微积分课件第三章第四章

14.4换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题2问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法3在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理4第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1注

“凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择是凑微分的关键.5例1

求解（一）解（二）解（三）

同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.注6例2

求解一般地7例3求积分解例4求积分解8例5求积分解类似地,9例6

求解10例7求积分解11例8

求解12例9

求解13例10求积分解14例11

求解15例12

求解16例13

求解17例14

求原式18求下列不定积分:练习19小结常见的凑微分类型有20小结21例15

求解22例16

求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.23例17

求解24例18

求解（一）（使用了三角函数恒等变形）25解（二）类似地可推出26解例19

设求.令27例20

求解28例21计算解令29例22计算解30例23计算解原式31问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法32证设为的原函数,令则则有换元公式定理233第二类积分换元公式34对积分作变换有公式第二类换元公式第二换元积分法不易计算时,可作适当变换

化为不定积分积分后再将若积分

计算,代入.35例21

求解令

回代36例22

求解令

回代37例23

求解令当38当时,令39说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令40说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式41

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例24

求（三角代换很繁琐）令解42例25

求解令43说明(4)当分母的次数较高时,可采用倒代换例26

求令解44例27

求解令（分母的次数较高）4546说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例28

求解令4748基本积分表4950例29解5151解令例30

由辅助三角形微积分基本公式:得回代5252例此题如果直接对定积分进行换元,化为新变量故积出来的原函数不必回代,下的定积分,用此法此法较为简洁!方法二则不妨与上面的运算做个比较:此法对一般的定积分计算是否成立?5353定理3则定积分换元公式设函数作变换(2)

具有连续导数,(1)

为此,下面给出定积分的换元积分法.5454证故有则由于N--L公式N--L公式则故可设f(x)在原函数,因此上面公式两边的定积分都存在.[a,b]上的一个原函数为F(x),5555注由于积分限做了故积出来的原函数不必回代(1)换元公式仍成立;(2)在定积分换元公式中,相应的改变,定积分换元公式56例31计算解：此题也可根据定积分的几何意义——以a为半径的圆的面积的四分之一，直接可得结果。57例32计算解令原式58证5960奇函数例34计算解原式偶函数单位圆的面积61证（1）设62（2）设636464周期函数的定积分公式这个公式就是说:周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.例36

如果T是连续函数f(x)的周期,则(a为任何常数),证结论成立.(1)6565周期函数的定积分公式如果T是连续函数f(x)的周期,则(2)证(a为任何常数)(1)n个定积分的积分区间可加性由公式(1)66例37设计算解：原式=67练习6868两类换元积分