和解决问题，使论文能高质高效的完成。此外，我还要感谢我所列参考文献的作者，正是他们的许多研究成果给了我很大的帮助，在此表示诚挚的谢意！参考文献[1]飞思科技产品研发中心编.神经网络理论与MATLAB7实现[M].北京：电子工业出版社,2005.[2]许东，吴铮编著.基于MATLAB6.x的系统分析与设计——神经网络[M].西安：西安电子科技大学出版社，2002.[3]赵希正编著.中国电力负荷特性分析与预测[M].北京：中国电力出版社，2001.[4]于尔铿，刘广一，周京阳等编著.能量管理系统（EMS）[M].北京：科学出版社，1998.[5]张乃尧，阎平凡编著.神经网络与模糊控制[M].北京：清华大学出版社，1998.[6]牛东晓，曹树华，赵磊等编著.电力负荷预测技术及其应用[M].北京：中国电力出版社，1998.[7]诸静编著.模糊控制原理与应用[M].北京：机械工业出版社，1995.[8]焦李成.神经网络系统理论［M］.西安：西安电子科技大学出版社，1990.[9]侯志俭，李涛等.基于小波分析的电力系统短期负荷预测方法[J].中国电机工程学报，2003，23（1）：45-50.[10]冉启文，单永正，王骐等.电力系统短期负荷预报的小波-神经网络-PARIMA方法[J].中国电机工程学报，2003，23（3）：38-42.[11]肖国泉，王春，张福伟编著.电力负荷预测[M].北京：中国电力出版社，2001.[12]施泉生.短期负荷预报模型库的研究及应用[J].系统工程理论与实践，1996，16（7）：99-104.[13]W.E.密伦，数值计算，科学出版社，1959年.[14]Brown,R,G.TheFundamentalTheoremofExponentialSmoothing,OperationsResearch,pp673-685,1961.[15]王雪峰，冯英浚.多层神经网络的一个快速算法［Ｊ］.运筹学学报，1998，(3)：25～29．[16]王雪峰，冯英浚.多层神经网络的一种新学习算法［Ｊ］.哈尔滨工业大学学报，1997，(2)：23～25.[17]ChowTWSetal.Neuralnetworkbasedshort-termloadforecastingusingweathercompensation[J].IEEETransonPWRS.1996,11(4):1736-1742.[18]S.E.Papadakis,J.B.Theocharisetal.Anovelapproachtoshort-termloadforecastingusingfuzzyneuralnetworks[J].IEEE.TransactionsonPowerSystem,1998,13(2):480-492.附录Ⅰ：归一化MATLAB代码%p为休息日原始输入数据p=[411.5400.5393.3402.2391.7413.7441.2435.0435.4435.1460.9461.6451.3445.0444.1453.1450.1499.8530.2531.4481.8452.2450.0454.429.516.4;418.0406.6412.5382.1406.8402.9433.7443.2435.1448.7462.4450.5453.2457.9465.9440.8461.2492.5529.5504.7481.8472.7466.6408.831.117.7;374.4354.4364.4337.2361.0371.4387.1433.9436.9452.3450.4461.3433.9445.4460.9442.0464.2491.7497.7449.6424.6406.0420.1395.116.65.6;376.1365.1357.2348.5339.4360.0400.8424.2367.8453.6462.9454.8444.6453.3463.3442.9471.3514.5485.7459.9440.7412.8418.4404.36.64.3;382.8361.6352.0359.0360.3360.8406.4420.2461.9439.6456.3464.8435.1455.6465.9436.3466.1503.0512.6482.9463.0444.2443.8423.822.513.7;374.0353.5351.2367.2364.0368.4390.2408.4435.5439.6456.1443.4442.3436.3434.2441.6456.3508.1519.4481.9468.2433.7444.2379.622.814.3;350.9346.3364.0347.3342.1330.7368.9395.5419.2415.5425.6432.8414.1402.2393.0402.7401.6454.3456.8437.9426.0412.2403.4378.916.38.9;373.2385.3359.5365.7341.6351.5392.8403.4418.9416.2431.2426.5415.51427.2431.7412.0431.4448.7457.1451.3422.5411.2403.6392.419.18.2;340.5347.4335.8324.5341.1377.6372.2412.2393.3403.0413.7381.9409.8401.3387.5393.8445.4486.3489.6474.0436.9406.8385.8369.814.05.4;370.9349.1340.1348.1334.0345.4387.5418.8452.8423.0442.9423.0400.3420.7424.6399.8431.2475.2489.1444.9440.6416.2385.9368.114.74.4]';%P表示归一化后的输入向量fori=1:26P(i,:)=(p(i,:)-min(p(i,:)))/(max(p(i,:))-min(p(i,:)));end%p为工作日原始输入数据p=[391.6386.8369.5371.2367.4385.8427.1441.3456.2461.4477.5470.5458.6468.7475.5457.5476.1509.5524.3515.5487.7465.5461.9440.326.519.2;422.2408.7400.5397.9392.0412.9455.7431.3463.0422.3469.1478.1436.8446.7441.4428.1449.7494.6526.3507.2473.0460.3457.7438.726.715.6;412.2403.9402.9406.0403.4401.0426.4428.5445.0415.9434.7394.4373.5385.4392.3395.1428.1457.0542.5529.8502.6472.8447.7403.529.819.2;391.0384.0380.3384.7362.8386.1435.2416.0421.4409.3421.8409.7396.3401.7393.9390.6412.5452.0437.5525.5497.6468.0443.0400.032.220.6;381.4374.6361.6341.7371.6383.0424.0422.7440.0433.3446.9442.8444.1429.4438.1435.6442.9473.7520.8501.0462.8443.3430.5404.030.416.8;368.6362.8352.7355.9351.4351.9394.8419.4476.0472.3465.1481.4470.8490.9476.9480.3498.4534.5556.5526.9489.2466.1436.2421.76.74.2;385.3376.8367.2368.8355.9374.2412.2432.5459.6435.5466.2459.9438.5447.0433.6454.0461.3503.6529.6498.3486.9438.9444.6421.311.26.1;401.4385.5376.3351.5367.6360.1404.6417.1459.2453.1462.0457.2438.2433.6446.7423.3440.0491.0537.6505.9472.4453.2433.2404.015.44.7;376.9346.5357.3336.4349.0350.5405.3401.1456.6438.7442.1450.6420.7460.8449.6438.3443.6498.1534.5496.1471.4444.0442.6394.017.95.0;372.9362.6345.7357.0343.2413.2413.4394.4414.3392.6423.1409.4394.6426.0418.0406.6447.9486.8521.6497.9464.4441.7438.9415.523.58.5;369.1350.0342.9350.2354.0360.6389.5429.2451.8438.6455.6417.2402.1414.1407.6396.0414.5461.0477.7444.2435.1403.0415.9396.417.612.9;363.3357.7341.2342.4345.0338.8369.7392.9442.8402.4435.5409.1407.4416.4430.8429.1441.1369.5475.4425.0409.3366.9382.2342.617.511.9;329.7376.5332.1312.1304.9336.9374.6410.2412.5400.7415.1421.2385.1404.9391.2387.6431.9457.2468.2428.3422.5396.2377.7361.215.611.3;346.8329.1352.0333.1330.7345.6366.3375