分析第14章电势

静电场对电荷有力的作用，当电荷q0在电场E中移动时，电场力就会做功。设移动路径为始于P1终于P2的有向路径C A12C

F·dr=C

E· 在静电场中沿路径C∫E·dr= 3/静电场对电荷有力的作用，当电荷q0在电场E中移动时，电场力就会做功。设移动路径为始于P1终于P2的有向路径C， A12C

F·dr=C

E· 在静电场中沿路径C∫E·dr= 3/静电场对电荷有力的作用，当电荷q0在电场E中移动时，电场力就会做功。设移动路径为始于P1终于P2的有向路径C A12C

F·dr=C

E· 在静电场中沿路径C∫E·dr= 3/静电场对电荷有力的作用，当电荷q0在电场E中移动时，电场力就会做功。设移动路径为始于P1终于P2的有向路径C A12C

F·dr=C

E· q0，得到一个只跟电场性质有关的线积分，在静电场中沿路径C∫E·dr= 3/PAGEPAGE3/静电场对电荷有力的作用，当电荷q0在电场E中移动时，电场力就会做功。设移动路径为始于P1终于P2的有向路径C A12C

F·dr=C

E· 在静电场中沿路径C∫E·dr= 4/4/从简单出发，我们先考虑点电荷 ∫Eq·drC

C

q0drdr=er· r+ =cosq14.1:从简单出发，我们先考虑点电荷 ∫Eq·drC

C

q0drdr=er· r+ =cosq14.1:5/5/Eqq所产生的电场如图（14.1）er·dr=dr， q

r2 Eq·dr

4πεr2dr

(

1—

上述积分说明，点电荷静电场Eq Eqq所产生的电场如图（14.1）er·dr=dr q

r2 Eq·dr

4πεr2dr

(

1—

上述积分说明，点电荷静电场Eq Eqq所产生的电场如图（14.1）er·dr=dr q

r2 Eq·dr

4πεr2dr

(

1—

上述积分说明，点电荷静电场Eq 任何带电体或点电荷体系均可分解为点电荷，利用场叠加原理，则任何电场均可以写作∑E i其中Ei为第i个点电荷的电场， E·dr

Ei·dr

Ei· 上式右边的每一个求 至决定于C的起点P1和终点P2的位置∫与路径无关，所以：对于任何静电场，电场强度的路径积分 E·P1P2P1P2点间的路径6/任何带电体或点电荷体系均可分解为点电荷，利用场叠加原理，则任何电场均可以写作∑E i其中Ei为第i E·dr

Ei·dr

Ei· 上式右边的每一个求 至决定于C的起点P1和终点P2的位置∫与路径无关，所以：对于任何静电场，电场强度的路径积分 E·P1P2P1P2点间的路径6/任何带电体或点电荷体系均可分解为点电荷，利用场叠加原理，则任何电场均可以写作∑E i其中Ei为第i E·dr

Ei·dr

Ei· 上式右边的每一个求 至决定于C的起点P1和终点P2的位置∫与路径无关，所以：对于任何静电场，电场强度的路径积分 E·P1P2P1P2点间的路径6/任何带电体或点电荷体系均可分解为点电荷，利用场叠加原理，则任何电场均可以写作∑E i其中Ei为第i E·dr

Ei·dr

Ei· 上式右边的每一个求 至决定于C的起点P1和终点P2的位置∫与路径无关，所以：对于任何静电场，电场强度的路径积分 E·P1P2P1P2点间的路径6/7/7/ E·dr=

∇×E=即，静电场旋度为零。静电场的保守性的三种数学表述完全等价，互为充要条件。 E·dr=

∇×E=即，静电场旋度为零。静电场的保守性的三种数学表述完全等价，互为充要条件。8/9/9/静电场的保守性意味着电场中可以定义一个位置的标量函数（标量场r1r2φφ1−φ2

E· r1r2的路径进行。在物理上，φ1−φ2r1r2点的过程中电场力所做的功（见14.2），称为两点间的电势差，记作U12，即U12=φ1−φ2电势差的单位是伏特，国际符号为

E·静电场的保守性意味着电场中可以定义一个位置的标量函数（标量场r1r2φφ1−φ2

E· r1r2的路径进行。在物理上，φ1−φ2r1r2点的过程中电场力所做的功（见14.2），称为两点间的电势差，记作U12，即U12=φ1−φ2电势差的单位是伏特，国际符号为

E·静电场的保守性意味着电场中可以定义一个位置的标量函数（标量场r1r2φφ1−φ2

E· r1r2的路径进行。在物理上，φ1−φ2r1r2点的过程中电场力所做的功（见14.2），称为两点间的电势差，记作U12，即U12=φ1−φ2电势差的单位是伏特，国际符号为

E·静电场的保守性意味着电场中可以定义一个位置的标量函数（标量场r1r2φφ1−φ2

E· r1r2的路径进行。在物理上，φ1−φ2r1r2点的过程中电场力所做的功（见14.2），称为两点间的电势差，记作U12，即U12=φ1−φ2电势差的单位是伏特，国际符号为

E·10/10/为了讨论问题方便，可规定空间中某位置

φ(r)

r

E· φr)的数值在物理上就是将单位电荷从r位置移动到电势零点位置的过程中，电场力所做的功。电势零点的位置可视计算方便而定。习惯上，当电荷分布于有限空间时，将势能零点选在无 φ(r) E· r由于地球是一个巨大的导体，电容很大（第15 为了讨论问题方便，可规定空间中某位置

φ(r)

r

E· φr)的数值在物理上就是将单位电荷从r位置移动到电势零点位置的过程中，电场力所做的功。电势零点的位置可视计算方便而定。习惯上，当电荷分布于有限空间时，将势能零点选在无 φ(r) E· r由于地球是一个巨大的导体，电容很大（第15 为了讨论问题方便，可规定空间中某位置

φ(r)

r

E· φr)的数值在物理上就是将单位电荷从r位置移动到电势零点位置的过程中，电场力所做的功。电势零点的位置可视计算方便而定。习惯上，当电荷分布于有限空间时，将势能零点选在无 φ(r) E· r由于地球是一个巨大的导体，电容很大（第15 势差便已确定。而电势的绝对数值只有在了电势零点后才有意义。由电势差的物理意义立即可得在电场中移动电荷q0功A12=q0U12=q0(φ1− 显然，当移动正电荷电场力做正功时，起点（r1）的电势高于和终点（r2）的电势。11/势差便已确定。而电势的绝对数值只有在了电势零点后才有意义。由电势差的物理意义立即可得在电场中移动电荷q0功A12=q0U12=q0(φ1− 显然，当移动正电荷电场力做正功时，起点（r1）的电势高于和终点（r2）的电势。11/PAGEPAGE12/φ(r)

4π4πε0rR与 电球面内场强处处为零，在其内移动电荷，电场力均不做功，所以电势差为零。13/例例设球面半径为R，带电量q，由 r<E e, r>2 因电场具有球对称性，电势分布也具有球对称性，因此电势只是矢径的函数。r<R时，由 φ(r) 0dr dr例例设球面半径为R，带电量q，由 r<E e, r>2 因电场具有球对称性，电势分布也具有球对称性，因此电势只是矢径r<R时，由 φ(r) 0dr dr例例设球面半径为R，带电量q，由 r<E e, r>2 因电场具有球对称性，电势分布也具有球对称性，因此电势只是矢径r<R时，由 φ(r) 0dr dr例例设球面半径为R，带电量q，由 r<E e, r>2 因电场具有球对称性，电势分布也具有球对称性，因此电势只是矢径r<R时，由 φ(r) 0dr dr14/14/r>R

φ(r)r

2

dr

4πε0 r<

φφ∝φ(r)

04πεr, r>0 r>R

φ(r)r

2

dr

4πε0 r<

φφ∝φ(r)

04πεr, r>0 15/15/例例因为电荷不是分布在有限空间，不能选取无穷远处作为电势零点。我们选定某参考点P0（距带电直线距离，即柱坐标矢径为0λ0E=2πε0EE·dr=Edρ ρ0 λ λφ(ρ)

ρdρ=

例例因为电荷不是分布在有限空间，不能选取无穷远处作为电势零点。我们选定某参考点P0（距带电直线距离，即柱坐标矢径为0利用λ0E=2πε0EE·dr=Edρ ρ0 λ λφ(ρ)

ρdρ=

例例因为电荷不是分布在有限空间，不能选取无穷远处作为电势零点。我们选定某参考点P0（距带电直线距离，即柱坐标矢径为0λ0E=2πε0EE·dr=Edρ， ρ0 λ λφ(ρ)

ρdρ=

例例因为电荷不是分布在有限空间，不能选取无穷远处作为电势零点。我们选定某参考点P0（距带电直线距离，即柱坐标矢径为0λ0E=2πε0EE·dr=Edρ ρ0 λ λφ(ρ)

ρdρ=

16/16/习惯上，仍将柱坐标矢径写作rφ(r)=λ

lnr+C

17/18/18/从电场叠加原理容易推出电势叠加原理。设空间中存在多个带电体，则根据电场叠加原理∑E i空间某点电势 为电势零点）

r0

φ(r) E·dr

Ei·dr

Ei·dr φi

φi(r)ir从电场叠加原理容易推出电势叠加原理。设空间中存在多个带电体，则根据电场叠加原理∑E i空间某点电势 为电势零点）

r0

φ(r) E·dr

Ei·dr

Ei·dr φi

φi(r)ir从电场叠加原理容易推出电势叠加原理。设空间中存在多个带电体，则根据电场叠加原理∑E i空间某点电势 为电势零点）

r0

φ(r) E·dr

Ei·dr

Ei·dr φi

φi(r)ir从电场叠加原理容易推出电势叠加原理。设空间中存在多个带电体，则根据电场叠加原理∑E i空间某点电势 为电势零点）

r0

φ(r) E·dr

Ei·dr

Ei·dr φi

φi(r)ir对于空间有限分布的带电体（无穷远处为电势零点

φ(r)

i∫φ(r)

19/对于空间有限分布的带电体（无穷远处为电势零点

φ(r)

i∫φ(r)

19/20/20/例例p=如图Pr− rr+ −q 14.5:例例p=如图Pr− rr+ −q 14.5:21/21/分别记正、负电荷在P点产生的电势为φ+、φ−，则根据电势叠φ(r)= +

−

=

–r+

4πε0r+r−r≫rrr−=r2，r−−r+=lcosθφ(r)=qlcosθ=qlrcosθ=ql·r=p· 分别记正、负电荷在P点产生的电势为φ+、φ−，则根据电势叠φ(r)= +

−

=

–r+

4πε0r+r−r≫rrr−=r2，r−−r+=lcosθφ(r)=qlcosθ=qlrcosθ=ql·r=p· PAGEPAGE22/例例R均匀带有电量qdq=RRr=√R2+POxx14.6:23/23/φ(x)

4πε

√ 2R √ R2+ R2+ φ(x) Edxx

(R2+φ(x)

4πε

√ 2R √ R2+ R2+ φ(x) Edxx

(R2+4πε4πε0r24/例例两个同心的均匀带电球面，半径分别是RA=5cm，RB=10cm，分别带有qA=+210−9C、qB=−210−9C.求距球心分别为r1=15cm，r2=6cm，r3=2cm根据例13q

r<φ(r)

4πε0r,

r> r<4π0R 4πε φ(r)

4πεr+4πε

RA<r<RB 0 0 B

r>RB例例两个同心的均匀带电球面，半径分别是RA=5cm，RB=10cm，分别带有qA=+210−9C、qB=−210−9C.求距球心分别为r1=15cm，r2=6cm，r3=2cm根据例13q

r<φ(r)

4πε0r,

r> r<4π0R 4πε φ(r)

4πεr+4πε

RA<r<RB 0 0 B

r>RB例例两个同心的均匀带电球面，半径分别是RA=5cm，RB=10cm，分别带有qA=+210−9C、qB=−210−9C.求距球心分别为r1=15cm，r2=6cm，r3=2cm根据例13q

r<φ(r)

4πε0r,

r> r<4π0R 4πε φ(r)

4πεr+4πε

RA<r<RB 0 0 B

r>RB25/25/qB=−qA —

r<RA4πε0(RA φ(r)= 1—1 r r1=15cm>RB，φ1=RA<r2=6cm<RB，

RA<r<RBr>RB2×10−9

( 1 φ2=4π×8.85×10−12F 0.06m−0.1r3=2cm<RA

=1202×10−9

( )φ3=4π×8.85×10−12F 0.05m−0.1

=180qB=−qA —

r<RA4πε0(RA φ(r)= 1—1 r r1=15cm>RB，φ1=RA<r2=6cm<RB，

RA<r<RBr>RB2×10−9

( 1 φ2=4π×8.85×10−12F 0.06m−0.1r3=2cm<RA

=1202×10−9

( )φ3=4π×8.85×10−12F 0.05m−0.1

=180qB=−qA —

r<RA4πε0(RA φ(r)= 1—1 r r1=15cm>RB，φ1=RA<r2=6cm<RB，

RA<r<RBr>RB2×10−9

( 1 φ2=4π×8.85×10−12F 0.06m−0.1r3=2cm<RA

=1202×10−9

( )φ3=4π×8.85×10−12F 0.05m−0.1

=180qB=−qA —

r<RA4πε0(RA φ(r)= 1—1 r r1=15cm>RB，φ1=RA<r2=6cm<RB，

RA<r<RBr>RB2×10−9

( 1 φ2=4π×8.85×10−12F 0.06m−0.1r3=2cm<RA

=1202×10−9

( )φ3=4π×8.85×10−12F 0.05m−0.1

=180qB=−qA —

r<RA4πε0(RA φ(r)= 1—1 r r1=15cm>RB，φ1=RA<r2=6cm<RB，

RA<r<RBr>RB2×10−9

( 1 φ2=4π×8.85×10−12F 0.06m−0.1r3=2cm<RA

=1202×10−9

( )φ3=4π×8.85×10−12F 0.05m−0.1

=180qB=−qA —

r<RA4πε0(RA φ(r)= 1—1 r r1=15cm>RB，φ1=RA<r2=6cm<RB，

RA<r<RBr>RB2×10−9

( 1 φ2=4π×8.85×10−12F 0.06m−0.1r3=2cm<RA

=1202×10−9

( )φ3=4π×8.85×10−12F 0.05m−0.1

=180qB=−qA —

r<RA4πε0(RA φ(r)= 1—1 r r1=15cm>RB，φ1=RA<r2=6cm<RB，

RA<r<RBr>RB2×10−9

( 1 φ2=4π×8.85×10−12F 0.06m−0.1r3=2cm<RA

=1202×10−9

( )φ3=4π×8.85×10−12F 0.05m−0.1

=18026/27/27/电场线可以用来表示空间各点电场的方向及强弱，而电势差则反映了在移动单位电荷时电场力做功的大小，因此，电势变化的情况能反映电场分布。定义定义(等势面就像地图上的等高线一样，可在电场中作出一系列势面，使相邻等势面之间的电势差固定，以便反映电场的分布情况。电场线可以用来表示空间各点电场的方向及强弱，而电势差则反映了在移动单位电荷时电场力做功的大小，因此，电势变化的情况能反映电场分布。定义定义(等势面就像地图上的等高线一样，可在电场中作出一系列势面，使相邻等势面之间的电势差固定，以便反映电场的分布情况。电场线可以用来表示空间各点电场的方向及强弱，而电势差则反映了在移动单位电荷时电场力做功的大小，因此，电势变化的情况能反映电场分布。定义定义(等势面就像地图上的等高线一样，可在电场中作出一系列势面，使相邻等势面之间的电势差固定，以便反映电场的分布情况。PAGEPAGE28/++14.8:329/329/1122112211221122112211221122112229/29/11221122331122112233PAGEPAGE30/例例两导体球半径分别为R1和R2，设R1>R2，今用导线将两球相连后使其带电，求两球面的面电荷密度与球半径之间的关系。设导线足够长而两球相距足够远。14.9: = = R1 R2R1σ1=σ1= 可见面电荷密度与球半径成反比，也就是与曲率成正比。这一结论可用于定性分析导体表面曲率与其上的电荷密度的关系。 = = R1 R2R1σ1=σ1= 可见面电荷密度与球半径成反比，也就是与曲率成正比。这一结论可用于定性分析导体表面曲率与其上的电荷密度的关系。31/ 通过导线相连后，两个导体球构成一个导体，电势相等， = = R1 R2R1σ1=σ1= 可见面电荷密度与球半径成反比，也就是与曲率成正比。这一结论可用于定性分析导体表面曲率与其上的电荷密度的关系。31/ = = R1 R2R1σ1=σ1= 可见面电荷密度与球半径成反比，也就是与曲率成正比。这一结论可用于定性分析导体表面曲率与其上的电荷密度的关系。31/ = = R1 R2R1σ1=σ1= 可见面电荷密度与球半径成反比，也就是与曲率成正比。这一结论可用于定性分析导体表面曲率与其上的电荷密度的关系。31/PAGEPAGE31/ = = R1 R2R1σ1=σ1= 可见面电荷密度与球半径成反比，也就是与曲率成正比。这一结论可用于定性分析导体表面曲率与其上的电荷密度的关系。PAGEPAGE32/例例一个金属球A，半径为R1，它的外面套一个同心的金属球壳B，其内外半径分别是R2和R3.二者带电后电势分别是φA和φB.求此系统14.10:33/33/ 带电体B的内外表面均带有电荷，可视作两个球壳，设各球壳分别带电（自内至外）q1,q2,q3,由前面所求的结果 4πε0Ri

r< 4πε0r

r>

i=1,2,

4πε0R1

4πε0R2

4πε0R3

r<R1φ(r)=φ1+φ2+φ3

4πε0r

R1<r< +q2+

R2<r<4πε0r 4πε0r 4πε0R

r>R34πε0r 4πε0r 4πε0r 带电体B的内外表面均带有电荷，可视作两个球壳，设各球壳分别带电（自内至外）q1,q2,q3,由前面所求的结果 4πε0Ri

r< 4πε0r

r>

i=1,2,

4πε0R1

4πε0R2

4πε0R3

r<R1φ(r)=φ1+φ2+φ3

4πε0r

R1<r< +q2+ 4πε0r 4πε0r 4πε0R 4πε0r 4πε0r 4πε0r

R2<r<R3r>R3 带电体B的内外表面均带有电荷，可视作两个球壳，设球壳分别带电（自内至外）q1,q2,q3, 4πε0Ri

r< 4πε0r

r>

i=1,2,

4πε0R1

4πε0R2

4πε0R3

r<R1φ(r)=φ1+φ2+φ3

4πε0r

R1<r< +q2+ 4πε0r 4πε0r 4πε0R 4πε0r 4πε0r 4πε0r

R2<r<R3r>R3 带电体B的内外表面均带有电荷，可视作两个球壳，设球壳分别带电（自内至外）q1,q2,q3, 4πε0Ri

r< 4πε0r

r>

i=1,2,

4πε0R1

4πε0R2

4πε0R3

r<R1φ(r)=φ1+φ2+φ3

4πε0r

R1<r< +q2+ 4πε0r 4πε0r 4πε0R 4πε0r 4πε0r 4πε0r

R2<r<R3r>R334/34/φ(R1)

+ + =φ φ(R2)

+ + =φ φ(R)

+ + =φ 即q1R1

q2R2

=RRq1R2q1R3

q2R2q2R3

=RRR=R3φ(R1)

+ + =φ φ(R2)

+ + =φ φ(R)

+ + =φ 即q1R1

q2R2

=RRq1R2q1R3

q2R2q2R3

=RRR=R3R2R3q1

= = =这是关于q1,q2,q3的线性非齐次方程组，可利 法则求解35/R2R3q1

= = =这是关于q1,q2,q3的线性非齐次方程组，可利 法则求解35/PAGEPAGE36/

R1R2

R2q1

R2R3

R1R3

R1R2R3 R2 4πε0R1R2R3(R3−R2)(φA− R3(R2−R1)(R3−=4πε0R1R2

–φR2−R1 R1R2R3 R2q2

R3 R2 4πε0R1R2R3(R3−R2)(φA−= R3(R2−R1)(R3−=−4πε0R1R2

–φ)=R2−R1 A AR3

q3

R1 4πε0φBR2(R2−R1)(R3−R= R3(R2−R1)(R3−=39/39/qA=q1

4πε0R1R2

–φBR2−R14πε0R1R2qB=

+

=4πε0R3φB

R2−

–φB

r<Ei

er r>

i=1,2,qA=q1

4πε0R1R2

–φBR2−R14πε0R1R2qB=

+

=4πε0R3φB

R2−

–φB

r<Ei

er r>

i=1,2,PAGEPAGE40/即 r<E1

R1R

–φB)e r>(R2−R1)r2

r<E2

−R1R

–φB)e r>(R2−R1)r2 r<E3

R3φB

r> E=E1+E2+ r<R1R

–φB

e

<r<E (R2−R1)r2 φ R2<r<φR3Be r> 设A,B分别带有净电荷qA和qB，根 定理，可得 r<

<r<= R2<r<R3qA+qBe r> +q

+q

Bdr R R

R qA+qBRφA R

drR

42/ 设A,B分别带有净电荷qA和qB，根 定理，可得 r<

<r<= R2<r<R3qA+qBe r> +q

+q

Bdr R R

R qA+qBRφA R

drR

42/ 设A,B分别带有净电荷qA和qB，根 定理，可得 r<

<r<= R2<r<R3qA+qBe r> +q

+q

Bdr R R

R qA+qBRφA R

drR

42/ 设A,B分别带有净电荷qA和qB，根 定理，可得 r<

<r<= R2<r<R3qA+qBe r> +q

+q

Bdr R R

R qA+qBRφA R

drR

42/ 设A,B分别带有净电荷qA和qB，根 定理，可得 r<

<r<= R2<r<R3qA+qBe r> +q

+q

Bdr R R

φA

RR

((

dr)R)

qA+ 3 1 =

+qA 42/ 设A,B分别带有净电荷qA和qB，根 定理，可得 r<

<r<= R2<r<R3qA+qBe r> +q

+q

Bdr R R

φA

RR

((

dr)R)

qA+ 3 1 =

+qA 42/43/43/(

)1—

= qA=4πε0R1R2(φA−R2−qB=4πε0R3φB−

A=4πε

3

(φA−φR2−R(

)1—

= qA=4πε0R1R2(φA−R2−qB=4πε0R3φB−

A=4πε

3

(φA−φR2−R(

)1—

= qA=4πε0R1R2(φA−R2−qB=4πε0R3φB−

A=4πε

3

(φA−φR2−R(

)1—

= qA=4πε0R1R2(φA−R2−qB=4πε0R3φB−

A=4πε

3

(φA−φR2−R44/44/qA+qB=4πε0R3φBE R3φB

r< r>qA+qB=4πε0R3φB两导体之间的空间成为导体内部，电场为零。E R3φB

r< r>qA+qB=4πε0R3φBE R3φB

r< r>45/46/46/考虑电场中沿任意方向l上很近的两点P1和P2，电势分别为φ2=φ1+dφφ1−φ2=E·见图Eθ Eθ14.11:φ1−φ2=−dφ=E·dl=Ecos考虑电场中沿任意方向l上很近的两点P1和P2，电势分别为φ2=φ1+dφφ1−φ2=E·见图Eθ Eθ14.11:φ1−φ2=−dφ=E·dl=Ecos考虑电场中沿任意方向l上很近的两点P1和P2，电势分别为φ2=φ1+dφφ1−φ2=E·见图Eθ Eθ14.11:φ1−φ2=−dφ=E·dl=Ecos这个最大值的电势空间变化率称为电势梯度（矢量这个最大值的电势空间变化率称为电势梯度（矢量el=grad47/

Ecosθ=El=

EcosθEl上的投影，lEl，而dφ/dl则是势函数在l方向的方向导数。显然，当θ=0时，l方向与场强方向一致，此时El E=

Ecosθ=El=

EcosθEllEl，而dφ/dl则是势函数在l方向的方向导数。显然，当θ=0时，l方向与场强方向一致，此时El E=

这个最大值的电势空间变化率称为电势梯度（矢量这个最大值的电势空间变化率称为电势梯度（矢量el=grad47/

Ecosθ=El=

EcosθEllEl，而dφ/dl则是势函数在l方向的方向导数。显然，当θ=0时，l方向与场强方向一致，此时El E=

Ecosθ=El=

EcosθEllEl，而dφ/dl则是势函数在l方向的方向导数。显然，当θ=0时，l方向与场强方向一致，此时El E=

这个最大值的电势空间变化率称为电势梯度（矢量这个最大值的电势空间变化率称为电势梯度（矢量el=grad47/

Ecosθ=El=

EcosθEllEl，而dφ/dl则是势函数在l方向的方向导数。显然，当θ=0时，l方向与场强方向一致，此时El E=

Ecosθ=El=

EcosθEllEl，而dφ/dl则是势函数在l方向的方向导数。显然，当θ=0时，l方向与场强方向一致，此时El E=

因此，电场中任意点电场强度的大小等于该点电势梯度的大小，方向指向电势减小最快的方向。E=−grad这个 告诉我们，可以通过求电势梯度得到场强。这不仅丰富了计算场强的方法，还由于电势的叠加是代数和，比较容易计算。 Ex=

Ey=

Ez=

48/因此，电场中任意点电场强度的大小等于该点电势梯度的大小，方向指向电势减小最快的方向。E=−grad这个 告诉我们，可以通过求电势梯度得到场强。这不仅丰富了计算场强的方法，还由于电势的叠加是代数和，比较容易计算。 Ex=

Ey=

Ez=

48/因此，电场中任意点电场强度的大小等于该点电势梯度的大小，方向指向电势减小最快的方向。E=−grad这个 告诉我们，可以通过求电势梯度得到场强。这不仅丰富了计算场强的方法，还由于电势的叠加是代数和，比较容易计算。 Ex=

Ey=

Ez=

48/因此，电场中任意点电场强度的大小等于该点电势梯度的大小，方向指向电势减小最快的方向。E=−grad这个 告诉我们，可以通过求电势梯度得到场强。这不仅丰富了计算场强的方法，还由于电势的叠加是代数和，比较容易计算。 Ex=

Ey=

Ez=

48/ E=−gradφ

( i+d j+d dy

∇=i

+j

+kdel或nabla49/E=−gradφ=

( i+ j+

= + + =−∇

∇=i

+j

+kdel或nabla49/E=−gradφ=

( i+ j+

= + + =−∇

∇=i

+j

+kdel或nabla49/E=−gradφ=

( i+ j+

= + + =−∇

∇=i

+j

+kdel或nabla49/PAGEPAGE49/E=−gradφ=

( i+ j+

= + + =−∇

∇=i

+j

+kdel或nabla∂

:∇=eρ

+eφρ

+ez:∇=

∂+e1∂+ 1 r θr :∇=

∂+e1r θr例例14.4给出均匀带电圆环轴线上电势分布φ(x)= R2+E=−

dφ(x)= i 4πε0(R2+51/例例14.4给出均匀带电圆环轴线上电势分布φ(x)= R2+E=−

dφ(x)= i 4πε0(R2+51/例例14.4给出均匀带电圆环轴线上电势分布φ(x)= R2+E=−

dφ(x)= i 4πε0(R2+51/例例14.4给出均匀带电圆环轴线上电势分布φ(x)= R2+E=−

dφ(x)= i 4πε0(R2+51/例例

φ(r) 2pr所决定的平面上（如图14.12）52/例例

φ(r) 2采用直角坐标计算，因电偶极子有沿轴线的旋转对称性，pr所决定的平面上（如图14.12）52/例例

φ(r) 2pr所决定的平面上（如图14.12）52/PAGEPAGE53/ rθ−q 14.12:

+54/54/(E=−∇φ= i

+j

+k

+(E=−∇φ=

d+j

+k

4πε0(x2+y2)[ (x2+y2)3/2

2+y

(2

i — x

(x2+

(x2+ j2–4πε0(x2+y2)j2–

+

i+3xy [−

2+y

i+3x(xi+

=

−ri+

r3 r5 3p· =

r3

(E=−∇φ=

d+j

+k

4πε0(x2+y2)[ (x2+y2)3/2

2+y

(2

i — x

(x2+

(x2+ j2–4πε0(x2+y2)j2–

+

i+3xy [−

2+y

i+3x(xi+

=

−ri+

r3 r5 3p· =

r3

(E=−∇φ=

d+j

+k

4πε0(x2+y2)[ (x2+y2)3/2

2+y

(2

i — x

(x2+

(x2+ j2–4πε0(x2+y2)j2–

+

i+3xy [−

2+y

i+3x(xi+

=

−ri+

r3 r5 3p· =

r3

(E=−∇φ=

d+j

+k

4πε0(x2+y2)[ (x2+y2)3/2

2+y

(2

i — x

(x2+

(x2+ j2–4πε0(x2+y2)j2–

+

i+3xy [−

2+y

i+3x(xi+

=

−ri+

r3 r5 3p· =

r3

(E=−∇φ=

d+j

+k

4πε0(x2+y2)[ (x2+y2)3/2

2+y

(2

i — x

(x2+

(x2+ j2–4πε0(x2+y2)j2–

+

i+3xy [−

2+y

i+3x(xi+

=

−ri+

r3 r5 3p· =

r3

(E=−∇φ=

d+j

+k

4πε0(x2+y2)[ (x2+y2)3/2

2+y

(2

i — x

(x2+

(x2+ j2–4πε0(x2+y2)j2–

+

i+3xy [−

2+y

i+3x(xi+

=

−ri+

r3 r5 3p· =

r3

(E=−∇φ=

d+j

+k

4πε0(x2+y2)[ (x2+y2)3/2

2+y

(2

i — x

(x2+

(x2+ j2–4πε0(x2+y2)j2–

+

i+3xy [−

2+y

i+3x(xi+

=

−ri+

r3 r5 3p· =

r3

PAGEPAGE55/y

P(r,rθ−q 1∂

E=

φ= (

r

+eθr 4πεr20)0– – (

∂coser∂r

1∂cos+eθr )=−4πε

−e —eθrθ ( pcosθe−psinθerθ= (3p·r p=

r 能57/58/58/静电场是保守场，因此静电力是保守力，可以定义静电势能。按照定义，空间某点的电势是将单位电荷从该点移动至势能零点时电场力所做的功（保守力做功等于势能的减少因此电势的物理意义就是单位电荷在该点的静电势能。因此点电荷q在外电场中任一点的静电势能就是W= （eV）表示粒子的能量，1eV1V1eV=1.6×10−19静电场是保守场，因此静电力是保守力，可以定义静电势能。按照定义，空间某点的电势是将单位电荷从该点移动至势能零点时电场力所做的功（保守力做功等于势能的减少因此电势的物理意义就是单位电荷在该点的静电势能。因此点电荷q在外电场中任一点的静电势能就是W= （eV）表示粒子的能量，1eV1V1eV=1.6×10−19静电场是保守场，因此静电力是保守力，可以定义静电势能。按照定义，空间某点的电势是将单位电荷从该点移动至势能零点时电场力所做的功（保守力做功等于势能的减少因此电势的物理意义就是单位电荷在该点的静电势能。因此点电荷q在外电场中任一点的静电势能就是W= （eV）表示粒子的能量，1eV1V1eV=1.6×10−19静电场是保守场，因此静电力是保守力，可以定义静电势能。按照定义，空间某点的电势是将单位电荷从该点移动至势能零点时电场力所做的功（保守力做功等于势能的减少因此电势的物理意义就是单位电荷在该点的静电势能。因此点电荷q在外电场中任一点的静电势能就是W= （eV）表示粒子的能量，1eV1V1eV=1.6×10−19静电场是保守场，因此静电力是保守力，可以定义静电势能。按照定义，空间某点的电势是将单位电荷从该点移动至势能零点时电场力所做的功（保守力做功等于势能的减少因此电势的物理意义就是单位电荷在该点的静电势能。因此点电荷q在外电场中任一点的静电势能就是W= （eV）表示粒子的能量，1eV1V1eV=1.6×10−19PAGEPAGE59/60/60/例例Elθlθ−q14.13:W+= W−=−qφ−W=W++W−=−q(φ−−φ+)=−qE·l=−qlEcosθ=−p·例例Elθlθ−q14.13:W+= W−=−qφ−W=W++W−=−q(φ−−φ+)=−qE·l=−qlEcosθ=−p·例例Elθlθ−q14.13:W+= W−=−qφ−W=W++W−=−q(φ−−φ+)=−qE·l=−qlEcosθ=−p·例例Elθlθ−q14.13:W+= W−=−qφ−W=W++W−=−q(φ−−φ+)=−qE·l=−qlEcosθ=−p·例例Elθlθ−q14.13:W+= W−=−qφ−W=W++W−=−q(φ−−φ+)=−qE·l=−qlEcosθ=−p·例例Elθlθ−q14.13:W+= W−=−qφ−W=W++W−=−q(φ−−φ+)=−qE·l=−qlEcosθ=−p·例例Elθlθ−q14.13:W+= W−=−qφ−W=W++W−=−q(φ−−φ+)=−qE·l=−qlEcosθ=−p·61/61/上式表明，电势能跟电偶极子取向和外场的方向有关，当电偶极子的取向与外场一致时，电势能最低，因此，在外场中，偶极子将向外场方向偏转。上式表明，电势能跟电偶极子取向和外场的方向有关，当电偶极子的取向与外场一致时，电势能最低，因此，在外场中，偶极子将向外场方向偏转。2W=2W=−eφ=−r062/例例带电量为e的电子与带电量为+Ze的原子核距离为r，求此系统的 r例例带电量为e的电子与带电量为+Ze的原子核距离为r，求此系统的 r63/63/φ=

ε

W=Zeφ=

2ε0φ=

ε

W=Zeφ=

2ε064/或12q 或12q Wi,j=1i̸=j65/考虑n个电荷组成的电荷系统，在无外场时的相互作用能。由于电场、电势、电势能都满足叠加原理，电荷系中任意两个电荷之间的相互作用能不因其他电荷的存在而不同：Wij=

其中rij为点电荷qi和qj之间的距离。n−Wi=1,<j

qiq考虑n个电荷组成的电荷系统，在无外场时的相互作用能。由于电场、电势、电势能都满足叠加原理，电荷系中任意两个电荷之间的相互作用能不因其他电荷的存在而不同：Wij=

其中rij为点电荷qi和qjn−Wi=1,<j

qiq考虑n个电荷组成的电荷系统，在无外场时的相互作用能。由于电场、电势、电势能都满足叠加原理，电荷系中任意两个电荷之间的相互作用能不因其他电荷的存在而不同：Wij=

其中rij为点电荷qi和qjn−Wi=1,<j

qiq66/66/重写（14.22）1W=

4πε

1=

i=1

j=1i̸=i

0

i=1

j=1i̸=i

qπε0rij是除qi外所有点电荷在qi重写（14.22）1W=

4πε

1=

qii i=1

j=1i̸=i

0

i=1

j=1i̸=i

πε0rij是除qi外所有点电荷在qi重写（14.22）1W=

4πε

1=

qii i=1

j=1i̸=i

0

i=1

j=1i̸=i

πε0rij是除qi外所有点电荷在qi

∫W= 2φdqdqdq是无穷小，φ直接就是整个带电体在dq处的电势。例例设球面半径为R，带电量为根据例13Q

r<φ(r)

4πεR4πεr,

r>电荷均匀分布在球面上，取球面上面积元dSdq= 例例设球面半径为R，带电量为根据例13Q

r<φ(r)

4πεR4πεr,

r>电荷均匀分布在球面上，取球面上面积元dSdq= 例例设球面半径为R，带电量为根据例13Q

r<φ(r)

4πεR4πε0r

r>电荷均匀分布在球面上，取球面上面积元dSdq= W= dS= 0R W= dS= 40R2 =80R

dS

R W= dS= 40R2 =80R

dS

R W= dS= 40R2 =80R

dS

R W= dS= 40R2 =80R

dS

R W= dS= 40R2 =80R

dS

R W= dS= 40R2 =80R

dS

RσεQE=εσεQE=ε00电荷通过电场产生相互作用，因此电荷体系的静电能并非属于任何单个电荷。从场的观点来看，静电能就是电场能。考虑一对面积为S，相对两面分别带有+Q和QA和B，在例112板间电场强度为E=σ/ε0，其中σ是其中任一板的面电荷密度数2电荷通过电场产生相互作用，因此电荷体系的静电能并非属于任何单个电荷。从场的观点来看，静电能就是电场能。考虑一对面积为S，相对两面分别带有+Q和QA和B，在例中，112板间电场强度为E=σ/ε0，其中σ是其中任一板的面电荷密度数2电荷通过电场产生相互作用，因此电荷体系的静电能并非属于任何单个电荷。从场的观点来看，静电能就是电场能。考虑一对面积为S，相对两面分别带有+Q和QA和B，在例112板间电场强度为E=σ/ε0，其中σ是其中任一板的面电荷密度数2电荷通过电场产生相互作用，因此电荷体系的静电能并非属于任何单个电荷。从场的观点来看，静电能就是电场能。考虑一对面积为S，相对两面分别带有+Q和QA和B