流体力学第三章

流体力学第三章第一页，共七十三页，编辑于2023年，星期日

流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。静止（或者说平衡），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。静止绝对静止相对静止流体对地球无相对运动但流体对运动容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动。第二页，共七十三页，编辑于2023年，星期日本节课讨论的主要内容3.1流体静压强及其特性3.2流体平衡方程式注意梯度、旋度、微分算子等概念第三页，共七十三页，编辑于2023年，星期日3.1流体静压强及其特性一、静压强静止的流体无相互运动不表现出黏性，即不存在摩擦力（剪力），切向应力为零，只存在法向应力即压力。应力处处与其作用面垂直。流体静压强就是负的法向应力，即

第四页，共七十三页，编辑于2023年，星期日二流体静压强的特性1、流体静压强方向必然重合于受力面的内法线方向，即流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。假设：在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，与作用面的切线方向成α角切向压强pt法向压强pn则存在流体要流动与假设静止流体相矛盾第五页，共七十三页，编辑于2023年，星期日2、压强大小跟受力面位置的关系通常，压强的大小跟受力面的位置（或说方向）有关。但是对于静止流体，流体中任一点流体静压强的大小与其作用面在空间的方位无关，只是该点坐标的连续函数，也就是说，静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。第六页，共七十三页，编辑于2023年，星期日证明取如图微元面体，认为作用在各个面上的压强均匀分布的。第七页，共七十三页，编辑于2023年，星期日第八页，共七十三页，编辑于2023年，星期日Y方向上的力平衡由于因此当四面体向A点收缩时，第九页，共七十三页，编辑于2023年，星期日3.2流体平衡方程式1、平衡方程式取一个矩形微元六面体，其六个面分别与坐标轴平行，设微元中心处的压强为p，由于这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各自均匀分布，常用面向中心来代表。第十页，共七十三页，编辑于2023年，星期日而面上中心处的压强又可以围绕六面体中心做Taylor展开，并忽略二阶以上的高阶量，则A、B点的静压强为第十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期日假设为六面体的平均密度，为作用在六面体内单位质量流体上的质量力沿坐标的分力，则x方向的平衡方程为流体平衡的欧拉方程第十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期日2压强差公式及等压面静压强全微分欧拉方程代入压差公式压强相等的各点组成的面称为等压面，即作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面。第十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期日*静止流场基本特性

(1)流体静止时质量力必须满足的条件

对静力学基本方程两边取旋度，有：则有：第十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期日由于

，所以有即流体静止的必要条件。在直角坐标系中为：第十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期日例.设在一流场中有质量力：问：当λ,µ,v取何值时，该流场是静止的。第十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期日解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：对给定的质量力求偏导数：在直角坐标系中的表达式为：第十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期日将其带入流体静止条件得：第十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期日要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即:解三元一次方程组得：

只有满足上述条件时，该流场中的流体才是静止的。第十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期日(2)质量力有势

对于不可压缩流体，其密度ρ=const，则由上式其中U为标量函数。所以这是不可压缩流体静止的必要条件。两边取旋度：第二十页，共七十三页，编辑于2023年，星期日

流体质量力满足这个关系就称为质量力有势，因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件，U被称为质量力势函数。右边的负号表示质量力作正功等于质量力势的减少。②流体的密度只随压强变化的正压流场压强差公式第二十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期日总结流体静压强及其特性掌握静止的概念、静压强的特性（理解原理）流体平衡方程式（掌握、理解）第二十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期日预习3-3重力场中流体的平衡珀斯卡原理3-4液柱式测压计3-5流体的相对平衡第二十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期日3.3重力场中流体的平衡单位质量力的分力各为：代入压差公式：流体静力学基本方程式一、流体静力学基本方程式第二十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期日基本方程不同表达重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的第二十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期日物理意义单位重量流体对某一基准面的位势能单位重量流体的压强势能位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能。zc例：对于a，b两点，有重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点单位重量流体的总势能保持不变。第二十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期日考察a点和自由液面上的某点列静力学基本方程式：帕斯卡原理帕斯卡原理：施于在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。第二十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期日p02p2z2z11p1完全真空z112z2pe2/gAAA'A'基准面pe1/gpa/gp2/gp1/gp1p0p2pa几何意义1、单位质量流体所具有的能量用液柱高度来表示，称为水头。（位置水头）2、压强作用下，在完全真空的测压管中测得的高度叫压强水头。3、位置水头与压强水头的和称静水头，各点静水头的连线叫静水头线。第二十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期日(1)

在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。三个重要结论(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：自由液面上的压强p0；该点到自由液面的单位面积上的液柱重量ρgh。(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。第二十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期日二、标准大气的压强分布对流层：从海平面到11000m第三十页，共七十三页，编辑于2023年，星期日同温层：11000m到20100m,近似积分限第三十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期日三、绝对压强、计示压强①绝对压强：以完全真空为基准计量的压强。液面上的压强就是大气压强时，则a点的绝对压强为：②计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。a点的计示压强为：可正可负绝对压强小于当地大气压强的负计示压强又称真空。第三十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期日3.4液柱式测压计1、测压管结构简单，测量准确，缺点:只能测量较小的压强。2、U形管测压计测压测真空度计示压强第三十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期日测压管3、U形管压差计4、倾斜微压计5、补偿式微压计第三十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期日一.直线等加速运动容器中的静止液体一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速运动，其加速度为：

若将非惯性坐标系固定在容器上，则由达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为-a。3.5液体的相对平衡第三十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期日将上式代入基本方程得：于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和重力两部分组成：其直角坐标系下的分量式为：第三十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期日则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表示为：由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布：其中：c为积分常数，由具体问题确定。第三十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期日一般性（课本中）如图有代入下式

等压面边界条件压力方程自由液面第三十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期日例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽车以等加速度a做水平运动，车内液高H，试求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状。假定自由液面的压力为p0。→第三十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期日带入压力全微分公式：解：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质量液体受到的重力和液体的加速度分量分别为：ozaxh→由于自由液面为等压面，dp=0，所以有第四十页，共七十三页，编辑于2023年，星期日

adx=-gdz积分得

z=-ax/g+c自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程为：

说明自由液面是斜率为-a/g的倾斜平面。

此外，槽车内液体的压力分布为：第四十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期日改写成：式中

项正好等于液体自由液面以下的垂直深度h，可确定则：此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力同样只是液体深度的函数。第四十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期日练习：一加满水的柱体直径为30cm，60cm高，问逐渐加上多少加速度会溢出1/4的水量？1/2的水量？全部的水量？第四十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期日二、等角速度旋转容器中液体的平衡代入压强差公式积分边界条件

第四十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期日回顾1、重力场中流体的平衡帕斯卡原理掌握静力学基本方程式，理解其物理意义及几何意义。掌握帕斯卡原理。了解标准大气的压强分布，掌握绝对压强及计示压强。2、液柱式测压计（理解原理）3、液体的相对平衡掌握水平直线等加速运动容器及等角速旋转容器中液体的相对平和规律第四十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期日要求1、课后仔细理解书中的例题；2、复习；3、预习：第三章的剩余部分；作业：3-3,3-4,3-5,3-7第四十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期日面积矩：平面图形对某一轴的面积矩S等于此图形中各微面积与其到该轴距离的成绩的代数和，也等于此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积。合力矩定理：平面力系的合力对平面上任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。惯性矩：面积元素至y轴或z轴距离平方的乘积。平行移轴定理：该截面对P轴的截面惯性矩等于对与P轴平行的形心轴（x轴）的截面惯性矩与其截面面积和两轴（P轴和x轴）间距离平方的乘积之和。第四十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期日水平壁面的总压力

图2-22中四容器底面总压力相等（作用在容器底面的总压力不能与容器所盛液体的重力相混淆）

3.6静止液体作用在平面上的总压力第四十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期日1总压力的大小液深不同，静压强不同，但方向均垂直指向平面A，组成一平行力系。问题：平行力系的合成问题。微元面积上的压强：沿面积A积分平面A对ox轴的面积矩C为形心第四十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期日式中：Ix为平面A对Ox轴的惯性距。

由惯性距性质进一步分析可知：压力中心D永远在形心c的下方。

2总压力的作用点D（总压力的作用线与平面的交点）合力矩定理惯性矩第五十页，共七十三页，编辑于2023年，星期日根据惯性矩平行移轴定理代入第五十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期日（曲面上压力体的重力）

3.7静止液体作用在曲面上的总压力1．

总压力的大小和方向水平分力垂直分力第五十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期日总压力大小：总压力与垂线间的夹角：

第五十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期日2作用点（如图2-26）

垂直分力通过压力体重心指向受压面，水平分力通过压力中心指向受压面，总压力作用线通过两条线交点与垂线成角指向受压面，与受压面交点即为作用点。第五十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期日3压力体

如图2-27，液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重力，但并非作用在曲面上的一定是它上面压力体的液体重力。第五十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期日

3.8静止液体作用在潜体和浮体上的浮力

完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液体对它的作用力，其合力称之为浮力。表示为：其中，“-”表示dA上的压力与

相反。A为物体表面面积，为表面单位法线矢量，p为物体表面所受的压力。

第五十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期日①完全浸没物体的浮力

对于一个完全浸没在液体中的物体，物体体积为V，表面积为A液体密度为ρ，自由液体与大气接触，大气压为p0，物体表面所受压力为：以坐标原点为参数点.第五十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期日则浮力为由于p0为常数，故有

根据奥-高公式有：

上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液体的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。第五十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期日②部分浸没物体的浮力物体的浮力可写成：第五十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期日

假定沿自由液面切割物体，物体切割面的面积为A0，显然有于是A1，A0构成封闭面，应用奥-高公式有：第六十页，共七十三页，编辑于2023年，星期日上式表明，部分浸没的物体受的浮力同样等于其所排开的液体的重量，方向垂直向上。于是可将液体中的物体受的浮力写成：第六十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期日(阿基米德原理)液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开液体的重力。

课本物体浮出水面平衡，潜体物体下沉第六十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期日例3-6：如图，一矩形闸门两面受到水的压力，

闸门宽度试求作用在闸门上的总压力及其作用点。解：例题第六十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期日以上作用点是分别以闸门两侧液面交点为基准，转为以o点为基准的力矩平衡式为：第六十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期日例3-7：一柱形闸门如图，，，闸门宽度，试求作用于曲面上的总压力。解：水平分力

垂直分力

第六十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期日总压力大小、方向

第六十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期日例3-10：汽油容器底部有一的圆阀，阀芯用拽绳系于的柱形浮子上，浮子与阀芯的总质量，汽油密度，拽绳长度，试求开启圆阀的液面高度。解：浮力：向下的力：两力相等得开阀液面高度：第六十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期日本章概念汇总

1、流体静力学：研究流体处于平衡的力学规律。2、静止状态：流体相对于惯性系没有运动的状态。3、相对静止状态：流体相对于惯性系有运动，而对某非惯性系没