2023年高考数学文一轮复习第8章8.6几何法求空间角

8.6几何法求空间角INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【考试要求INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．理解异面直线所成角、直线和平面所成角和二面角的定义，并会求值．INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【知识梳理INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范围：[0，π]．INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l1，l2与同一个平面所成的角相等，则l1∥l2.(×)(2)异面直线所成角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(3)如果平面α∥平面α1，平面β∥平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补．(√)(4)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范围为[0，π]．(√)INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角或其补角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.2.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC和平面ABC所成角的正切值为________．答案2解析因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC和平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，因为AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.3.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小为________．②二面角A′－AB－D的大小为________．答案①45°②90°解析①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.题型一异面直线所成的角例1(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(5).所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).延伸探究若将本例(1)中题干条件“AA1＝eq\r(3)”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(9,10)”．试求AA1的值．解设AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(t2＋1).∴cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r(t2＋1)×\r(t2＋1))＝eq\f(9,10)，解得t＝3，则AA1＝3.(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(13,16)D.eq\f(\r(11),3)答案D解析如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．∵SE＝eq\f(1,4)SB，∴SE＝eq\f(1,3)BE.又OB＝3，∴OF＝eq\f(1,3)OB＝1.∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3eq\r(2).∵SO⊥OF，∴SF＝eq\r(SO2＋OF2)＝eq\r(10).∵OC⊥OF，∴CF＝eq\r(10).∴在等腰△SCF中，tan∠CSF＝eq\f(\r(\r(10)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2),\f(3\r(2),2))＝eq\f(\r(11),3).【备选INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】(2022·郑州模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(58),29) D.eq\f(3\r(87),29)答案C解析如图，取A1C1的中点F，连接DF，EF，CF.易知EF是△A1B1C1的中位线，所以EF∥A1B1且EF＝eq\f(1,2)A1B1.又AB∥A1B1且AB＝A1B1，D为AB的中点，所以BD∥A1B1且BD＝eq\f(1,2)A1B1，所以EF∥BD且EF＝BD.所以四边形BDFE是平行四边形，所以DF∥BE，所以∠CDF就是异面直线BE与CD所成的角或其补角．因为AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E，F分别是AB，B1C1，A1C1的中点，所以C1F＝eq\f(1,2)A1C1＝2，B1E＝eq\f(1,2)B1C1＝2且CD⊥AB.由勾股定理得AB＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，所以CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4×4,4\r(2))＝2eq\r(2).由勾股定理得CF＝eq\r(29)，DF＝BE＝eq\r(29).在△CDF中，由余弦定理得cos∠CDF＝eq\f(\r(29)2＋2\r(2)2－\r(29)2,2×\r(29)×2\r(2))＝eq\f(\r(58),29).思维升华求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角或其补角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练1(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案D解析方法一如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).方法二如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6).(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案eq\r(2)解析如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角等于异面直线AC1与BC所成的角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq\r(2)，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq\r(2).题型二直线与平面所成的角例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)证明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．(1)证明如图，连接BC1，AD1，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得EF∥BC1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1，又EF⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，所以EF∥平面A1ADD1.(2)解在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为C1D1⊥平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，所以∠C1AD1(或其补角)为直线AC1与平面A1ADD1所成的角，由题意知AC1＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，在Rt△AD1C1中，sin∠C1AD1＝eq\f(C1D1,AC1)＝eq\f(2,\r(17))＝eq\f(2\r(17),17)，即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为eq\f(2\r(17),17).【备选INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；(2)若PC＝eq\r(3)，求PC与平面PAB所成角的正弦值．(1)证明∵PD＝DC＝1，且E为PC的中点，∴DE⊥PC，又∵二面角P－CD－A为直二面角，∴平面PCD⊥平面ABCD，∵BC⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE.∵BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.(2)解若PC＝eq\r(3)，由余弦定理可求得∠PDC＝120°，过点P作PH⊥CD的延长线于H，如图，可得PH⊥平面ABCD，在Rt△PHD中，PH＝PDsin60°＝eq\f(\r(3),2)，过H点作HG∥DA，且HG与BA的延长线交于G点．可得HG⊥AB，从而PG⊥AB.在Rt△PHG中，PG＝eq\r(PH2＋HG2)＝eq\f(\r(7),2)，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，设点C到平面PAB的距离为h，则三棱锥C－PAB的体积V＝eq\f(1,3)S△ABP·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(7),2)h＝eq\f(\r(3),12)，解得h＝eq\f(\r(3),\r(7))，设PC与平面PAB所成的角为θ，sinθ＝eq\f(h,PC)＝eq\f(\r(7),7)，即PC与平面PAB所成角的正弦值为eq\f(\r(7),7).思维升华求线面角的三个步骤一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．跟踪训练2(1)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝eq\f(π,2)，则CC1与平面BC1D所成角的正弦值为________．答案eq\f(\r(3),3)解析过点C作CH⊥C1D于点H，如图，∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D，BD⊂平面BC1D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角，设AB＝2a，则CD＝eq\r(2)a，C1D＝eq\r(6)a，∴sin∠CC1D＝eq\f(CD,C1D)＝eq\f(\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(\r(3),3).(2)(2022·贵溪市实验中学模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．①求证：直线BD1∥平面PAC；②求直线BD1与平面ABCD所成角的正切值．①证明如图，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，又∵P是DD1的中点，故PO∥BD1，又∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，∴直线BD1∥平面PAC.②解在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1BD是直线BD1与平面ABCD所成的角，∵DD1＝2，BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(2)，∴tan∠D1BD＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为eq\r(2).题型三二面角例3(2022·上海市延安中学模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是正方形，平面BDEF⊥平面ABCD.(1)证明：平面ACE⊥平面BDEF；(2)若点M是线段BF上的一点，且满足DM⊥平面ACE，求二面角A－DM－B的正切值．(1)证明∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，由四边形BDEF是正方形有DE⊥BD，又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，DE⊂平面BDEF，∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC，又BD∩DE＝D，且BD，DE⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，由AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDEF.(2)解设O是AC，BD的交点，连接OE交DM于G，连接AG，如图．由DM⊥平面ACE，AG，OE⊂平面ACE，∴AG⊥DM，OE⊥DM，∴∠AGO是二面角A－DM－B的平面角，由射影定理知，OD2＝OG·OE，OD＝1，DE＝2，则OE＝eq\r(5)，OG＝eq\f(\r(5),5).∴tan∠AGO＝eq\f(AO,OG)＝eq\r(15)，∴二面角A－DM－B的正切值为eq\r(15).INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1.(1)求λ的值；(2)求二面角E－DF－C的余弦值．解(1)过E作EG⊥D1D于G，连接GA，如图．则EG∥CD，而CD∥FA，所以EG∥FA.因为EF∥平面ADD1A1，EF⊂平面EFAG，平面EGAF∩平面ADD1A1＝GA，所以EF∥GA，所以四边形EGAF是平行四边形，所以GE＝AF.因为CE＝2ED1，所以eq\f(GE,DC)＝eq\f(D1E,D1C)＝eq\f(1,3).所以eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，即eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，所以λ＝eq\f(1,2).(2)过E作EH⊥CD于H，过H作HM⊥DF于M，连接EM，如图．因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，EH⊥CD，所以EH⊥平面ABCD.因为DF⊂平面ABCD，所以EH⊥DF.又HM⊥DF，HM∩EH＝H，HM，EH⊂平面EMH，所以DF⊥平面EMH.因为EM⊂平面EMH，所以DF⊥EM.所以∠EMH是二面角E－DF－C的平面角．设正方体的棱长为3a，则EH＝2a.在Rt△DHF中，DH＝a，HF＝3a，DF＝eq\r(10)a，所以HM＝eq\f(DH·HF,DF)＝eq\f(a×3a,\r(10)a)＝eq\f(3,\r(10))a.在Rt△EHM中，求得EM＝eq\r(EH2＋HM2)＝eq\f(7,\r(10))a，所以cos∠EMH＝eq\f(HM,EM)＝eq\f(3,7)，所以二面角E－DF－C的余弦值为eq\f(3,7).思维升华作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．跟踪训练3如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.(1)求三棱锥P－AMN的体积；(2)求二面角M－AN－D的正切值．解(1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD，∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，∴PN＝eq\r(3)，M为PD的中点，VP－AMN＝VD－AMN＝VM－ADN，∴VP－AMN＝eq\f(1,2)VP－ADN＝eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).(2)如图，取DN的中点E，连接ME，∵M，E分别为PD，DN的中点，∴ME∥PN，∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD，过E作EQ⊥AN，连接MQ，又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，EQ，ME⊂平面MEQ，∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，∠MQE即为二面角M－AN－D的平面角，∴tan∠MQE＝eq\f(ME,QE)，∵PN＝eq\r(3)，∴ME＝eq\f(\r(3),2)，∵AN＝DN＝eq\r(5)，AD＝2，∴QE＝eq\f(2\r(5),5)，∴tan∠MQE＝eq\f(\r(15),4).即该二面角的正切值为eq\f(\r(15),4).课时精练1.(2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°答案B解析如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.2.如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(17),5)答案A解析根据题意，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则BC⊥AC，又由PA⊥圆O所在平面，则PA⊥BC，因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB与平面PAC所成的角，在△ACB中，AC＝3，BC＝5，AC⊥BC，则AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(34)，在△PAB中，AB＝eq\r(34)，PA＝4，PA⊥AB，则PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝5eq\r(2)，在Rt△PCB中，BC＝5，PB＝5eq\r(2)，则sin∠BPC＝eq\f(BC,PB)＝eq\f(\r(2),2).3．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)答案C解析如图所示，补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，则所求角为∠BC1D，∵BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋1－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝AB1＝eq\r(5)，易得C1D2＝BD2＋BCeq\o\al(2,1)，即BC1⊥BD，因此cos∠BC1D＝eq\f(BC1,C1D)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).4．在正四面体P－ABC中，点M是棱BC上的动点(包含端点)，记异面直线PM与AB所成的角为α，直线PM与平面ABC所成的角为β，则()A．α>β B．α<βC．α≥β D．α≤β答案C解析根据题意，如图，作PO⊥底面ABC，连接OM，则∠PMO是直线PM与平面ABC所成的角，即∠PMO＝β，过点M作l平行于AB，过点P作PN⊥l，与l交于点N，∠PMN是直线PM与AB所成的角，即∠PMN＝α，在Rt△POM和Rt△PMN中，有PN≥PO，则sinα≥sinβ，则α≥β.5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1－AB－C为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(π,4)答案D解析由图可知C1B⊥AB，CB⊥AB，所以∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角，tan∠C1BC＝eq\f(C1C,BC)＝1，所以∠C1BC＝eq\f(π,4).6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法不正确的是()A．A1C1⊥BDB．A1C⊥BDC．B1C与BD所成的角为60°D．AC1与平面ABCD所成的角为45°答案D解析对于A，如图，由正方体性质可知B1D1⊥A1C1，又因为BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以A1C1⊥BD，故选项A正确；对于B，如图，由正方体ABCD－A1B1C1D1可得CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，由选项A可知A1C1⊥BD，又A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，所以BD⊥平面A1C1C，因为A1C⊂平面A1C1C，所以BD⊥A1C，故选项B正确；对于C，如图，由选项A可知BD∥B1D1，所以∠CB1D1为直线B1C与直线BD所成的角，由正方体性质可知△B1CD1为正三角形，所以∠CB1D1＝60°，故选项C正确；对于D，如图，由CC1⊥平面ABCD，所以∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成的角，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝eq\r(2)CC1，tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CAC1≠45°，故选项D错误．7．在正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，四棱锥的体积为eq\f(4,3)，则二面角P－AB－C的大小为________．答案45°解析如图，连接AC，BD交于点E，依题意，PE⊥平面ABCD，取AB的中点F，连接FE，FP，易知AB⊥EF，AB⊥PF，则∠PFE为二面角P－AB－C的平面角，又VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2×2×PE＝eq\f(4,3)，故PE＝1，∴PE＝EF＝1，∴△PEF为等腰直角三角形，∴∠PFE＝45°.8．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，SA⊥平面ABC，且SA＝2，则AB与平面SBC所成角的正弦值为________.答案eq\f(\r(21),7)解析如图，取BC的中点D，连接AD，SD，过A作AO⊥SD，交SD于点O，连接OB，∵在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，SA⊥平面ABC，且SA＝2，∴AD⊥BC，SD⊥BC，SA⊥AD，∵AD∩SD＝D，AD，SD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥AO，AD＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，SD＝eq\r(4＋4－1)＝eq\r(7)，∵eq\f(1,2)×SA×AD＝eq\f(1,2)×SD×AO，∴AO＝eq\f(2×\r(3),\r(7))＝eq\f(2\r(21),7)，∵AO⊥SD，SD∩BC＝D，SD，BC⊂平面SBC，∴AO⊥平面SBC，∴∠ABO是AB与平面SBC所成的角，∴AB与平面SBC所成角的正弦值为sin∠ABO＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(\f(2\r(21),7),2)＝eq\f(\r(21),7).9.如图，已知在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求异面直线MD与BC所成角的余弦值；(3)求直线MD与平面ACD所成角的余弦值．(1)证明∵平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABD，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又AC⊥BC，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD.(2)解如图，取AC的中点N，连接MN，DN，∵M是AB的中点，∴MN∥BC，∴∠NMD(或其补角)为异面直线MD与BC所成的角，由(1)知BC⊥平面ACD，∴MN⊥平面ACD，MN⊥ND，∵BD＝3，AD＝1，AB⊥AD，∴AB＝2eq\r(2)，又∵AC＝BC，AC⊥BC，∴AC＝BC＝2，在Rt△MND中，MN＝eq\f(1,2)BC＝1，MD＝eq\r(AD2＋AM2)＝eq\r(3)，∴cos∠NMD＝eq\f(MN,MD)＝eq\f(\r(3),3)，即异面直线MD与BC所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).(3)解由(2)知∠MDN为直线MD与平面ACD所成的角，在Rt△MND中，ND＝eq\r(MD2－MN2)＝eq\r(2)，∴cos∠MDN＝eq\f(ND,MD)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，即直线MD与平面ACD所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3).10.如图，在三棱锥A－BCD中，△ABD为等边三角形，BC＝BD，平面ABD⊥平面BCD且BA⊥BC.(1)求证：BC⊥AD；(2)求二面角A－CD－B的正切值．(1)证明如图，取BD的中点E，连接AE，则AE⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，则AE⊥平面BCD，所以AE⊥BC，又因为AB⊥BC，AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABD，则BC⊥平面ABD，因为AD⊂平面ABD，则BC⊥AD.(2)解如图，过点E作EF⊥CD交CD于点F，连接AF，由(1)知AE⊥CD，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF，因为AF⊂平面AEF，则CD⊥AF，所以∠AFE为二面角A－CD－B的平面角．因为△ABD为等边三角形，设BD＝2，则AE＝eq\r(3)，EF＝eq\f(\r(2),2)，则tan∠AFE＝eq\f(AE,EF)＝eq\f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq\r(6).所以二面角A－CD－B的正切值为eq\r(6).11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，异面直线AB与A1C所成角的大小为eq\f(π,3)，则该长方体的侧面积与表面积的比值是()A.eq\f(4－2\r(2),7) B.eq\f(4－\r(2),4)C.eq\f(8－2\r(2),7) D.eq\f(4－\r(2),8)答案C解析如图，连接B1C，因为AB∥A1B1，所以∠B1A1C是异面直线AB与A1C所成的角，即∠B1A1C＝eq\f(π,3).设AB＝x，AA1＝y，在△A1B1C中，B1C2＝x2＋y2，A1C2＝2x2＋y2，则cos∠B1A1C＝eq\f(x2＋2x2＋y2－x2＋y2,2x·\r(2x2＋y2))＝eq\f(1,2)，整理得y＝eq\r(2)x，从而该长方体的侧面积S1＝4xy＝4eq\r(2)x2，该长方体的表面积S2＝4xy＋2x2＝(4eq\r(2)＋2)x2，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(4\r(2)x2,4\r(2)＋2x2)＝eq\f(8－2\r(2),7).12．某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E，则PE与底面所成的角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)答案A解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示﹐∠PEA为PE与底面所成的角．∵PA＝eq\r(6)，AE＝eq\r(2)，∴tan∠PEA＝eq\f(PA,AE)＝eq\r(3)，∴∠PEA＝eq\f(π,3).13．已知正四面体A－BCD的棱长为2，点E是AD的中点，点F在线段BC上，则下面四个命题中：①∃F∈BC，EF∥AC；②∀F∈BC，EF≤eq\r(3)；③∃F∈BC，EF与AD不垂直；④∀F∈BC，直线EF与平面BCD夹角正弦的最大值为eq\f(\r(3),3).所有不正确的命题序号为________．答案①③解析如图，对∀F∈BC，EF与AC异面或相交，故