2005年山东高考数学理科试题及答案

2005年山东高考数学理科第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.(1+i)2 (1-i)2(A)i(A)i(B)-i(C)1(D)-11—X/（2）函数）=——（x中0）的反函数的图象大致是x(A)(3)(B)(C)(D)已知函数）=sin（x(A)(3)(B)(C)(D)已知函数）=sin（x-白）cos（x-白）,则以下判断正确的选项是-L乙 乙(B)(C)(D)兀此函数的最小正周期为2兀，其图象的一个对称中心是（―,0）-L乙，兀…此函数的最小正周期为兀，其图象的一个对称中心是（―,0），兀此函数的最小正周期为2兀，其图象的一个对称中心是（-,0）6，兀…此函数的最小正周期为兀，其图象的一个对称中心是（-50）6(4)f(x)=sinxf(4)f(x)=sinxf(x)=-|x+1|(5)f(x)=j(ax+a-x)f(x)=In如果（3x13\,x2的展开式中各项系数之和为128,则展开式中1的系数是7-7 (C)21 (D)-21以下函数中既是奇函数，又是区间［-1,1］上单调递减的是八,、 sin(兀x2),-1<x<0,⑹函数f(x)=| ex.1, x>0,假设f(1)+为)=2,则a的所有可能值为(A(A)1 (B)-等2 2(C)1,—- (D)1,—已知向量a,b，且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的第1页（共12页）

(D)A、C、D〔A〕A、B、D(B)A、B、C(C)B(D)A、C、D〔8〕设地球半径为R,假设甲地位于北纬450东经1200，乙地位于南纬度750东经120。,则甲、乙两地球面距离为〔A则甲、乙两地球面距离为〔A〕、於R (B)1R6〔9〕10张奖券中只有3张有奖，5九口(C)--R65个人购买，2冗n(D)至R每人1张，至少有1人中奖的概率是3〔A〕3〔A〕—101(B)—12(C)11(D)—12〔10〕〔11〕〔A〕〔10〕〔11〕〔A〕充分不必要条件(C)充要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件0<〃<1,以下不等式一定成立的是〔A〕log (1-a)+log (1+a)>2(1+a)(1一a)设集合A、B是全集U的两个子集，则A(^B是("A)UB=U(B)110g(1+a)(1-a卜gg(1-a)(1+a)(B)(C)log (1-a)+log (1+a(C)log (1-a)+log (1+a)<log (1-a)+log (1+a)(1+a)(1-a)(1+a)(1一a)(D)10g(1+a)(1-a)-10g(1-a)(1+a)>|1og (1-a)-|1og(1+a)〔12〕设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l',假设l与椭圆x2+亍=〔12〕为A、B，点P为椭圆上的动点，则使^PAB的面积为1的点为A、〔A〕 1〔A〕 1(B)2(C)3(D)4第II卷(共100分)二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.「C2+2Cn-2TOC\o"1-5"\h\z(13)1im-n-n—= *na(n+1)2x2 y2(14)设双曲线一-^-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，a2 b2如果APQF是直角三角形，则双曲线的离心率e=第2页(共12页〕

x+y<5,(15)设羽y满足约束条件<3x+2y<12,八’则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点((15)设羽y满足约束条件<0<x<3,0<y<4.(16)已知m、n是不同的直线，a,P是不重合的平面，给出以下命题:①假设a//P,mua,nuP,则m//n+②假设m,nua,m//P,n//P,则a//B.③假设m±a,n±P,m//n，则a//P.④m、n是两条异面直线，假设m//a,m//P,n//a,n//P,则a//P，上面命题中，真命题的序号是.(写出所有真命的序号「上面命题中，真命题的序号是.(写出所有真命的序号「三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)〔本小题总分值12分〕已知向量m=(cos0,sin0)和n=(<'2一sin0,cos0),0e(兀,2兀)，且|m+n\=九2，^5兀一求cos(—+—)的值+28\(18)1本小题总分值12分〕1人………袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为7.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用己表示取球终止时所需的取球次数.〔I〕求袋中原有白球的个数；〔II〕求随机变量占的概率分布；〔III〕求甲取到白球的概率.(19)〔本小题总分值12分〕已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m,neR,m<0.〔I〕求m与n的关系表达式；〔II〕求f(x)的单调区间；第3页〔共12页〕

〔III〕当Xe[-1,1]时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围'(20)〔本小题总分值12分〕如图，已知长方体ABCD-A151clD],AB=2,叫=1,直线BD与平面AABB所成的角为300,AE垂直BD于E,F为11AB的中点.〔I〕求异面直线AE与BF所成的角；〔II〕求平面BDF与平面AAB所成二面角〔锐角〕的大小；1〔I〕求点A到平面BDF的距离+(21)〔本小题总分值12分〕已知数列｛〃“｝的首项4=5,前n项和为Sn,且S1=2Snn+5(neN*)〔I〕证明数列"+1｝是等比数列；〔II〕令f(x)=a1xna2x2n…nanxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1)并比较2f'(1)与23n2-13n的大小.且与直线x=-§相切，其中p>且与直线x=-§相切，其中p>0.I2〔I〕求动圆圆心。的轨迹的方程；〔II〕设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为a和P，当a,P变化且anP为定值0(0<0(兀)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.2005年高考理科数学钞山东卷"试题及答案参考答案题号123456789101112第4页〔共12页〕答案DBBDCCADDAAB〔13)3 〔14)x-T[15)(2,3)) [16)③④乙(17)〔本小题总分值12分)考查知识点：(三角和向量相结合)解法一：m+n=(cos0-sin0+、''2,cos0+sin0),|m+n|=4(cos0-sin0+2)2+(cos0+sin0)2=y'4+22(cos0-sin0)=j4+4cos(0+?=y'4+22(cos0-sin0)TOC\o"1-5"\h\z8、；2 兀、7由已知|m+n\=一5一，得cos（0+-）=云C兀、- f兀、Y又cos(0+—)=2cos2(一+—)-14 2 80兀、16所以 cos2(-+d)=W\o"CurrentDocument"2 8 255兀 0兀 9兀.,兀<0<2兀，.=——<—+—<——8 28 8/0।兀、_4.cos(一+—)———*\o"CurrentDocument"28 5解法二：|m+n|2=m2+2m•n+n2=1m12++1n122m•n=(v'cos20+sin20)2+(q(72-sin0)2+cos20)2+2[cos0(\2-sin0)+sin0cos0]=4+2<，2(cos0-sin0)=4(1+cos(0+?))=8cos2(]+^8)-8也,

+n\=一^一，得TOC\o"1-5"\h\z। ,0 兀、।4Icos(—+—)1=-28 55兀 0兀 9兀 为兀、八.・兀<0<2兀，.二一<—+—<—，.二 cos(—+—)<0\o"CurrentDocument"8 28 8 28. ，0।兀、4.・・cos(—+—)=--.28 5（18）〔本小题总分值12分）（考查知识点：概率及分布列）解：［1）设袋中原有〃个白球，由题意知：第5页（共12页）

1C2 n(n—1)n(n—1)所以n(n-1)=6，解得n=3(舍去n=-2)，即袋中原有3个白球P仁=1)=3P仁=1)=3：P(1=2)=如=2： p(3)= =°7x67 7x6x5 354X4X3X2X3 3p仁=4)= =—7x6x5x435p心5)=4X3X2X1X3」7x6x5x4x335所以，取球次数己的分布列为:112345p32〔山〕因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A,则p(A)=P“己=1"，或“纭3”，或“纭5”.因为事件“己=1"、“己=3"、"己=5”两两互斥，所以P(A)=P《=1)+P(己=3)+P《=5)=3+嘏+需=||.(19)〔本小题总分值12分〕(考查知识点：函数结合导数)〔「解：f'(x)=3mx2-6(m+1)x+n.因为x=1是f(x)的一个极值点，所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0所以n=3m+6.…、一一一,一、一 2、〔II〕解油〔I〕知f(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)x-(1+一)m八，一“ 2当m<0时,有1>1+—,当x变化时f(x)与f(x)的变化如下表:mx/ 112、(—8/+一)m1+—m(1+31)m1(1,+8)f(x)<00>00<0f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减第6页(共12页)

. 2、. -2一. .一、由上表知,当m<0时,f(x)在(-8,1+—)单调递减,在(1+—,1)单调递增，在(1,+s)单调递减.〔III〕解法一:由已知，得f'(x)>3m用mx2—2(m+1)x+2>0.m<0.2/ ,、 2八「.x2- (m+1)x+ <0.〔动即x2-2(1+—)x+—<0,xG[-1,1].mm〔动12设g(x)=x2-2(1+)x+—，其函数图象的开口向上.mm22由题意(*)式恒成立，...11由题意(*)式恒成立，...1-1<0m<—3n-4<m,又m<0.-1<0 3「.--<m<03即m的取值范围是-4<m<0+解法二：由已知倡小)>3m，即3m(x-1)x-(1+小〉3m.a<°「(.a<°「(x一1)x-1(1+・L(*)1020x=1时.(*)式化为0<1怛成立.「.m<1020x丰1时•・•xG[-1,1],-2<x-1<0.21(*)式化为一<(x-1)--

m x-1令t=x-1,则tg[-2,0)，记g(t)=t-1,t则g(t)在区间[-2,0)是单调增函数,13.二g(t)min二g(-2)=-2--2二-2•2,3 4, 「八由(*)式恒成立,必有一<--n--<m,又m<0•m2 3第7页(共12页)

4 八综上10、20知一Q<m<0.(20)1本小题总分值12分〕(考查知识点：立体几何)解法一：〔向量法〕在长方体ABCD-ABCD中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA所iiii在直线为z轴建立空间直角坐标系如图.由已知AB=2,A^=i,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(i,0,i).又AD1平面AABB，从面BD与平面AABB所成111111的角即为<DBA=30的角即为<DBA=300又AB=2,AE1BD,AE=i,AD=^3从而易得E(1,^,0),D(0,2^,0),乙乙 J〔I〕・.・AE=(1,£,0),BF=(-i,0,i).:,cos<AE:,cos<AE,BF>=AE・BF蒜网一聿【n1BF‘nB=0n1bdnBDn1BF‘nB=0n1bdnBD=0一x+x=02x-冷=0取n=(i,%'3,i),cos<m,n>=m,n_\/3_Vi5m]]n[ixJ5 5第8页(共i2页)孚0).即异面直线AE、BF所成的角为〔II〕易知平面aab的一个法向量m=(0,i,0)+i设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量.BD=(—2

即平面BDF与平面AA1B所成二面角〔锐角〕大小为arccosUpL〔111〕点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量即平面BDF与平面AA1B所成二面角〔锐角〕大小为arccosUpL〔111〕点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量元上的投影的绝对值.所以距离d=||ABi・cos<AB,n>=IAbi・JABn1 IAB|.|nIlIABnI_2_2<5ini―75—亨-2v5所以点A到平面BDF的距离为飞一.解法二：（几何法）〔I〕连结B1D1,过F作B1D1的垂线，垂足为K,丁BB1与两底面ABCD,A1B1C1D1都垂直，FB1叫] 工而.・・FK1BD}nFB1平面BDDBB1D1cBB1=bJAE1BB

1 丁―又AE1BD}nAE1平面BDDBBBcBD=BJ因此<FK//AE..・.<BFK为异面直线BF与AE所成的角.连结BK,由FK,而BDDB得FK1BK,11从而ABKF为RtA.在RtABKF和RtAB】q中，FK

BF

iADi得FKBDAD・BF~i——i—B]qAD^-AB -<3x12 : 3BK_<2一+4・•・异面直线BF与AE_<2一+4第9页〔共12页〕

〔II〕由于AD1面AAB由A作BF的垂线AG,垂足t为G，连结DG，由三垂线定理知BG1DG..・.<AGD即为平面BDF与平面AAB所成二面角的平1面角，且<DAG=90°,在平面AA1B中，延长BF与AA1；交于点S-丁F为AB的中点AF匚AB,AF=1AB,,11 1 2 1 2二A1、F分别为SA、SB的中点,即SA=2A1A=2=AB,・・・RtABAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F,即F、G重合.易得AG=AF=2SB=22，在RtABAS中，AD=3<3....tan<AGD=处=4=且,AG22 3<AGD=arctan即平面BDF于平面AA1B所成二面角〔锐角〕的大小为arctan-〔III〕由〔II〕知平面AFD是平面BDF与平面AA1B即平面BDF・・.而AFD1面BDF.在RtAADF中，由A作AHXDF于H,贝AH即为点・・.而AFD1面BDF.由AH-DF=AD-AF,得AD»AF_ 34“a _2；5DF；2—L—5'•（3<3）2+（%：2）2所以点A到平面BDF的距离为2<5.(21)〔本小题总分值12分〕(考查知识点:数列)解：由已知S.J=2S+n+5（ngN*）,第10页〔共12页〕

可得〃22,S=2S+〃+4两式相减得n zt-1S-S=2(S-S)+1即。=2(2+ln+ln nn-l n+1nTOC\o"1-5"\h\z从而a+l=2(a+1)n+l n当〃时S=2S+1+5所以q+a=2a+6又a=5所以a=112 1 2 1 1 1 2从而a+1=2(a+1)2 1故总有4+1=2(。+1),neN*又a=5,a+lwOn+l n 1 1从而3T=2即数列｛a+1｝是等比数列；a+1 〃n〔II〕由〔I)知4=3x2〃—1n因为J(x)=ax+a \-a元〃所以/'(x)=a+2ax-\ \-nax〃-i从而尸(1)=4+2a+,•,+net二(3x2-1)+2Qx22—1)+.••+〃(3x2〃-1)1 2 n二3(2+2x22+…+〃x2〃)—(l+2+...+〃)二3(〃-l)2+i-险辿+62由上2广⑴—(23〃2—13〃)=12(〃—1)・2〃-12(2侑—〃—1)二12(m—1)2—12(〃—D(2〃+1)=12(〃—1)[2及—(2-+1)[①当〃=1时,①式=0所以21⑴=23口—13〃；当〃=2时，①式=-12<0所以21(1)<23根—13〃当〃23时，〃一1>0又2〃=(1+1)=Co+Ci+—bCn-i+Cn>2〃+2>2〃+1nn n n所以(〃—1)[2〃—(2〃+1)]>0即①>0从而2/⑴>23n2-13n(22)1本小题总分值14分〕〔考查知识点:圆锥曲线)(p)解：〔I〕如图，设加为动圆圆心，*0为记为方，过点12JM作直线x二-弓的垂线，垂足为N,由题意知：第11页〔共12页)

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