第二讲整数环

第二讲整数环第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一阅读教材：

主要学习内容：1.群、环、域的基本知识2.复数域的构造（实数域的扩充）3.复数为什么不能比较大小？复数域是有序集，但不是有序域第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§1.3整数环

以自然数集为基础，用添加负整数的方法扩展到整数集并讨论整数的运算及有关性质．一、整数的概念1.负整数的引入⑴减法定义：使则⑵负整数定义：2.整数概念及其绝对值正整数、负整数和零，统称整数．整数集记为Z

第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一群Group定义1

设<G,*>是有单位元的半群。若G中每个元素都有逆元，则称<G,*>为群。在群中，通常将元素x的逆元记为x-1.要证明一个代数系统<G,*>是否是群，根据群的定义需要证明以下4点：

1)*是G上的二元运算；

2)*满足结合律；

3)关于*有单位元；

4)G中每个元素关于*有逆元。第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例

设Z是整数集合，+是整数加法，由算术知识知:

1)两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故+是I上的二元运算；

2)整数加法满足结合律；

3)取0∈Z,a∈Z,有a+0＝0+a＝a。由单位元的定义知，0是关于+的单位元；

4)a∈Z，取-a∈I，有a+(-a)＝(-a)+a＝0。由逆元的定义知I中每个元素有逆元；由群的定义知<Z,+>是群。第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一二、整数运算与整数环

环的定义设(R,⊕,⊗)是一个代数结构，若（1）(R,⊕)为交换群；（2）(R,⊗)为半群；（3）运算⊗对⊕满足分配律，则称(R,⊕,⊗)为一个环。

第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一三、整数集的性质1.Z是序集

有序集：如果存在一种关系R,集合里任意两个元素都能确定ARB或者BRA

。整数的大小顺序的定义：（教材P24）整数的顺序具有传递性和三分性，是有序集。第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一2.Z具有离散性

整数的离散性就是指在某些整数之间没有整数，例如1和2,-100和-99等；有理数的稠密性就是指任两个有理数之间必有有理数。

第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一3.Z是可列集（教材P24）可列集:如果一个无限集中的元素可按某种规律排成一个序列。每个无限集必包含可列子集，但无限集并非一定是可列集。自然数集、有理数集都是可列集。实数集、复数集、直线点集、平面点集都是不可列集（或不可数集）。

凡是能够和自然数集N建立一一对应关系的无限集是可列集．第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一四、带余除法和整除概念定理（带余除法）设，，则存在，使成立，其中是唯一的．（证明参见P24）第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§1.4有理数域

一、有理数概念二、有理数的顺序三、有理数运算与有理数域①Q含有0和单位元1②对于加、减、乘、除（除数不为零）四种运算都封闭③Q的加法和乘法都满足交换律和结合律，还满足乘法对加法的分配律∴Q是一个数域．第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一域第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一定义一个环Ｒ叫做一个除环，若１、Ｒ至少包含一个不等于零的元；２、Ｒ有一个单位元；３、Ｒ每一个非零的元都有逆元。除环的性质1、除环没有零因子2、除环的特征只能为零或者素数。一个交换除环叫做一个域。（考虑两个定义的等价性）第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一序域四、Q的性质性质1Q是有序域序域，是指一种具有关系“>”的域F,其中正元素集{x∈F|x>0}在加法和乘法下封闭。等价于在加法和乘法下：单调性成立。第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一性质2

，存在，使（阿基米德性质）性质3Q具有稠密性（教材p30）性质4Q是一个可列集（教材p30）第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§1.5近似计算一、近似值的三种截取方法二、近似值精确程度的衡量1. 绝对误差与绝对误差界

A—真值．A的近似值为，则叫做近似值的绝对误差.

尽量小的界叫做的绝对误界．叫做A的一个下界，叫做A的一个上界。第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一2. 相对误差与相对误差界近似值的绝对误差与的绝对值之比，叫做近似值的相对误差，记作即相对误差界第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一三、近似数四则运算的经验法则四、预定精确度的计算方法五、电子计算器（机）的计算功能第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§1.6实数域一、无理数的列入例证明不是有理数（教材p42）二、实数概念及其顺序叫做正实数．其中，，当时，不全为0．三、退缩有理闭区间序列(参阅教材教材p44)第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一四、实数的运算五、R的性质性质1R是一个数域，而且是一个有序域．性质2R中阿基米德性质成立：对于，使。性质3R具有连续性。性质4R是不可数集。分析：只须证明是不可数集。第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一（0,1）是不可数集证明：假设（0,1）是可数集,则（0,1）可以写成一个无穷序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）令x=0.a1a2a3a4…其中则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§1.7复数域

一、数概念与复数域的构成定义设内定了加法和乘法运算：则称集合C为复数集，其中的元素叫做复数．叫做复数的实部，叫做的虚部，并分别记作和.当且仅当时，

第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一定理关于它的加法和乘法构成复数域分析加法：满足交换律、结合律有零元；的逆元为乘法：结合律、交换律、乘法对加法的分配律．有单位元

的逆元为第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一二、数的代数形式是R0到R的一个一一映射对∴R0与R同构在同构的意义下，可以把复数与实数等同起来，即规定第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一令则其中定义叫做复数的代数式部不是零的复数叫做虚数，实部为零的虚数做纯虚数．第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一复数为什么不能比较大小？

从数的扩充原则来看，我们自然希望把实数之间的大小关系扩充到复数集上去．同时需要保留原来大小关系所具有的通常必备的一些性质．这样，把原来数集上的大小关系扩充到新数集上去的问题包括两个方面的内容．一方面是能否在原来数集上的大小关系的基础上，建立新数集上的大小关系，并使其满足顺序律；另一方面是新数集上的这种大小关系能否保留一些通常必备的性质．所谓通常必备的性质是指数的大小与数的运算之问相联系的两条性质．即所谓的单调性：

若

若

就前几次扩充数集(从自然数到整数，从整数到有理数，从有理数到实数)的结果来看，这两个方面的要求都得到了肯定的解决．也就是说，在新数集里不仅能在原有的基础上建立起满足顺序律的大小关系，而且，这种数的大小关系与数的运算联系起来考虑也还具有上面提到的两个单调性．现在对复数集来说，情形就不完全一样了．

第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一二、复数集是有序集

首先，把实数集上的大小关系扩充到整个复数集上去，并且使之满足顺序律，这是毫无困难的，而且办法还不止一种．例如，对任意的两个复数a+bi与c+di，我们规定：

若a<c，就算a+bi<c+di，

若a=c，但b<d，就算a+bi<c+di．

用语言叙述就是，两个复数当中实数部分大者，该复数就大；实数部分相等，而虚数部分的系数大者该复数就大．

如此规定的复数之间的大小关系，就实数的情形来看，与原有的大小关系完全吻合，同时又一般地满足所强调的顺序律．

第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一三、复数集不是有序域（即不能在复数集上建立大小关系）

但是，问题在于上述这种相当自然的大小关系与复数运算之间的联系已经出现不够和谐的现象．即已不可能维持所谓的单调性．这是很容易指出的．比如，按照这里的规定，对于i与0应有

0<i．于是，如果关于乘法具有单调性的话，那么就有0·i<i·i，从而0<-1第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一这与已经规定好的-l<0相矛盾．这就说明，上面规定的复数之间的相当自然的大小关系不能保持关于乘法的单调性．

其实，我们可以一般地证明，复数集上的任何一种大小关系(当然是满足顺序律的大小关系)都必须放弃对单调性的要求．换句话说，在复数集上不存在满足以下四个条件的大小关系：

第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一

1)对任意两个复数α与β，下列三个关系有且只有一个成立：

α<β;α=βα>β

2)若α<β,β<γ，则α<γ．

3)若α<β，γ为任意复数

α+γ<β+γα<β

4)若α<β，γ>O,有

α·γ<β·γ

第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一事实上，假如在复数集上能够规定一个小于关系“<”，它同时满足以上四个条件．

我们考查0与i这两个复数．由条件1)，必有0<i或者i<0．

不妨先假设0<i，那么由条件4)，则有

0·i<i·i，即0<-1．（1）

（1）式由条件4)，可得

0·(-1)<(-1)·(-1),即0<1.

第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一（1）式由条件3)，又得

0+1<(-1)+1,即1<0.

这样导致0<1与1<0同时成立．当然，这是条件1)所不容许的．

同理，i<0也是不可能的．

总之，在复数集上确实没有能使上述四个条件都被满足的大小关系．第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一尊重客观规律

概括以上讨论，对于复数之间的大小比较问题，结论是：有满足条件1)与2)的大小比较方法；没有使上述1)到4)这四个条件同时具备的大小关

系。

这样的结论似乎是令人不无遗憾的．但是，客观规律是不以人们的意志为转移的，人们只能接受客观规律，认识客观规律和运用客观规律．不过，只要不是过于保守的话，承认摆在我们面前的新事物也并不困难．因为任何事物的发生与发展都是在继承的同时，在“弃旧扬新”的过程中进行的．现在是这样，将来也还是这样．

第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一三、用向量观点处理复数1. 与复数对应的点和向量不论向量的起点在哪里，凡是相等的向量都属于同一个等价类，它们表示同一个复数．2. 复数的三角形式模：辐角主值：≤＜第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一（1）（2）（3）（4）（5）（6）为纯虚数或零3.共轭复数和模的性质的性质：第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一的性质：（1）（2）（3）（4）≤≤第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一4.复数及运算的几何意义（1）（2）的次方根（3），第三十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例1解方程例2设，求的最大值和最小值．分析：0,1,2,3,4k=第三十