矩阵的秩(模板)

§7矩阵的秩《线性代数》2021/5/91一、复习引入回顾：矩阵的子块、行列式的余子式及代数余子式2021/5/92与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子块2021/5/93定义12

在一个s×n矩阵A中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列的交叉位置的k2个元素按原来的次序所组成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。显然，1、K阶子式：二、探究新知2021/5/94问：取第一、三行和三、四列的一个2阶子式，A共有2阶子式多少个？思考：矩阵A的k阶子式是唯一的吗？S×n矩阵A的k阶子式共有个例题巩固：2021/5/95矩阵A的一个2阶子式深化概念：2021/5/96定义13设A为s×n矩阵，如果至少存在A的一个r阶子式不为零，而A的所有r+1阶子式（如果存在的话）都为零，则称数r为矩阵A的秩，记为R(A).2、矩阵的秩所有r+2阶子式（有的话）会等于0吗？2021/5/97矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．探究：2021/5/98结论：根据行列式按行（列）展开Laplace定理可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．2021/5/99例：求矩阵A的秩，其中解：在

A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．三、应用新知——矩阵的秩的求法1、利用秩的定义求矩阵的秩2021/5/910例：求矩阵B的秩，其中解：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？2021/5/911结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．2021/5/912例：求矩阵A的秩，其中．分析：在

A中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．2、新知提升——初等变换法求矩阵的秩2021/5/913一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？探究：2021/5/914定理6：两个同型矩阵等价的充分必要条件是：它们的秩相等。证明思路：1、先证：

若A~B，则R(A)=R(B)

分析：只需证每一类初等行（列）变换不改变矩阵的秩就行，显然第一类和第二类初等变换不改变矩阵的秩，只就第三类初等变换来证明即可。

2、再证：若R(A)=R(B)

，则A~B

若R(A)=R(B),则A与B具有相同的等价标准型，由定理3可知A~B。

2021/5/915下面就第三类初等变换证明：若A~B，则R(A)=R(B).思路：设，考察B的任意R(A)+1阶子式|B1|：(1)若|B1|不含B的第j行，则|B1|也是A的第R(A)+1阶子式，故|B1|=0(2)若|B1|含B的第j行但不含B的第i行，由行列式的性质可知|B1|=|A1|+k|A2|，而|A1|,|A2|都是A的R(A)+1阶子式，故|B1|=0.(3)若|B1|既含B的第j行又含B的第i行，则由行列式的性质可知|B1|等于A的一个R(A)+1阶子式，故|B1|=0；则由于B的R(A)+1阶子式都为0，故.由于，同理可得.故R(A)=R(B).第三类初等变换2021/5/916结论：若A~B，则R(A)=R(B)

．应用：根据这一结论，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例：求矩阵的秩。2021/5/917解：用初等行变换把矩阵化成行阶梯形