玻色统计与费米统计

玻色统计与费米统计第一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出

对于简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。8.1热力学量的统计表达式

玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。非简并条件：或：一、非简并气体和简并气体第二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出二、热力学量的统计表达式（首先考虑玻色分布）引入巨配分函数：系统的平均总粒子数：取对数得：系统的平均总粒子数：8.1热力学量的统计表达式第三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出内能：广义力：特例：8.1热力学量的统计表达式第四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出三、熵的统计表达式8.1热力学量的统计表达式第五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录证明：玻色系统的微观状态数：8.1热力学量的统计表达式第六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出8.1热力学量的统计表达式第七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出四、费米系统费米系统，巨配分函数为：前面得到的热力学量的表达式完全适用：其对数为：8.1热力学量的统计表达式第八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出五、巨热力学势8.1热力学量的统计表达式（3）代入热力学统计公式求热力学量①量子力学的理论计算获得②分析光谱数据获得小结：求量子体系热力学函数的一般步骤（1）写出及相应简并度（2）求粒子的巨配分函数第九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出

8.2弱简并理想玻色气体和费米气体1、弱简并气体：但不可忽略的玻色气体和费米气体。以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度：在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：系统的总分子数：第十页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录被积函数的分母可表为：

8.2弱简并理想玻色气体和费米气体引入变量：则上述两式可写为：第十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出利用零级近似结果：两式相除可得：

8.2弱简并理想玻色气体和费米气体第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下，玻色气体和费米气体出现了差异。即：量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色子间则出现等效的吸引作用。第十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出8.3玻色-爱因斯坦凝聚一、理想玻色气体的性质二、化学势与基态粒子数化学势由下式决定：第十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出8.3玻色-爱因斯坦凝聚将求和改为积分：第十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出8.3玻色-爱因斯坦凝聚讨论：第十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录关键在用积分代替求和时，的项被弃掉了。

当时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。三、矛盾的原因分析8.3玻色-爱因斯坦凝聚第十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出1.01.008.3玻色-爱因斯坦凝聚第十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出8.3玻色-爱因斯坦凝聚第十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出第十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出四、玻色-爱因斯坦凝聚定容热容量为：8.3玻色-爱因斯坦凝聚第二十页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录

气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦自己已意识到这一点，他写到“这个公式间接地表达了一个确定的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响着，……”

由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。

爱因斯坦的理论为什么当年受批评？8.3玻色-爱因斯坦凝聚第二十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出

8.4光子气体一、紫外灾难

根据能量均分定理来讨论平衡辐射问题，从经典的电磁理论，空腔辐射场可分解为无穷多个单色平面波的叠加，单色波的表达式：第二十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日

因此，具有一定波矢k和一定偏振的单色平面波可以看作是辐射场的一个以为圆频率的振动自由度。计算体系该自由度的数目就可以利用能量均分定理。上一页下一页目录退出

8.4光子气体第二十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出此即为瑞利－金斯公式瑞利－金斯曲线实验曲线0

8.4光子气体第二十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录二、波动观点推导普朗克公式将空间辐射场看作线性谐振子的集合，能量是量子化：玻耳兹曼统计配分函数：振子的平均能量：1、推导过程

8.4光子气体第二十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出光子的量子态数：

8.4光子气体辐射场的内能为：此即为普朗克公式第二十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出2、讨论：（1）在的低频范围内，上式可近似为：此即为瑞利－金斯公式（2）在的高频范围内，上式可近似为：此即为维恩公式

8.4光子气体第二十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出三、光子气体的统计分布1、光子：

自旋量子数为1，为玻色子。遵守B-E分布，光子数不固定。所以B-E分布中的α=0，于是：光子气体的内能为：光子气体的压强为：

8.4光子气体第二十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出8.5金属中的自由电子气体一、电子气体的性质

模型：金属中的价电子为所有原子实所共有，而并非固定在某一原子的范围内，因此，可以近似地把这些价电子看成束缚在所有原子实形成的平均场内，就像这N个电子在体积为V的箱中的自由粒子一样。

电子的自旋量子数为1/2，简并度为：

根据费米分布，处于温度T、能量ε的一个量子态上的平均电子数为：第二十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录8.5金属中的自由电子气体1、T=0K时电子的分布fε01(1)、费米动量PF第三十页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出（2）、0k时电子的内能为：fε01（3）、0k时电子气体的压强为：

与玻色气体在0K时能量、动量和压强完全不同，费米气体在0K时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。8.5金属中的自由电子气体第三十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出弱简并条件：金属中的自由电子气体是高度简并的。而对自由电子气体：8.5金属中的自由电子气体第三十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出8.6白矮星

中年时期的恒星，其内部进行着氢聚变为氦的热核反应，热核反应所产生的向外辐射压与内向引力相抗衡。使恒星处于一个相对稳定的阶段。核心的氢燃烧形成氦的核心，氦核不断扩大。但当氦核达到整个恒星质量的10%~15%时，靠氢核聚变产生的辐射压力抵挡不住引力时，氦核开始坍塌。结果原子越来越密，引力越大，坍塌愈厉害。在巨大的压力下，原子核挤得很密，恒星温度急剧上升。恒星温度很高，其粒子的平均热能为103eV，远大于其电离能量。实际上氦以完全电离状态存在（原子已压碎）。由于密度极高，虽然在很高的温度下，电子气仍然高度简并、电子费米能量很大，于是这种高度简并电子气的压力与引力相平衡。形成一个新的稳定状态-白矮星。一、白矮星第三十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出以天狼星伴星（白矮星）为例：

每个粒子的平均热能kT=103eV，比氦原子的电离能50eV大得多，因此白矮星中的氦原子全部电离成自由电子和氦核，氦原子由两个电子和两个氦核组成，氦核由两个中子和两个质子组成，则白矮星总质量为：8.6白矮星第三十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录1、白矮星内电子气体是相对论性高度简并气体8.6白矮星

说明电子由于热运动只有极少数（费米面附近）电子可被激发到高能级参与热运动。所以白矮星电子气的费米球是较光滑的。第三十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出2、白矮星电子气的简并压与电子静止质量相应的能量：因此，相对论效应虽然显著，但还不具有压倒的影响。8.6白矮星第三十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出3、白矮星的半径上式说明质量越大的白矮星半径越小。

假设星体是球形的，由于简并压的存在：8.6白矮星第三十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出

当星体密度再增大，电子将被原子核俘获：二、中子星

中子星依靠中子简并压力来阻止强大引力造成的进一步坍缩。中子星的极端物理条件：超高密度﹑超高温、超高压、超强磁场和超辐射，在地球上无法实现，所以中子星就成了极端物理条件的实验室，帮助人们了解物质在极端条件下的运动变化规律。8.6白矮星第三十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页目录退出中子星的内部结构固体外壳液态中子固体核心8.6白矮星第三十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日上一页下一页退出目录第四十页，共四十六页，编辑于2023年，星