数字信号处理数字滤波器的原理和设计方法

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系统输出输入差分方程H(z)以及零极点分布H(ejw)h(n)时域波形频域成分时域波形频域成分当前第3页\共有161页\编于星期四\18点4.1引言

离散时间信号在传输、检测、估计等过程中都要广泛使用数字滤波器,主要用于对信号的频谱进行加工.数字滤波器的优点:精度高稳定度高;结构组合灵活;不存在阻抗匹配问题;便于大规模集成.易实现多维滤波器.对于确定的输入和输出关系,可以用不同的结构来实现.如果不考虑量化误差的影响,不同实现方法的性能是等效的,但如果考虑量化误差,则不同实现方法的性能会有差异,因此结构很重要.当前第4页\共有161页\编于星期四\18点4.1引言

一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程其系统函数H(z)为当前第5页\共有161页\编于星期四\18点

数字滤波器的两种实现方法:1.用数字硬件构成专用的数字信号处理机(组成模型)2.编写滤波运算软件,在计算机上实现(软件工具)当前第6页\共有161页\编于星期四\18点

给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：当前第7页\共有161页\编于星期四\18点

4.2数字滤波器的表示方法及其分类

观察(4.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图所示。当前第8页\共有161页\编于星期四\18点图4.2.1三种基本运算的流图表示当前第9页\共有161页\编于星期四\18点

++1/z1/zx(n)b0a1a2y(n)x(n)y(n)b0a1a21/z1/z当前第10页\共有161页\编于星期四\18点

FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(4.2.2)式，h(n)表示为其它nFIR系统的特点：（1）h(n)为有限长的序列（2）结构中一般没有反馈环路，为非递归结构（3）系统函数H(z)只有b系数，没有a系数当前第11页\共有161页\编于星期四\18点另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为

y(n)=ay(n-1)+x(n)

其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。IIR系统的特点：（1）h(n)为无限长的序列（2）结构中一般含有反馈环路，为递归结构（3）系统函数H(z)有a系数当前第12页\共有161页\编于星期四\18点

4.3无限长脉冲响应基本网络结构

1.直接型对N阶差分方程重写如下：

当前第13页\共有161页\编于星期四\18点

当前第14页\共有161页\编于星期四\18点图4.3.1IIR网络直接型Ⅰ型和Ⅱ型结构当前第15页\共有161页\编于星期四\18点例4.3.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：当前第16页\共有161页\编于星期四\18点图4.3.2例图当前第17页\共有161页\编于星期四\18点

2.级联型在(4.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到(4.3.1)形成一个二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：(4.3.2)当前第18页\共有161页\编于星期四\18点式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：

H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(4.3.3)

式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图所示。当前第19页\共有161页\编于星期四\18点图4.3.3一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构当前第20页\共有161页\编于星期四\18点级联型的特点1.零极点的调整方便,从而容易调整频率响应特性;2.基本节之间要有电平放大或衰减,因为电平不能太大或太小以免溢出或得到小的信噪比;3.前后位置的排列,必须考虑误差效应.当前第21页\共有161页\编于星期四\18点例4.3.2设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构。解将H(z)分子分母进行因式分解，得到

当前第22页\共有161页\编于星期四\18点

3.并联型如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。

图4.3.4例图当前第23页\共有161页\编于星期四\18点式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为(4.3.4)式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(4.3.4)式，其输出Y(z)表示为

Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)当前第24页\共有161页\编于星期四\18点

并联型的特点1.极点的调整方便,但不能直接调整零点,如果需要准确传输零点,则采用级联型;2.运行速度快;3.各基本阶的误差互不影响.当前第25页\共有161页\编于星期四\18点

例4.3.3画出例题中的H(z)的并联型结构。解将例中H(z)展成部分分式形式：

将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。当前第26页\共有161页\编于星期四\18点图4.3.5例图x(n)y(n)z­1z­11680.520­16­0.520z­1当前第27页\共有161页\编于星期四\18点流图转置

b

a1a2b0b1b2z­1z­1a1b2b0b1a2z­1z­1x(n)y(n)x(n)y(n)两流图等效直接Ⅱ型直接Ⅱ型转置当前第28页\共有161页\编于星期四\18点

4.4有限长脉冲响应基本网络结构

FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为当前第29页\共有161页\编于星期四\18点

1.直接型按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构或抽头延时线滤波器或横向滤波器.图4.4.1FIR直接型网络结构当前第30页\共有161页\编于星期四\18点

2.级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例4.4.1设FIR网络系统函数H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3

画出H(z)的直接型结构和级联型结构。

当前第31页\共有161页\编于星期四\18点解将H(z)进行因式分解，得到：

H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)

其直接型结构和级联型结构如图所示。图4.4.2例图当前第32页\共有161页\编于星期四\18点3.快速卷积型

FFTFFTIFFTx(n)y(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)=Y(k)用循环卷积计算线性卷积当前第33页\共有161页\编于星期四\18点4.线性相位FIR数字滤波器的网络结构

本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。

1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为

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式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即

θ(ω)=τω,τ为常数(4.4.3)

如果θ(ω)满足下式：

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(4.4.4)

严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即当前第35页\共有161页\编于星期四\18点

也称这种情况为线性相位。一般称满足(4.4.3)式是第一类线性相位；满足(4.4.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即

h(n)=h(N-n-1)(4.4.5)

满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即

h(n)=-h(N-n-1)(4.4.6)当前第36页\共有161页\编于星期四\18点

(1)第一类线性相位条件证明：将(4.4.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(4.4.7)当前第37页\共有161页\编于星期四\18点

按照上式可以将H(z)表示为将z=ejω代入上式，得到：按照(4.4.2)式，幅度函数Hg(ω)和相位函数分别为(4.4.8)(4.4.9)当前第38页\共有161页\编于星期四\18点

(2)第二类线性相位条件证明：(4.4.10)令m=N-n-1,则有同样可以表示为当前第39页\共有161页\编于星期四\18点

因此，幅度函数和相位函数分别为(4.4.11)(4.4.12)当前第40页\共有161页\编于星期四\18点

2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点

1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(4.4.8)式，幅度函数Hg(ω)为式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为当前第41页\共有161页\编于星期四\18点

令m=(N-1)/2-n,则有(4.4.13)(4.4.14)式中按照(4.4.13)式，由于式中cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的。

当前第42页\共有161页\编于星期四\18点

2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。令m=N/2-n,则有当前第43页\共有161页\编于星期四\18点

(4.4.15)(4.4.16)n=1,2,3,…,N/2按照式（4.4.15），当ω=π时， ，余弦项对ω=π呈奇对称，因此H(π)=0，即H(z)在z=ejπ=-1处必然有一个零点，而且H(ω)对ω=π呈奇对称。当ω=0或2π时， 或-1，余弦项对ω=0,2π为偶对称，幅度函数H(ω)对于ω=0,2π也呈偶对称。如果数字滤波器在ω=π处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。当前第44页\共有161页\编于星期四\18点

令m=(N-1)/2-n，则有(4.4.17)(4.4.18)

3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(4.4.11)式重写如下：当前第45页\共有161页\编于星期四\18点

由于sin(ωn)在ω=0,π,2π处都为零，并对这些点呈奇对称，因此幅度函数H(ω)在ω=0,π,2π处为零，即H(z)在z=±1上都有零点，且H(ω)对于ω=0,π,2π也呈奇对称。如果数字滤波器在ω=0,π,2π处不为零，例如低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计，除非不考虑这些频率点上的值。当前第46页\共有161页\编于星期四\18点

(4.4.19)(4.4.20)

4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：令m=N/2-n,则有当前第47页\共有161页\编于星期四\18点

当ω=0,2π时， ，且对ω=0,2π呈奇对称，因此H(ω)在ω=0,2π处为零，即H(z)在z=1处有一个零点，且H(ω)对ω=0,2π也呈奇对称。当ω=π时， 或1，则 对ω=π呈偶对称，幅度函数H(ω)对于ω=π也呈偶对称。如果数字滤波器在ω=0,2π处不为零，例如低通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。

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奇对称单位冲击响应h(n)=-h(N-1-n)当前第50页\共有161页\编于星期四\18点

3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(4.4.7)式和(4.4.10)式，综合起来用下式表示：(4.4.21)图4.4.1线性相位FIR滤波器零点分布当前第51页\共有161页\编于星期四\18点

4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有当前第52页\共有161页\编于星期四\18点

(4.4.22)如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，(4.4.23)当前第53页\共有161页\编于星期四\18点

图4.4.2第一类线性相位网络结构当前第54页\共有161页\编于星期四\18点

图4.4.3第二类线性相位网络结构当前第55页\共有161页\编于星期四\18点

5.频率采样结构频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZT［h(n)］，(4.4.1)式中H(k)用下式表示：

(4.4.1)当前第56页\共有161页\编于星期四\18点要求频率域采样点数N≥M。(4.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请读者分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。将(4.4.1)式写成下式：(4.4.2)式中Hc(z)是一个梳状滤波器，频率响应幅度特性为半波正弦图形,其零点为当前第57页\共有161页\编于星期四\18点图4.4.3FIR滤波器频率采样结构当前第58页\共有161页\编于星期四\18点

(1)在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。

(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。当前第59页\共有161页\编于星期四\18点然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：

(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。

(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为(4.4.3)当前第60页\共有161页\编于星期四\18点另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W(N-k)N，我们将Hk(z)和

HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则当前第61页\共有161页\编于星期四\18点显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图4.4.4(a)所示。当N为偶数时，H(z)可表示为式中

(4.4.4)当前第62页\共有161页\编于星期四\18点式中，H(0)和H(N/2)为实数。(4.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图4.4.4(b)所示。图4.4.4频率采样修正结构当前第63页\共有161页\编于星期四\18点当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为(4.4.5)上图比较复杂,但所有系数是实数,另外：1.每个二阶子系统的输出都与H(k)成比例,如果H(k)的多数取样值为零,如窄带低通或窄带带通,则这种结构比直接型少用乘法器,但存储器还是要多.2.如果N阶相同,则梳状滤波器与二阶谐振网络可以公用,只需对二阶谐振网络的输出做适当调整就可以组成各种不同的滤波器,实际中是很经济的.适合时分复用的场合.当前第64页\共有161页\编于星期四\18点

确定滤波器的技术指标用一个稳定的因果系统逼近,即由指标确定H(z)确定网络结构,进行误差分析并选择存储器的有限字长数字滤波器的设计步骤:与实际应用有关本章内容上节内容以及第六章当前第65页\共有161页\编于星期四\18点

系统函数主要有两个主要特性：幅度平方响应＊相位响应或群时移当前第66页\共有161页\编于星期四\18点

11-δ1δ2ωPωTπ1+δ1技术指标的描述数字理想低通滤波器的容限

当前第67页\共有161页\编于星期四\18点

滤波器归结为技术指标的数字逼近问题FIR网络用多项式逼近H(z)或IIR网络用有理函数去逼近H(z)或当前第68页\共有161页\编于星期四\18点

IIR滤波器的设计方法：(1)以模拟滤波器函数为基础的变换法；(2)直接设计法：根据零、极点对系统特性的影响，调整零极点位置得H(z)。(3)最优化设计法：(计算机辅助设计)在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数ak、bi

对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。(参考文献1和2)本课程主要讨论第1种方法。当前第69页\共有161页\编于星期四\18点

利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器方法：1、根据所给出的数字滤波器性能指标计算出相应的模拟滤波器的设计指标。

2、根据得出的滤波器设计指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数H(S)。3、根据得出的模拟滤波器的系统函数H(S)，经某种变换得到对该模拟滤波器相应的数字滤波器H(z)。

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说明：利用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器的方法是利用了模拟滤波器成熟的设计技术。模拟滤波器特性能满足设计指标，为了使数字滤波器也能满足数字滤波要求，需要选择适当的变换关系。本章介绍的变换方法有：冲击响应不变法和双线性变换法。当前第71页\共有161页\编于星期四\18点

理想滤波器的特性及逼近方法理想滤波器特性：(1)、理想滤波器的特性：当前第72页\共有161页\编于星期四\18点

当前第73页\共有161页\编于星期四\18点

h(t)t|H(jΩ)|ΩΩc-Ωc理想低通滤波器特性：当前第74页\共有161页\编于星期四\18点

A0.707Aβ*A|H(jΩ)|ΩcΩSΩ对相位特性的逼近在一般的应用中不作要求。实际低通滤波器特性：理想滤波器特性的逼近方法：工程上是用有限冲击响应的因果LTI系统或具有连续频率特性的LTI系统来逼近理想特性。在满足一定的误差要求的情况下来实现理想滤波特性。当前第75页\共有161页\编于星期四\18点

|H(jΩ)|

Ω

Ωc10.707N=1N=2N=5巴特沃斯(Butterworth)滤波器(B型)：1、Butterworth滤波器幅度频率特性随着Ｎ的增大，曲线在截止频率附近变得越来越陡峭，在通带内的幅度接近１，阻带以更快的速度下降为０，有极点，零点在当前第76页\共有161页\编于星期四\18点

当前第77页\共有161页\编于星期四\18点

当前第78页\共有161页\编于星期四\18点

根据逼近要求通过查特性曲线或计算求取阶数Ｎ，Ωc

Butterworth滤波器的设计步骤：当前第79页\共有161页\编于星期四\18点

(3)求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由左半平面的的极点构成Ｈa(s)(4)用脉冲响应不变法或双线性变换法将Ｈa(s)转换成Ｈ(z)当前第80页\共有161页\编于星期四\18点

(5)验证技术指标。高阶Butterworth滤波器是充分带限的,所以不会有很大的混叠失真.但如果不满足技术指标,就可以采用更高阶的滤波器,或适当调整滤波器的系数加以解决.(６)画出滤波器的结构图(７)误差分析(８)硬软件实现当前第81页\共有161页\编于星期四\18点

例４.2

归一化巴特沃斯滤波器的设计将简化整个设计过程当前第82页\共有161页\编于星期四\18点

阶数Ｎ＼系数b0b1b2b3b4b5b6

11.000021.00001.414231.00002.00002.000041.00002.61313.41422.613151.00003.23615.23615.23613.236161.00003.86377.46419.14167.46413.863771.00004.494010.097814.59214.59210.09784.4940当前第83页\共有161页\编于星期四\18点

例：当前第84页\共有161页\编于星期四\18点巴特沃斯逼近法的特点1.最大平坦幅度特性显然前2N-1阶导数在Ω=0处均为零,以最大平坦特性来逼近理想低通.当前第85页\共有161页\编于星期四\18点

巴特沃斯逼近法的特点2.通带、阻带下降的单调特性3.半功率点不变特性,N改变,半功率点不变.4.可以利用归一化的模拟低通原形的系统函数来设计.

当前第86页\共有161页\编于星期四\18点

数字切比雪夫(Chebyshev)滤波器与巴特沃斯滤波器不同,切比雪夫滤波器的幅频特性在通带等波纹,在阻带单调衰减,或在通带单调衰减,在阻带等波纹.要满足相同的技术指标,切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器具有更低的阶数.更节省成本.当前第87页\共有161页\编于星期四\18点

C型N=3,ε=0.3B型N=3C型N=6,ε=0.3B型N=6对理想特性的逼近：同样阶次N，C型滤波器优于B型滤波器。特别在通带截止频率附近。两类滤波器特性比较：当前第88页\共有161页\编于星期四\18点

1.切比雪夫多项式的几种定义(1)二项式定义双曲函数当前第89页\共有161页\编于星期四\18点

双曲函数应用上常遇到的双曲函数是:双曲正弦:双曲余弦:双曲正切:下页双曲函数与反双曲函数当前第90页\共有161页\编于星期四\18点

双曲函数与反双曲函数反双曲函数双曲函数y=shx,y=chx,y=thx的反函数依次记为反双曲正弦:y=arshx,反双曲余弦:y=archx,反双曲正切:y=arthx.可以证明结束>>>当前第91页\共有161页\编于星期四\18点

当前第92页\共有161页\编于星期四\18点

|H(jΩ)|2Ω/Ωc111/(1+ε2)N=3ε=0.5N=6ε=0.32、切比雪夫(Chebyshev)滤波器幅度频率特性：当前第93页\共有161页\编于星期四\18点

N=3

N=4

N=5

N=6

3、Chebyshev低通滤波器的特点：当前第94页\共有161页\编于星期四\18点

N=3

N=4

N=5

N=6

当前第95页\共有161页\编于星期四\18点

N=3

N=3

N=6

N=6

(3)过渡带宽为csΩΩ-：

最小阻带衰耗指标sA应满足dB-ACjHscsNs£+=))(11log(10)(222ΩΩeΩ

或

dB-ACscsN£+-))(1log(1022ΩΩe。如果给定设计指标sA、sΩ、cΩ和e，则可以由此关系式确定阶数N。类似的如果用通带最大波动值cA作为设计指标，即

dB-Ac³+-)1log(102e。则得波动系数11010-£cAe。

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说明：可以证明Chebyshev滤波器特性是较佳的全极点滤波器，在满足给定的设计指标(通带和阻带逼近误差容限)中，它具有较低的阶数Ｎ。或者说，在相同的Ｎ阶全极点滤波器中，Chebyshev滤波器特性对理想特性的逼近误差较小。如果需要更加陡的过渡带衰耗特性，则需要在阻带截止频率附近设置靠近单位圆的零点。如椭圆滤波器(Cauer滤波器)等。当前第98页\共有161页\编于星期四\18点

３阶切比雪夫滤波器的极点位置极点分布在椭圆上,横坐标与小圆有关,纵坐标与大圆有关,注意2π被2N整除的角度射线与两圆相交决定横坐标和纵坐标当前第99页\共有161页\编于星期四\18点

4、Chebyshev滤波器的设计步骤：根据逼近要求通过查特性曲线或计算求取阶数Ｎ和波动系数ε，计算Ｈ（S）或者查表得Ｈ（S）．(1)设计指标：Chebyshev滤波器逼近函数有两个参数：阶数Ｎ和波动系数ε

。它们可通过给定的2个特征频率点Ωc，Ωs的参数指标Ac，As来确定。(即通频带波动和阻带衰耗值。)当前第100页\共有161页\编于星期四\18点

当前第101页\共有161页\编于星期四\18点

当前第102页\共有161页\编于星期四\18点

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（４）利用脉冲响应不变法或双线性变换法将H(s)转换为H（z）。当前第104页\共有161页\编于星期四\18点

N=4ε=0.3493N=5ε=0.3493N=6ε=0.3493当前第105页\共有161页\编于星期四\18点

N=4ε=0.3493N=5ε=0.3493N=6ε=0.3493当前第106页\共有161页\编于星期四\18点

例４.４Ｐ133P134

P135当前第107页\共有161页\编于星期四\18点

从模拟滤波器到IIR数字滤波器设计思想：

s平面z平面

模拟系统

数字系统H(z)的频率响应要能模仿H(s)的频率响应，

即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆因果稳定的H(s)映射到因果稳定的H(z)，

即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的单位圆内|z|<1当前第108页\共有161页\编于星期四\18点

冲激响应不变法数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应1、变换原理T—抽样周期当前第109页\共有161页\编于星期四\18点

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2、混迭失真仅当数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为

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脉冲响应不变法的频率混叠现象当前第112页\共有161页\编于星期四\18点

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小当滤波器的设计指标以数字域频率给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象当前第113页\共有161页\编于星期四\18点

3、模拟滤波器的数字化方法当前第114页\共有161页\编于星期四\18点

当前第115页\共有161页\编于星期四\18点

系数相同：极点：s平面

z平面稳定性不变：s平面z平面当前第116页\共有161页\编于星期四\18点

当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：当前第117页\共有161页\编于星期四\18点

试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则当前第118页\共有161页\编于星期四\18点

模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：数字信号处理内容扫描\第四章\第四节\Scan0123.tif当前第119页\共有161页\编于星期四\18点

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4、优缺点优点：缺点：保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好当前第121页\共有161页\编于星期四\18点

定义变换式：为双线性变换对于一个模拟滤波器系统函数

通过变换可得到相应的数字滤波器系统函数:双线性变换法当前第122页\共有161页\编于星期四\18点

说明：双线性变换是针对基本单元S-1得出的，如果模拟滤波器的逼近函数是有理分式，则变换所得的数字滤波器系统函数H(z)是Z-1的有理分式。它是否是一个因果稳定的LTI系统，需要对映射关系进行分析。

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6.6.2双线性变换的映射关系：1、s平面与z平面的映射关系：当前第124页\共有161页\编于星期四\18点

当前第125页\共有161页\编于星期四\18点

双线性变换的频率坐标关系：当前第126页\共有161页\编于星期四\18点

频率坐标关系图ωΩπ-π当前第127页\共有161页\编于星期四\18点

低通滤波器当前第128页\共有161页\编于星期四\18点

正切变换实现频率压缩：

式中T仍是采样间隔，当Ω1从-π/T经过0变化到π/T时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有

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再通过转换到z平面上，得到：

当前第130页\共有161页\编于星期四\18点

下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。双线性变换法的映射关系当前第131页\共有161页\编于星期四\18点

当前第132页\共有161页\编于星期四\18点

双线性变换法设计可得稳定但有畸变的数字滤波器。如果选择变换常数CT=2/T，则变换后仅低频段特性较好。为了保证数字滤波器特性在要求的特征频率点上的特性指标，需要采用予畸方法。4、双线性变换的予畸方法：当前第133页\共有161页\编于星期四\18点

当前第134页\共有161页\编于星期四\18点

双线性变换法设计步骤：（予畸设计方法）当前第135页\共有161页\编于星期四\18点

例4.3当前第136页\共有161页\编于星期四\18点

当前第137页\共有161页\编于星期四\18点

当前第138页\共有161页\编于星期四\18点

z-1z-1z-1z-10.0680.1340.0681.142-0.413x(n)y(n)采用直接实现方框图：当前第139页\共有161页\编于星期四\18点

数字滤波器指标模拟滤波器指标模拟原型低通数字原型低通模拟频率变换非低通型基本数字滤波器模拟/数字变换数字频率变换4.5IIR滤波器的频率变换为了得到其他基本类型的数字滤波器，可以先用以上介绍的设计方法设计出低通滤波器，再经过变换来得到。当前第140页\共有161页\编于星期四\18点

说明：具体的变换方法有两种：模拟变换与数字变换；两种变换都是先利用模拟低通滤波器的设计方法得到模拟原型低通函数Ha(s)；模拟变换方法是把模拟原型低通函数Ha(s)变换成模拟非低通实际滤波器H(s)，再经过S→Z映射变换得到非低通基本数字滤波器H(z)。数字变换方法是先把模拟原型低通函数Ha(s)经过S→Z映射变换得到数字原型低通Hl(z)，再经过数字/数字频率变换得到非低通实际数字滤波器H(z)。当前第141页\共有161页\编于星期四\18点

模拟变换方法1、由低通原型滤波器到其他基本类型滤波器的变换式：当前第142页\共有161页\编于星期四\18点

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2、实际模拟滤波器设计步骤：实际滤波器指非低通型的其他基本类型滤波器。(高通、带通、带阻)(1)由频率坐标变换关系把实际滤波器设计指标变换成相应的原型低通滤波器的设计指标。使用频率坐标变换关系：Ω

→λ(2)设计