第九章湍流流动与换热

第九章湍流流动与换热第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-1湍流的基本概念

9-1-1层流到湍流的过渡1883年，雷诺通过对管内流动状态的观察和研究，首先发现了流态分为本质上的不同的层流和湍流。由层流过渡到湍流的原因十分复杂，一般可以理解为是微小的扰动在一定条件下被放大，使层流失去稳定性，成为湍流。引起扰动的因素主要有来流的不均匀性、流体中杂质引起的物性的突变、来流温度的不均匀。影响层流过渡到湍流的因素还包括自由流的压力梯度、表面粗糙度、传热量等以及湍流强度。层流过渡到湍流是在一个区域内逐渐完成的，该区域称为过渡区。过渡开始时的雷诺数称为临界雷诺数Recr，不同的流动方式有不同的临界雷诺数：一般管内流动取Recr=2300～104，外掠物体时取Recr＝6×104～5×106。如果湍流强度很低，表面很光滑，则临界雷诺数可以提高几个数量级。一些研究者用激光对直管进行研究，发现临界雷诺数可达几十万。层流向湍流的过渡有几个特征：边界层厚度迅速增加(如图9-1所示)；速度分布由层流时的布劳修斯分布变得较平坦，最终趋于1/7次方指数分布；边界层的位移厚度与动量厚度之比急剧下降。粘性流体稳定性理论认为，层流向湍流的过渡是发生在局部地点的现象，因而不少研究者采用边界层动量厚度作为临界雷诺数的定型尺寸。第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-1湍流的基本概念

第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-1湍流的基本概念

9-1-2湍流结构及时均描述方法

湍流对流换热是近年来的主要研究课题之一，许多研究者对湍流传热问题给出了系统的总结。纵观湍流传热的研究历史，一个世纪以来，始终遵循雷诺、布斯涅斯克和普朗特提出的理论。由层流到湍流的过渡是一个十分复杂的过程，对这个区域的研究仍是当代学者的主要任务之一，目前尚无较准确的描述，因而以后篇幅所涉及的均是旺盛湍流。湍流是一种随机、非定常的、三维有旋流动，由各种尺寸的涡组成。涡是三维的，其大小、强度及其产生的地点、周期均不规则。Bejan认为湍流具有大尺度上的相同结构。一般解决湍流传热问题的基本方式与过去讨论的层流问题一样、是基于时间平均法则的描述。实验研究表明．湍流中涡团的尺度远大于分子平均自由行程，连续介质假设仍然成立。第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一根据雷诺提出的时均化法则，描述湍流流动与换热的物理量的瞬时值ф时可以用时均值与脉动值之和表示。如图9-2所示。即

(9-1-1)其中时均值定义为

(9-1-2)时均值随时间变化的湍流称非稳态湍流，不随时间变化的湍流称为稳态湍流。9-1湍流的基本概念

第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-1湍流的基本概念

第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一时均法则的基本出发点是一段时间内脉动量的时均值为零，即

(9-1-3)即

(9-1-4)类似地可以得到一系列时均法规则。流体的湍流强度通常用下式表示:(9-1-5)

若，则称为各向同性湍流。9-1湍流的基本概念

第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一对于常物性的不可压缩流体，其连续性方程为

湍流流动中，u、v、w均为瞬时值，按雷诺时均法则，它们可以表示为时均值与脉动值之和，即将以上各式代入连续性方程，并作时均运算得

9-2湍流微分方程

第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一展开为根据时均法则，脉动项的时均值为零，得（9-2-1）上式与层流具有同样的形式，只是速度采用时均值。x方向的动量方程(6-2-8)很容易改写为（9-2-2）利用时均法则得到（9-2-3）9-2湍流微分方程

第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一展开上式，并应用时均法则，有（9-2-4）将式(9-2-1)代入上式，得（9-2-5）类似地可以得到y、z方向的时均形式的动量方程：（9-2-6）（9-2-7）9-2湍流微分方程

第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一同样可以获得时均形式的能量方程：（9-2-8）式(9-2-5)～(9-2-7)称为雷诺时均方程。与层流的N-S方程相比，湍流的雷诺方程增加了由速度脉动值构成的附加项。由这些脉动引起的附加应力称为雷诺应力或湍流应力：（9-2-9）式(9-2-8)称为湍流能量方程。同样，与层流方程相比，增加了与速度温度脉动有关的附加项，称为雷诺热流，即（9-2-10）若考虑的是不可压缩湍流，二维稳态的湍流边界层流动方程组进步化简为9-2湍流微分方程

第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一

(9-2-11)

(9-2-12)

(9-2-13)边界层外伯努利方程仍然适用，即

(9-2-14)式(9-2-13)、(9-2-14)称为湍流边界层时均方程组。无论是湍流时均方程组还是湍流边界层时均方程组，均是不封闭的，除层流方程中出现的u、v、w、p和t等未知量外，还增加了雷诺应力和雷诺热流，因而解决湍流问题的途径必须附加相应数目的方程，使方程组封闭。目前附加方程均是以半经验理论为依据的。9-2湍流微分方程

第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3-1湍流应力与湍流热流1877年布斯涅斯克提出，湍流应力与速度梯度的关系可以按粘性应力的形式表示，即（9-3-1）9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一其中ηt称为湍流动力粘度，称为湍流运动粘度或湍流动量扩散率。类似地，湍流热流可表示为（9-3-2）9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

考虑上一节结出的湍流边界层时均方程，湍流应力和湍流热流可以表示为（9-3-3）（9-3-4）显然，类比的概念与形式较容易接受，但物理本质上湍流应力与湍流热流同粘性应力与分子扩散有根本的区别。对于湍流，ηt的大小不仅同脉动有关，还与时均速度有关，已不是流体物性；同样，at也不是流体的特性，布斯涅斯克理论只是进一步简化时均方程以使之便于封闭。第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

9-3-2普朗特混合长度理论根据1925年普朗特提出的动量混合长度理论，可以讨论湍流运动粘度νt的数量级。如图9-3所示，假设位于y层的流体微团的x方向的时均速度为。由于横向脉动，微团移向壁面到达位置，此处微团的时均速度是，是微团保持仍被识别的混合长度。假设流体微团从y到仍保持x方向动量不变，x方向的速度脉动的数量级显然是，即（9-3-5）第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

由连续性力程可知，横向脉动速度与有相同的数量级：（9-3-6）显然有

（9-3-7）根据湍流应力定义，有（9-3-8）式中l为普朗特混合长度。第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

不同的流动有不同的混合长度，不存在确定混合长度的通用准则，它与物性和速度无关，只取决于流体微团脉动的距离，或者是与流场某个特征尺寸有关。对于湍流边界层流动，普朗特假定它和距壁面的法向距离成正比：（9-3-9）式中k称为冯·卡门常数。代入式(9-3-8)得到（9-3-10）对于湍流边界层流动，在区域，；当时，l近似为常数，即（9-3-11）普朗特混合长度理论，用简单的代数关系式将湍流动量扩散率与时均速度联系起来，而未附加新的微分方程来确定νt，故称为零方程模型。第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

在理论方面，普朗特混合长度理论仍有缺陷。在管内流动的中心线上，，νt应为零，但这与实验结果不符。在其它一些情况，如射流等，这一理论也不能解释实验现象。此外，卡门等也提出了自己的零方程模型，但同样也存在各自的不足，详细讨论可参阅文献。9-3-3湍流的—方程模型从前面的分析不难看出，混合长度理论的基础是布斯涅斯克湍流应力假设。它将νt与时均速度关联起来，只考虑了几何位置和时均速度分布的影响，而未涉及湍流自身的特性1945年，普朗特首先提出了所谓—方程模型，认为分子微团的脉动具有一定的动能。若定义湍流脉动动能为（9-3-12）第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

以湍流脉动动能的平方根作为湍流脉动的特征速度，普朗特和科合莫可洛认为、湍流动量扩散率与湍流动能K的特征速度成正比，即（9-3-13）式中L为湍流脉动尺度，为实验确定的系数。应用布斯涅斯克假设以及式(9-3-13)确定的湍流应力，又增加了未知量K、L，因而必须附加求解K和L的方程，方能使方程组封闭。K的表达式可以根据N-S方程的瞬时表达式和时均形式导出(详细推导参阅文献)：（9-3-14）第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介

式中p为湍流生成项，是湍流应力在时均场中作的变形功：（9-3-15）湍流应力可用式(9-3-13)确定，式(9-3-14)中的最后一项计入湍流耗散项：（9-3-16）

K方程中的σt称为脉动动能的普朗特数，值取为1.0左右；CD的数值范围是0.08～0.38。湍流尺度L可以由实验确定或根据普朗特混合长度计算，因而附加方程中只有K方程是微分形式，故称为—方程模型。这种模型适用于计算边界层流动。第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介9-3-4K-ε模型由式(9-3-16)可知，K、ε、L之间存在一定关系，只有两个变量是独立的，因此可以用K、ε来代表K、L：（9-3-17）式中。K方程(9-3-14)可以表示为（9-3-18）第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-3湍流半经验理论与湍流模型简介类似地可以得到耗散率方程：（9-3-19）这样，湍流时均方程组附加K方程和ε方程就构成了封闭方程组。由于在这一湍流模型中，采用了K方程和ε方程，因此称为K-ε方程模型。模型中有关系数见表9-1。表9-1湍流中各系数的数值表9-1给定的有关系数的数值是由一些特定实验确定的，有一定的适用范围．通常K-ε模型及表9-l称为高雷诺数模型，仅适用于距壁画一定距离的湍流区域。在贴壁处的粘性底层，湍流雷诺数较小，应考虑分子影响，需进行修正。对于湍流自然对流，则应采用低雷诺数模型，并考虑浮升力对K、ε方程的影响。第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

9-4-1湍流边界层速度分布本章第二节已述，常物性不可压缩流体的二维稳态湍流边界层时均方程为（9-4-1）第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

当，湍流强度时，如果沿流动方向压力梯度为零，则动量方程右侧只有摩擦项。图9-4给出了边界层流动的实验结果。从实验结果分析已知，在离壁面足够近的区域，惯性项很小，速度脉动也较小，时均速度梯度较大。随着距壁面距离的增加脉动加强，达到最大值后又逐渐减少，直到主流区，时均速度梯度趋于平坦。这样，沿平壁法向可以将湍流边界层分为两个区域：内层区和外层区(或壁区和尾迹区)。内层区(壁区)约占边界层厚度的20％，其中大部分处于湍流状态，只是紧靠壁面处，湍流应力减弱，粘性应力起主导作用。这一薄层称为粘性底层．如图9-4。而在外层区，湍流应力仍是主要的，但时均速度梯度比壁区小、意味着外层区湍流的生成项所占比例也小。第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

实验表明，壁区流线基本上平行于壁面，沿x方向。由连续方程，速度分量亦为零。对于外掠平板边界层流动则有（9-4-2）表明硅区外掠平壁湍流边界层流动的总应力与距壁而的距离y无关，而等于壁画处的切应力τw，即（9-4-3）第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

显然，具有速度的量纲，称为摩擦速度，用表示。引入无量纲参数式(9-4-3)改写为（9-4-4）

式中只是的函数。给出合适的νt模型，通过积分式(9-4-4)，可以得到靠近壁面区域的无量纲速度分布。普朗特将壁区分为两层：粘性底层和湍流核心区。在粘性底层ν>>νt，式(9-4-4)简化得到（9-4-5）在湍流核心区ν<<νt，式(9-4-4)简化为（9-4-6）第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

代入普朗特混合长度式(9-3-1)，有（9-4-7）从粘性底层外缘开始积分，由式(9-4-5)已知，，到湍流核心区（9-4-8）或（9-4-9）上式即为壁面定律．式中A、B为常数，近似为，（9-4-10）粘性底层厚度取，。在粘性底层与湍流核心区边界附近，模型与实验结果有明显的偏差，主要是因为ν和νt均不能忽略。此外，壁区的速度分布可以推广到管流中。求解湍流边界层的动量方程，采用指数形式较为方便，推荐的近似速度分布为（9-4-11）第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

9-4-2湍流边界层流动的近似解常物性不可压缩外掠平壁的湍流边界层流动的时均方程为应用类似于层流边界层积分方程的求解方法，得到（9-4-12）因为壁面，边界层外缘，，上式简化为（9-4-13）第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热

考虑壁面处，进一步得到（9-4-14）与层流形式完全相同，只是速度是时均形式。求解时，近似用指数形式的速度分布，式(9-4-11)变为

（9-4-15）（9-4-16）第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热则（9-4-17）因为，有（9-4-18）代入式(9-4-14)，积分得到（9-4-19）第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热若边界层在x=0处开始，c=0，则（9-4-20）（9-4-21）平均摩擦阻力系数（9-4-22）若系数取0.074，在范围内与实验吻合很好。第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热9-4-3外掠平壁换热流体外掠平壁与壁面对流换热时，热边界层逐渐加厚，由层流过渡到湍流。除非工质属低Pr数范围，否则湍流边界层中大部分区域湍流扩散传递起主要作用，并认为湍流热扩散率近似等于湍流动量扩散串，即vt=at，称为雷诺比拟，Prt=1，即速度边界层与热边界层厚度相等。若流体速度较高，则湍流前的层流段很短，可近似认为整个边界层均处于湍流。大量实验表明，雷诺比拟并非处处成立。在近壁处Prt

>1，边界层大部分区域Prt

0.9，而管内流动的中心处Prt

0.7，但取Prt=1可使问题简化。

第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热壁面处的温度分析：y方向的一维热流密度（9-4-23）或

（9-4-24）当y不大时，认为q保持不变，并等于壁面处的数值，即

q=qw

（9-4-25）取无量纲参数（9-4-26）第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热将式(4-4-24)、(4-4-25)代人式(4-4-23)得到（9-4-27）一般将边界层分为三个区域：粘性底层缓冲层

湍流核心

边界层的总温差由三部分组成，即

第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热写成无量纲形式，为（9-4-28）下标s、b、t分别表示粘性底层，缓冲层和湍流核心层。在粘性底层，at

a，式(9-4-26)简化为则（9-4-29）缓冲层（9-4-40）第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热令τ=τw，无量纲化，有（9-4-31）由流体力学可知，缓冲层的速度分布为即代入式(9-4-30)，得若Prt为常数，则有

第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热湍流核心区，分子扩散可以忽略，即即（9-4-32）考虑式(9-4-29)，有（9-4-33）若Prt为常数，则将边界层三层的温差相加，得到总温差（9-4-34）第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热由考虑牛顿冷却公式得到进一步有由于

得到第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-4湍流边界层流动与换热若Pr=1近似有

（9-4-35）将式(9-4-21)的解代入雷诺比拟，有（9-4-36）整个壁面长度的平均换热关联式为（9-4-37）若壁面为常热流状况，则（9-4-38）第四十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-5管内湍流流动与换热

9-5-1管内湍流流动若物性是常数，湍流的速度场和温度场可以分别求解。管内湍流充分发展时，，描述管内湍流的二维轴对称流动的动量方程为式中vr为径向速度。

（9-5-1）第四十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一9-5管内湍流流动与换热

同样，应用雷诺应力描述总应力（9-5-2）若压力p只是x的函数，式(9-5-1)简化为积分后，有（9-5-3）即