解决问题的策略-转化-祥案(完整版)实用资料

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一、在故事中自然地引入转化解决问题的策略转化祥案（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）课前布置学生重温“曹冲称象”的故事。师：过去我们已经接触过不少的策略，这节课我们继续来研究有关“策略”的问题。(板书课题：解决问题的策略)师：课前我们又重温了那个非常经典的“曹冲称象”的故事，让我们一起思考这样几个问题。课件呈现：(1)曹冲将称“大象”转化成了称什么?(2)为什么转化成石头?(3)为什么要在船舷上刻上那道线?(4)一定得转化成石头吗?师：曹冲将称“大象”转化成了称什么?生：曹冲将大象转化成了石头。师：原来的问题是“称大象”，可是聪明的小曹冲却将它转化成了“称石头”。为什么要转化成称石头呢?(板书：原问题新问题)生：因为大象是一个整块不好分，而石头可以分开来称。师：还有一个重要的细节——在船上做了个记号，这是为什么?生：大象在船上的时候，水面到了那里，后来石块放在船上的时候水面也到了那里，这样石块的重量就和大象的重量差不多一样。师：把大象转化成了石头，但是重量却不能变!一定得转化成石头吗?生1：不一定非得转化成石头，换成木头、铁块也都行啊……生2：我倒觉得转化成人才方便，我们可以要求观看的士兵走到船上去，这样还方便些呢，省得搬东西。(学生们都会心地笑了，响起热烈的掌声。)师：这种转化的策略对于我们的数学学习又有什么启发呢?今天我们就一起来思考怎样用转化的策略解决数学问题。(板书：转化)二、在形体中直观地感受转化1．比一比。师：这里有两幅图，它们的面积相等吗?课件呈现：(大部分学生一下子感到有些为难。)师：有同学已经想到了，但大多数同学还觉得比较困惑。谁能给大家说说这两幅困难在什么地方?生：因为它太复杂，又不规则，样子也不同，不好比。师(点点头)：怎么办呢?同桌讨论一下，每桌的两个同学老师都为你们准备了这样的两个图形(图形在信封里)，我们可以一起来看一看、想一想、画一画、折一折甚至剪一剪、拼一拼。(学生活动，教师巡视，参与学生的讨论。)师：谁愿意上来和大家交流一下你们的想法?生1：我们可以把它变成长方形来比较。学生一边说，一边在展台上演示自己的转化过程。师：是这个意思吗?课件演示：师：听了她的讲解，大家还有什么问题要问她吗?生2(对着刚才发言的学生)：你为什么要进行这种转化呢?生1：因为这个图形太复杂了，又不规则，所以我想把它转化成简单的、规则的图形。师：问题提得好，答得也精彩!(板书：复杂、简单不规则、规则)生3：你是怎么看出凸出的部分正好可以填在凹进去的部分?生1：这很简单，我们只要数数这些格子就能看出各部分的长短。师：我也可以提个问题吗?转化之后什么变了，什么没有变?生1：变化前后，虽然形状有了变化，周长也不一样了，但是变化前后的面积始终是相等的。师：说得不错，不过我还有个小建议，建议你把“变化”换成“转化”，因为转化是一种变化，但不是一种随意的变化，“变”中还有着“不变”!这里还有两幅图，它们的周长相等吗?课件演示：(学生争执不下。)师：口说无凭，到底怎样呢?下面就请大家在作业纸上自己移一移、画一画，再比一比。学生活动，教师巡视。师：现在你觉得它们的周长还相等吗?谁来说说你是怎样想的?生：只要把这些边移到外面去，就很容易看出它们的周长是不相等的。显然，第二个图的周长要长一些。学生结合自己的作业纸讲解。师：你说的是这个意思吗?第一幅图竖着的都右移，横着的都上移；第二幅图横着的都上移，竖着的都上移……显然多出了两条边，解决这两个问题我们同样用到了转化的策略。课件演示：2．理一理。师：思考刚才这些图形问题时，我们用平移和旋转的办法把复杂的不规则图形转化成简单的规则图形。我们以前研究形体问题的时候还有哪些地方也用到过这种转化的策略?(板书：平移、旋转)生1：探索三角形的面积时，就是把它转化成等底等高的平行四边形去研究的。生2：我们研究体积的时候，圆柱体的体积就是转化成长方体来研究的。课件演示：3．练一练。师：看来在过去的学习中我们已经多次用到过这种转化的策略。这儿还有一个问题，就先请大家在自己的作业纸上试一试。课件呈现：计算下面图形的周长。学生作业，教师巡视指导。师：谁来说说你们的解法?生(一边说，一边展示)：我们可以先算出中间一个小圆的周长，是3.14×4＝12．56(cm)，再算出外面一个大的半圆的周长，是3.14×2×4÷2＝12.56(cm)，然后合起来就是这个图形的周长12.56+12.56＝25.12(cm)。师(结合图展示)：是这个意思吗?巧妙地将这个不规则图形的周长转化成了一个小圆周长和一个大圆周长的一半，注意不是半圆而是圆周长的一半。课件演示：生2：我觉得还可以直接用2×3.14×4＝25.12(cm)，那个小圆的周长其实也就是大圆周长的一半，这样合起来就是一个完整大圆的周长。师：还可以这样转化——课件演示：师：如果还不清楚的同学，咱们课后再想想好吗?第一种转化是一种直观的平移转化，而第二种转化是根据圆的周长与直径的比例关系进行转化的，这种转化更抽象了!三、在计算中深入地体验转化1．理一理。师：看来呀，解决有关形体问题的时候咱们还真需要转化，解决其他问题呢?比如计算?(学生思考片刻)师：大部分同学还在思考，没关系，咱们先看这样几道计算题——(出示：7.4×2.13/8÷9/105/7+3/5)师：会算吗?生：会!师：计算这组题时用到了转化的策略吗?生1：计算5/7+3/5时是把异分母转化成了同分母的加减法。生2：第二题是把乘法转化成了除法。生3：第一题是把我们不会做的小数乘法转化成整数乘法来算的。课件呈现：师：在解决很多问题的时候我们都是把未知的新知识转化成已经会的知识去解决的。这些转化似乎没有形体中的转化那么直观了，它们的根据都是有关的性质或者规律。(板书：未知已知性质规律)2．教学“试一试”。师：普通的计算也隐藏着神奇的转化!这里还有一道计算题，我们一起来试一试——(课件出示：计算1/2+1/4+8/1+16/1)生：一样可以通分算。师：通分其实也是一种转化，把异分母分数转化成了同分母分数。这道计算题的算式看起来蛮有规律的，谁能说说它有什么规律?生：第一个是1/2，后面的每个数都是前一个数的一半。师：如果我们在这个算式的后面继续写下去应该是——生：1/32、1/64、1/128师：甚至还能写更多，这时通分还方便吗?有没有更简便的算法呢?我们还从这道简单的看起——在过去研究分数的时候我们就经常用图形来表示分数，看看这幅图能否给你一些启发(出示正方形)假如用它表示单位“1”，你能在图上把这些加数分别表示出来吗?1/2，有感觉了吗?1/4，……课件演示：(看着电脑的演示，有学生会意地笑了起来，迫不及待地想举手。)师：现在你又有什么发现了?生：我觉得它们的和就应该是15/16。师(惊讶)：为什么呢?生：整个的正方形是1，那么还剩下的就是去，那涂色得部分就是需，用算式表示也就是1－1/16＝15/16。(其他的学生都自发地鼓起掌来了……)师：有了图我们想起来就方便多了，现在再想一想1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128又该等于多少呢?生(抢着说)：1—1/128=127/128。师：真棒!这样我们就把一个六步的计算连加题转化成了一个一步计算的减法题!看来我们不仅要考虑怎样正确应用转化，还得考虑怎样转化更简洁。反思刚才的这个解题过程，我们是用画图的办法帮助我们巧妙地进行转化的，看来转化的方法还远不止我们上面说到的这些……(板书：复杂简单……)生：我还有不一样的办法——展示：1/2+1/4+1/8+1/16＝1/16+1/16+1/8+1/4+1/2－1/16＝1－1/16=151/16师：大家看明白了吗?他“借”一个壳，巧妙地实现了转化!生：我是这样解的——展示：1/2+1/4+1/8+1/16＝(1－1/2)+(1/2－1/4)+(1/4－1/8)+(1/8－1/16)＝需师：谁能用一句话评价一下她是怎样转化的?生：她把每个数都转化成了两个数的差，巧妙地实现了转化!师：看来过去学过的很多知识、方法都可能在不经意间成为我们转化的依据和手段!四、在解决问题中自觉地应用转化1．淘汰赛问题。师：解决形体问题，计算问题都用到了转化的策略，解决其他实际问题呢?这里就有一个生活中的问题，我们一起来想一想。课件呈现：大家都很关注中国足球，这是一个关于足球赛的问题：有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制(即每场比赛淘汰1支球队)进行，一共要进行多少场比赛后才能产生冠军?师(追问)：“单场淘汰制”是什么意思?生：就是每场比赛输掉的那个队就不能进入下一轮的比赛了。师：会做吗?就请大家自己在作业纸上试一试。(学生作业，教师巡视指导。)师：谁能给大家介绍一下你的方法。生1：第一轮16支球队，8场比赛，赛出8强；第二轮4场比赛，赛出4强；第三轮2场比赛；最后一场2支球队，决赛冠军!一共进行15场比赛才能产生冠军。我们可以直接写的算式8+4+2+1＝15(场)。生2：我也是15场，不过我的方法比他的好懂，我们可以画个图来表示：学生出示自己的作业：师：画图也是一种解题的方法!这个图就很好地说明了上面那种解法的内在算理。生：我还有好办法!我一步就能算出最后的答案16—1＝15(场)。(很多学生都觉得有些诧异……)师：为什么呢?生：每场比赛淘汰1支球队，最后赛出冠军时，剩下1支球队，就要淘汰掉15支队，每次淘汰1个队就需要淘汰15回，也就是共需要比赛15场。师：想得太巧了!我们都在考虑有几个队胜出的时候，他考虑的是有几个队被淘汰，思考的角度不一样，转化的方法也不一样!很多时候转化就是要换个角度去思考!如果有64支球队参加比赛，产生冠军要比赛多少场?你觉得画图还方便吗?(板书：换一个角度去思考)生：太多了，画图太麻烦。师：现在你还能直接说出结果吗?生：64—1＝63(场)。师：这个“1”指的是什么?生：最后获得冠军的那个队。师：合理的转化让我们将这个看似复杂的问题转化成了一个一步计算的问题。你们的表现太棒了！2．“人狗同行”问题。师：最后这里还有一个问题我们一起挑战一下，先请大家自由地把题目读一读。课件呈现：苏步青是我国著名的数学家，曾有人给他出过这样一道题：甲、乙两人同时从距离50千米的两地出发相向而行。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一只小狗，狗每小时跑5千米。这只狗同时和甲一走出发，当它碰到乙后，便回头跑向甲；碰到甲后又掉头跑向乙……如此下去，直到两人相遇。小狗一共跑了多少千米?(学生自由读题，有的举手，大部分显得有些为难。)师：大部分同学还在思考，谁先来告诉大家，你觉得这道题什么地方让你觉得不太好解决?生：小狗不停地往返，每段所走的路程不好求。师：第一次看到这道题时，我也是这样想的。这样我们先请一个会做的同学说说他的想法，我们思考一下：他哪里和我们想的角度不一样?生：其实这道题很简单，我们可以先用50÷(3+2)＝10(小时)，甲乙从出发到相遇共走了10小时，小狗走的时间也应该是10小时，小狗每小时走5千米，10小时一共跑了10×5＝50(千米)。师：讲得真好!苏步青爷爷当年也是这样想的，我们把最热烈的掌声送给他!他哪儿和你想得不一样?生：我们是分段思考的，他是整体思考的；我们是抓变化的路程去思考的，他却是抓住不变的时间来考虑的。师：这个解题过程，不就是一个不断转化的过程吗?其实，我们解决很多数学问题的过程不都是这样不断转化的吗?课件演示：生：我一眼就看出小狗应该走了50千米，因为小狗的速度和甲、乙的速度和一样，小狗的时间也和甲、乙一样，所以它走的总路程就应该和甲、乙走的总路程一样，是50千米。五、在反思中着力地提升转化师：同学们，不知不觉中一节课就快过去了，大家觉得时间过得快吗?有收获吗?能说说你们的体会吗?生：转化其实我们过去就用过，解决很多问题都要转化。生：转化的目的往往是为了化难为易，化繁为简，化陌生为熟悉。……师：转化是我们解决数学问题中很重要、也是很常用的一种策略。就有数学家说过这样的话——课件呈现：数学家往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，甚至把它转化为已经得到解决的问题。——匈牙利著名数学家路莎·彼得(RossPeter)这不正是我们刚才所体会到的吗?好了，这节课我们就上到这儿，下课!板书设计：[反思]策略教学不能仅仅把解决某一具体问题作为教学目标，而应让学生在解决问题的过程中形成对策略的体验，能灵活地、创造性地使用策略解决问题并理解解决同一个问题不只限于一种策略的运用，面对一个问题有时会有多种策略的综合运用，并且在提升策略时着力与数学思想贯通。学生认识、理解、掌握解决问题的策略大致经历潜意识阶段、明朗化阶段、深刻化阶段三个阶段。因此在相关策略的教学中我们也都可以按这样的三步逐渐展开：第一步，从熟悉的经验体系中提炼出相关的策略(体验策略：走出潜意识阶段)。画图、列举、倒推、转化等策略在我们专题学习之前，学生已经多次用到这种策略，只是没有明确指出而已。所以，教学中我们必须巧妙地帮助学生提取已有的经验，为新的学习服务。第二步，反思策略的运用过程体会其价值及注意点(学会策略：步人明朗化阶段)。让学生学会策略，我们必须让学生明确“什么时候适合用这个策略”，“怎样使用这个策略”，“使用时有什么注意点”等，而这些更多是依靠学生的经历、体悟，而不是空洞的说教所能解决的，因此解题过程中的反思就显得非常重要!第三步，有意识地应用策略解决实际问题(解决问题：走向深刻化阶段)。在学生比较充分地认识相关策略之后，必须安排适量的练习，对相关的策略进行强化。目前不少策略教学的研究课，练习时总体感觉好像还是在解题，而没有突出解题过程中的策略。有些课学生对策略的应用仍然停留在教师强加给学生的阶段。另外，在教学相关策略的时候我们还必须注意以下几点：1．策略教学也要让学生掌握问题的基本解法。解决问题的策略是苏教版教材的一个特色，也是一个引起小学数学教育界关注较多的内容。对它的关注反映在两个方面：一方面盛赞编得好，“学生离开学校后将所学的知识全都遗忘了，最后剩下来的就是教育”，就我们数学而言，策略可能就是最后能够留下来的东西之一。这也是对课程标准修订稿中“基本数学思想”的关注。争鸣的声音在哪里呢?就是题目太难了，有些甚至就是传统的“奥数题”。其实，这也可以理解，没有适当的难度很难让学生充分感受策略的优越性。因此这部分内容的教学不必在难度上再作更高的要求，但是已有的问题必须花真功夫让学生弄懂、弄透。2．策略教学应该贯穿在日常教学中。虽然教材中都安排了一些策略教学的单元，但是学生策略意识的形成仅仅依靠这样的两三课时，显然是不够的，它需要一个循序渐进、日积月累的过程。有些教师在教学策略单元的时候，有很强的策略意识，也能够关注策略的形成，但是在日常的教学中这种意识就淡漠了。我们在日常的教学中也应该强化一种策略意识，抓住平时教学的细微之处，有意识地引导学生逐步体会这些方法的实用性以及创造出的价值，培养良好的使用策略的能力。全美数学教师理事会《学校数学教育的原则与标准》明确指出：解决问题不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式。解决问题的策略，要结合解题活动，既利用策略解决问题，又通过解决问题体验策略。3．策略教学不必拘泥于教材明确指出的几种策略。苏教版教材第二学段每一册教材都集中安排了一些解决问题的策略单元，每个单元重点教学一种策略。其实第一学段的教学中也有策略，特别是解答两步计算的实际问题，初步形成解题思路，已经是在教学策略了。波利亚将解决问题的思维过程分为四个阶段，即弄清问题、拟订计划、实现计划和回顾，这四个阶段的思维实质可以用下列八个字来概括：理解、转换、实施、反思。解决数学问题的策略还有很多，正如前文提到的各版本的教材所编的策略也不完全相同。在教学中如果学生提到了本课教学重点以外的相关策略，我们也应该给予应有的关注和肯定，而不必回避数学思维缺欠型差生的转化策略浙江省台州市白云学校（318000）朱先东“差生”这个词听起来似乎缺乏对学生人格的尊重，不利于对学生的教育．但本文中的“差生”是有特别含义的，它是专指具有某些特征的对象，不指具体哪个学生，因而不会对学生的人格造成伤害．此外，在教育活动中，它是使用频率很高的通俗词汇，在目前流行的“代名词”中，没有一个比“差生”这个词更贴近文中的本义，而且它较容易为大众所认识和理解．差生问题，是基础教育中的一大问题．数学差生是差生中十分常见的群体，也是数学研究中非常棘手的课题．数学差生的形成原因是相当复杂的，有内因主导型（智力型：记忆障碍型、思维缺欠型、想象片面型、操作迟钝型；非智力型：兴趣缺乏型、意志薄弱型、情感障碍型、态度不端型、方法不当型）和外因影响型（受干扰型、被误导型、综合型）[1]，根据数学差生形成的原因和特征，研究数学差生的转化更富有现实意义，本文就思维缺欠型差生的转化策略谈一些自己的看法．思维缺欠型差生的概念和特征概念数学思维缺欠型差生是指由于学生思维（包括概括、抽象、推理、分析与综合）存在一个或几个缺欠，或由于学生思维品质（灵活性、广阔性、深刻性、敏捷性、批判性）不良而造成的差生．特征（1）抽象思维发展水平低．思维离不开具体的直观对象的支撑．（2）概括能力弱．从具体事物、表象进行提升中有障碍。（3）推理能力弱．数学知识、能力、方法准备不足，推理思路不明。（4）思维品质差．解决数学问题时，往往只作肤浅而呆板的思考．二．思维缺欠型差生的转化策略（一）发挥思维定势的正迁移作用思维定势是一种思维的定向预备状态．在思维不受到新干扰的情况下，人们依照既定的方向或方法去思考．美国心理学家克雷契奇说：“被定势效应抓住，对于人们解决问题策略的通常效率来说，简直是个贡献．”在某些情况下，思维定势表现为思维的趋向性或专注性，具有力求将各种各样的问题情境归结为熟悉的问题情境的趋向，带有集中性思维的痕迹．如学习立体几何，其解题的基本思路是将空间问题转化为平面问题；解方程时，通常都是将“无理”转化为“有理”，“分式”转化为“整式”，“高次”转化为“一次或二次”等．对数学差生来说，我们必须培养他们使用基础知识和运用基本技能的定势．这是因为，课本上所规定的基础知识和技能将是继续学习的重要基础，它们具有较广泛的通用性．因此，对差生进行适当的思维定势训练，能够帮助差生巩固“双基”，掌握基本的思维方法，形成解决某类问题的基本套路和一般思维策略，使思维定势产生正迁移作用．（二）培养差生的数学思维品质适当对差生进行思维定势训练，有助于提高他们的解题能力，数学学习的信心和兴趣，反之，则会强化定势负迁移的作用而导致思维呆板．数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力，而思维能力反映在通常所说的思维品质上，它是数学思维结构中重要部分，是评价和衡量学生思维优劣的重要标志．因此，在数学学习中要重视对学生良好的思维品质的培养．1．培养差生思维的广阔性思维的广阔性往往表现为能多方面、多角度去思考问题，善于发现事物之间的多方面的联系，找出多种解决问题的办法，并能把它推广到类似的问题中去．因此在解题时常表现为一题多解或一法多用．善于运用各种形式的发散思维来思考问题是思维广阔性的一种重要表现．例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE=OF（人教版八年级作业本（2）第34页）这个问题我们先引导学生用多种方法解决：方法1：证ΔAOE≌ΔCOF或证ΔBOE≌ΔBOF．方法2：证OE是ΔABC的中位线，OF是ΔBCD中位线．方法3：证OE、OF分别是Rt△AOB和Rt△COB斜边上的中线这样既可帮助差生生巩固和掌握各个定理及其内在联系，又可开拓差生的解题思路，培养解题技巧，提高差生的解题能力．2．培养差生思维的深刻性思维的深刻性往往表现为能深入地钻研与思考问题，善于抓住事物的规律和本质，而不被一些表面现象所迷惑，特别是能在学习中克服思维的表面化、绝对化与不求甚解的毛病．善于运用集中思维和分析思维是思维深刻性的主要特征．例2．找规律．（1）计算下列各算式：21×29；23×27；25×25；（2）请同学们观察各个算式，它们有什么特点？运算的结果又有什么特点？（3）你能总结出一般规律吗？请用算式表示你发现的规律，并加以证明．（4）用你发现的规律计算下列各式：18×17；42×47；25×29．（5）推广应用：计算126×128和234×237．这个问题起点低，差生经过协作学习，就能发现规律。然后再引导学生列代数式表示：（证明略）差生要做到思维深刻，在概念学习中，就要分清一些容易混淆的概念。在定理、公式、法则的学习中，要求他们完整地掌握，并领会其精神实质，切忌形式化、表面化和一知半解．3．培养差生思维的灵活性思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展和变化，及时地改变先前的思维过程，寻找解决问题的新途径．它在数学教学中活跃地表现为解题能力：即有的放矢地转化解题方法的能力；或者是指具有超脱出习惯处理方法约束的能力；还表现为从已知因素中看出新的因素，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质的能力．例3．计算本题先让学生采用常规方法计算，学生普遍感觉比较烦琐，因此我们再引导学生根据乘法交换律把转化为，然后运用乘法分配律进行计算就简便．在此基础上，我再提出：能否将中的分子8与2对调？为什么？通过对这个问题的解答，学生思维的灵活性和深刻性都得到了培养．4．培养差生思维的敏捷性思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度．敏捷是以准确为前提的，只有掌握扎实的基础知识和熟练的基本技能，达到融会贯通，才能有真正的敏捷性．善于运用直觉思维，善于把问题转换化归，善于使用数学模式都是思维敏捷性的重要表现．例4．（1）当先化简条件再代入求值较简捷．（2）已知的值，先化简求解式再用x值代入较简便．5．培养差生思维的批判性思维的批判性表现在数学学习时善于独立思考，善于质疑，能够及时发现错误，纠正错误．能够在解决数学问题的过程中不断总结经验教训，进行回顾和反思．自觉调控思维进程，自我评价解题思路或方法，辨别正误，排除障碍，寻求最佳答案．思维无批判性是差生最显著的思维特点，表现为不管对错与否，书上怎么说就怎么套，老师怎么说就怎么做；即使有错误也不去认真订正，甚至为了应付老师的任务而抄袭作业等等．要培养差生思维的批判性，就要训练差生学会多“质疑”。例5．已知三角形的面积为18，周长为12，问内切圆的半径是多少？如果形式地套用公式，其中r为内切圆的半径，A为三角形面积，p为三角形周长一半，就有=3．这个问题正确吗？然而，周长为定值的三角形中，以等边三角形面积最大，因此容易算出，周长为12的三角形的最大面积为，明显小于18．显然，原题是错误的．然后再鼓励差生改正这个问题。在实践中，我们认为出一些改错题供差生分析纠正；构造反例，驳到似是而非的命题；鼓励差生坚持“订正作业”；让差生找辅助资料的错误等一些措施，都有利于培养差生思维的批判性．（三）训练差生的发散性思维发散性思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探求新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式．它的特点是思路广阔，在思维方向上具有逆向性、侧向性和多向性，在思维内容上具有变通性和开放性．它对推广原问题、引申旧知识，发现新方法等具有积极的开拓作用，是创造性思维的重要体现．在实践中，我们非常注重对差生进行多向思维训练，即在教学过程中注重对差生进行“一题多解”、“一法多用”和“一题多变”教学．例6．对本文中例5作业题，我们在引导差生采取多种方法解题后，再进行变式教学．变式1：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC的中点，且OE=OF．求证：四边形ABCD是菱形变式2：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC的中点．连结EF，试判断EF与OB的位置关系，并说明理由．变式3：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC的中点．连结EF，你还能得到哪些结论？并说明理由．变式4：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．试判断四边形EFGH是什么四边形，并说明理由．变式5：若把条件“在菱形ABCD中”改为“在矩形ABCD中”，试判断四边形EFGH是什么四边形？若改为“在平行四边形ABCD中”呢？通过变式训练，将题目的已知条件及所求的结论作些变换，使问题发散，是培养发散性思维的重要途径．在变题的过程中，我们遵循循序渐进原则，逐步加大难度，使学生的思维得到充分发挥，这样不但充分发挥了作业题的潜在功能，而且激发差生学习数学的兴趣和热情，培养了差生思维的独创性和流畅性．（四）丰富差生的数学活动经验数学活动经验从静态上看是知识，是学生经过数学学习后对整个数学活动过程产生的认识，包括体验、感悟和经验等，虽然这只是感性的认识，但毕竟是从数学活动中得到的体验，获得的认识是有价值的．从动态上看，数学活动经验是过程，是学习个体主动运用多种感官接触外界，经过不断尝试而获得，并且后继习得的经验在学习过程中或丰富或修正或淘汰先前经验，呈动态发展．数学学习是在“学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理、交流等数学活动”中进行的，数学活动经验产生于数学学习中，因此，数学活动经验既是数学学习的产物，也是学生认识和实践的基础。例7．“三角形内角和定理”的证明。证明时，差生对这两个问题感觉比较困难：一是在哪里找到1800，二是怎样才能把三个角加起来。为了帮助差生化解这一难点，我们引导学生剪拼，在剪拼过程中保留了原有三角形的痕迹，并且突出角与角之间的拼接缝隙和剪切下来的角与原三角形中的角的关系，有利于差生观察、比较、联想。并把颜色相同两个全等三角形适当地粘合在一起，把每条边涂上不同的颜色，剪拼时，只剪切上层三角形的角，这些都可以给学生以视觉上的暗示，从而为添辅助线积累经验。（五）创设问题情境思维水平的提高是在解决问题的过程中实现的，反之，思维水平就无法提高．在实际学习中，我们经常看到差生大都不喜欢思考问题．因此在差生的头脑中制造疑难并不是件容易的事，并也不是将问题摆在他们的面前就可以了，这需要教师创设问题情境，使差生进入自相矛盾的状态才行．给差生创设情境，就必须了解差生对问题的认识水平，特别要明确其缺陷，这是在他们大脑中制造疑难的基础．差生一旦被问题所吸引，就开始思考了．因此，创设问题情境是为了激活差生的思维，使之进入思维状态、，激发学习动机。（六）突破教学难点差生在学科知识和能力等方面都存在许多缺欠，对常规问题就感到困难，面对教学难点差生更是束手无策，因此，教师在讲课时，对难点不要回避，要分析难点形成的原因，采取有效措施，帮助差生克服难点．在教学实践中我们采取以下策略：对因繁杂造成的难点，要予以分散，以求化繁为简，变杂乱为清晰；对因抽象而造成的难点，要在具体丰富的素材的基础上逐级抽象；对因知识不衔接，技能不足造成的难点，要适当补充知识、补充方法，在操作中达到一定的熟练程度；对因思维水平发展程度的限制应分阶段、分步骤要求，不可强求一步到位．思维缺欠型差生是差生转化最困难的学生，我们教师要从强化差生“智力场”，提高差生的智力水平入手，从根本上使数学差生解脱困扰，这样既提高差生的数学素养和数学能力，而且也会全面提高其他学科的学习能力。参考文献[1]任樟辉．数学思维论[M]．广西：广西教育出版社，1996．12[2]杜玉祥，马晓燕，魏立平，赵继超．数学差生问题研究[M]．上海：华东师范大学出版社，2003．5[3]郑毓信．数学方法论[M]．广西：广西教育出版社，1996．12[4]单肖天，景敏．数学活动经验及其对教学的影响[J]．北京：课程·教材·交法，2021．5《数学思维缺欠型差生的转化策略》发表在《中小学数学》09.1—2期解决问题的策略师：我们今天要学习的课题，大家一起说一遍。生：解决问题的策略【师板书：解决问题的策略】师：我们以前，学过一些解决问题的策略，学过哪些？生：画图、列表生：一一列举师：是的，我们已经正式学过了这几种策略，今天，我们要学习一种新的策略。在我们日常生活当中，经常会遇到这样的问题。【出示课件】师：这是一个将要形成的线路图，我们在看图的时候，上面是什么？生：北师：有一个班级的同学，到科技馆去参观，他们的线路图是这样的。【教师遥控课件】师：哪个同学，能看着线路图说一说，先从什么地方，往哪边，到什么地方，再怎么走，最后到达科技馆。生：先从学校向西走2格，到东环路，再向南，走5格，到汽车站，再向西走3格，到科技馆。师：参观完了之后，我们还得返回，如果要原路返回，想想看，该怎么走呢？生：从科技馆向东，先走3格，再向北走5格，然后再向东走2格，就到了学校了。师：去时的线路和返回时的线路有什么样的关系呢？生：他们刚好是相反的。师：像这种原路返回的问题，只要把原来走过的路，反过来走，也就是倒过来走，像这种思考问题的方法，在我们数学上，有一个专用的策略，叫做倒推。【板书：倒推】师：今天我们就来学习，用倒推的策略解决一些数学问题。首先请大家来看，这是一杯果汁。【课件出示一杯果汁】自己默读题目。师：看看已经知道什么，要求什么，读懂了就举手。生：杯子里原有一些果汁，喝了60毫升，又倒进去80毫升，现在杯子里有240毫升，问这杯果汁原来有多少毫升？师：知道的是现在的情况，现在杯子里有多少毫升？生：240毫升师：要求的是——原来。【板书：现在原来】跟我们以前知道原来求现在正好相反，像这样的问题，我们在解决的时候，就可以试着用——生：倒推【师板书在现在与原来之间加了一个箭头】师：这道题当中，杯子里的果汁，是怎样变化的？发生了几次变化，谁来说说看。生：发生了两次变化师：哪两次变化。生：第一次变化是喝了60毫升。第二次变化是又倒入了80毫升，现在有240毫升。【教师随着学生的发言，屏幕逐步变化】原有一些果汁→喝了60毫升→倒入80毫升→现有240毫升师：知道现在，要求的是原来。像这样的问题，你能试着来倒推一次吗？谁来说说看？你怎样倒推，求出原来的？生：先把现有的240毫升，减去倒入的80毫升。师：就是把倒入的把它——去掉，就是倒出80毫升。生：然后再加上喝了的60毫升，就等于原来有多少果汁。师：把喝了的，再倒回来，这样就可以求出原有的毫升。【指着倒推箭头图】这样的示意图，还是比较复杂的。我们能不能想出，更简便的方法，来表达出是怎样变化的呢？比如说，我们可以用一个方框，表示原来的，然后用一个箭头，他说喝了60毫升，用算的方法，就可以说，从原来里面怎么样啊？生：减掉60毫升师：得到多少？我们可以用个方框表示，然后又怎么样？同学们，拿起笔，跟老师一起来整理，在老师发给大家的纸上，最上面一道题，也像这样画了个开头，你能接下去画箭头图来整理吗？【学生画箭头图，一学生到黑板前板书】师：画完图就可以列列算式，算算原有果汁是多少毫升。算完了检验一下，看看结果符合题目要求吗？【学生列式240-80=160毫升160+60=220毫升】师：白粉笔写的，是变化的过程，黄粉笔写的，是什么过程？生：倒推师：倒推正好和原来——相反。算式中第一步为什么要减？生：因为原来是加法，倒推就要用减法师：同样，60原来是减的，倒推就要——加，大家算出来原来果汁是220毫升，这220毫升算得对不对呢？我们来检验检验看。假如原来是220毫升，减去60是160，再加上80，是240，符合题目要求吗？生：符合师：刚才每个同学都试了试，用倒推的策略来解决这道问题，那你想过没有，这道问题为什么要用倒推的策略？生：因为这道题目是描述从原来变到现在，用倒推的策略可以知道以前是什么样子的师：也就是说，知道了现在要求原来，可以从现在往原来推。师：这是这道问题，我们解决了。现在请看，如果现在不是一杯果汁，有两杯果汁在这里，告诉我们两杯果汁一共400毫升师：让我们一起来看看会发生什么变化。大家一起读一遍生：甲杯倒入乙杯40毫升师：结果呢？生：现在两杯果汁同样多师：问题是——生：原来两杯果汁各有多少毫升？师：像这样的问题，知道的是什么？要求的又是什么？生：知道两杯果汁一共有400毫升，还知道甲杯倒入乙杯40毫升后两杯同样多，求的是原来两杯果汁各有多少毫升？师：像这样的问题，是不是和我们一开始遇到的问题相类似？虽然是两杯果汁，原来各有多少毫升果汁知道吗？生：不知道师：原来是不知道的，知道的是——现在，现在两杯果汁同样多，咦，果汁变化了，什么没有变？生：【学生静静思考】生：一共多少毫升没有变。师：对，只是从甲杯里面倒了一些给乙杯。刚才我们是画这样的示意图来整理的，如果像这道题，我们来列表来整理，可以吗？生：可以师：我们试试看，假如说我们要列一个表格【教师在黑板上画表格】甲乙现在原来师：现在一杯果汁有多少，你知道吗？生：现在一杯是200毫升师：你怎么知道的？生：现在两杯同样多了，用400除以2就得到200【教师填表】师：老师写的已经够多了，接下去请同学们自己动手，在老师发给大家的纸上，先用表格整理信息，然后再倒推，倒推完了用算式算出甲杯原来多少，乙杯原来多少，现在开始。（学生倒推并列式，一学生到黑板上写）师：请大家笔先停一下，看黑板，甲这里的200+40，谁来说说看，这里为什么要加40，生：因为它原来要比200多40师：对，所以，相应的，乙这里要减40。大家检验过吗？生：检验过师：像刚才这道题，我们在用倒推的策略解决问题的时候，第一步很关键，第一步是干什么的？生：第一步是算出现在每杯有多少毫升。师：这很重要，算出每杯都是200毫升之后，然后你就倒过来推想，在倒推的时候，我们把原来一样多的，也就是要把乙杯再倒回甲杯，乙杯就变少，甲杯就变多，所以乙杯就应该是少了40毫升，甲杯就是多了40毫升师：同学们，刚才我们不知不觉已经用了二次倒推的策略，解决了两道问题了，这两道问题有什么不同的地方？生：他们不同的地方是，一个是求一杯果汁多少毫升，一个是求两杯果汁有多少毫升。师：对。一个是求一杯果汁变化的情况，第二是几个杯子？生：二个师：还有什么不同？生：第一个是喝了就喝了，倒了就倒了，第二个是果汁总量没有变化。师：那有什么相同的地方？生：都是要求原来果汁有多少毫升。师：那都知道什么？生：都知道现在，要求原来。师：因此我们都可以用——生：倒推师：这是两杯果汁的情况，如果有三杯果汁，像这样子发生变化，你们能看明白吗？经过变化之后，结果是这样子，要求的问题是这个：师：这道题，老师不做提示，请同学，同桌两个人，先互相商量，然后在老师发给大家的纸上，独立填表，再列出算式，再检验，现在开始。【学生独立填表列算式】师：哪位同学已经算好了，拿到实物投影上给大家看看。师：谁能知道她第一步求的是什么？生：现在每杯多少毫升师：现在三杯都同样多，900除以3得到现在每杯是300毫升。她先求的是？生：丙师：用300减30得270毫升，甲是300加上80得380毫升，对吗？生：对师：乙的情况比较复杂，乙经过了几次变化？生：二次师：甲先倒给乙80，乙再倒给丙30，然后大家都是300。用300减80，再加30，谁能来解释一下？生：300减80就是把甲倒给他的80先去掉，然后把给丙的30再拿回来。师：这样算到的结果是250毫升，对吗？生：对师：当然，可以先减80再加30，也可以先——生：加30再减80师：同学们，刚才这道题，我们也用了倒推的策略，如果我们把三道题对比对比，他们都有共同的地方，都是知道——生：现在师：要求——生：原来师：是的，不管是一杯还是二杯还是三杯，哪怕是四杯五杯，像这样的变化，如果也知道现在，要求原来，那么我们也用——生：倒推