注册构造专业基础空间解析几何讲义

PAGEPAGE16页第一章高等数学第一节空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量a的大小称为向量a的模，记作|a|。向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。向量a与向量b的和a+b是一个向量c，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c，如图1-1-1，图1-1-2所示。向量的加法符合下列运算规律：交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c＝a+(b+c）向量b与向量a的差b-a定义为向量b与a的负向量-a的和，即b-a=b+(-a)由向量加法的三角形法则可知：向量a与实数λ的积记作λa，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞0时，与向量a相同；当λ＜0时，与向量a相反。向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理设向量a≠0，那么，向量b与向量a平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使b=λa。盆（二）假向量的扭坐标链设有空偏间直角波坐标孙系烛O怀-言xyz返，免盾i厅、任绳j逝、痛k至分别表兼示窗沿姻x店背、坡y券扁、南z康爪轴正向酱的单位闭向量，蒙是以跑为起点摘，摆为终点厕的向量弊，则向队量滔a席可表示泻为鲜寇其中菜称为向输量以a昼的坐标歼。匪利用向侨量的坐奶标，可财得向量数的加法对、减法决以及向查量与数狱的乘法区运算如么下：音非零向堵量百体a叫谋与三条债坐标轴模正向的栗夹角初称为它毁的方向械角。向恶量的模欧、方向杜角与坐婶标之间辫关系：祝其中筝称为向服量瞎薪a重谦的方向芦余弦。自利用向广量的坐侨标可得朋向量的强模与方堂向余弦吹如下：栏（三）缸数量涝积麦叮蔽向量积慎设向量批a叠片和向量翼b茂跑的夹角定为佳,瓦向致量错坐a云凭和向春量乏奸b降卵的数量夜积为一游个数量半，记作哲负，其大搞小为烫，即辫向量于a橡在轴践u盾上的投腔影（记角作询Pr除j摄u底a拖）等于繁向量埋a双的模乘讲以轴与哗向量匀a下的夹角寒的余弦荒，即石利用向这量在轴各上的投峡影，可少将数量塑积表为庭向锁量娇慕a拒踢和向量吴b钟的向量食积为一类个向壤量傍决c奸结，记库作茧驴a园×珠b因隶，即驼c熊＝膏a微×袍b有酬，幸c家的模翻c弟哑的方向倚垂直浑于据晚a村昆与券愉b胃倡所决定僵的平面猫，忙巩c围郑的指向母按右手妈法则确路定。街（四）而例业题歪质1姜．设已员知两勺点压M宁I探(疮2,防2抓,点)供和乔M巡2摧（亚1凯,3龟,誉0)爱股，计算飞向量难的模、唯方向余腰弦和方质向角。词2渔．已知陕，余，问选什取怎样着的矮和杏能使英与漆垂直惜3谈．设质贞量分为钱10畏0k艰g桌的物体馒从甚点平M泳I落(3羞,四1,舰8朋剥）沿直初线移动荐到离点刚M咸2罩（呀1移,4拼,柔2位期）。计傅算重力立作功（歪长度单茂位欺为莲m雷兄，重力修方向坛为付z蚊汽轴负方马向）。桶按数量就积的物蔑理意义疼，重力箱作匠功绑房w侮崭即为向街量咱P趴必和向量宜数量克积昨,分故便4倚．已知庄三角煌形非AB葱C骄雅的顶点衰是晶A腰(烫1,撇2甘,3猾)罢,因B疗(3针,击4,蹄5逐单）辈和望防C训(劈2,朽4袜,7谣知）。求太三角乌形费ABC协适的面积县。诸[乖解毫]趋继尾根据向恩量积的缎定义，旺可知三剩角身形勿ABC欢屈的面积哗5妨．设催均为向甩量，下衬列等式捐中正确缘的是昼6句．棍设秩富a,缎b择泳均为向松量，下巨列命题仓中错误胃的和是毕间(之A纹)忧a幅//豪驰b患共的充分返必要条玉件是存执在实雕数牺λ耍,默使呜b枪己＝纤λ楚a随(卷B刮)穗a皮//狂撤b先愧的充分草必要条迎件持是卫落a×坝b捉=湖0眨(势C牛)榜a老⊥盛b抚斑的充分鞠必要条尚件忽是烂a子.苦b=座0喝(派D肉)望a锁⊥己b苏均的充分挠必要条窑件是籍（燃消a父+烂b滋假）么·攀孕（懂迈a伐-安b浑)李=怠|a蛛|脑2友-|余b|电2蹦［肿解汪］雕阴喜命题雹（念A吼季）、然（赏B炒妇）、蚊（族C嘱隔）都是安正确的星，而等羡式舱根据向手量的数践量积的姑运算规宪律，对载一般的泽向量速a急，只b牲均成立恳。钻因此这旷等式不鸣能成为滑向宅量采a杂忙⊥听b属魄的充分冬必要条绵件，故向应选赔（离D划枕）。碑二、平颈面伍（一）锐平面的吃方程救设平浸面燃剃过点界M朵0毛（街x诉0远,壶y净0臣,摧z陆0建)吊柳，它的池一个法坝向瓦量摩劳n园誓=渔（厦A颤,B赠,涌C)互拦，则平季面茎Ⅱ讨的方程避为岛此方程汤称为平数面的搁点法式饰方程道。症平面的念一般方设程为薄其红中迅捧n竟=宴(A基,球B,冠C哲库）为该协平面的翅法向量状。习狠蚂执设一平研面撇与卖渐x绩瑞、崭y祥载、翅z辆共轴分别佛交于偏P例（久怠a幸,意0,和0提丽）丝、装右Q艺(该0,爱追b镜,呆0雾确）和秒R科(旷O,飞0帅螺，扣c适）三点前（其司中同靠a骆≠怜0,禽b戏≠含0捆伴，命c谷≠笑0踢)乔鸣，则该禽平面的梁方程为咳此方程择称为平佛面的截振距式方模程湾，河浴a杀、宾芬b裁睬、山c姿依次称宴为平面却在老隆x愚区、有y卸胁、单z都堪轴上的桌截距。践对于一园些特殊稻的三元劲一次方受程，应遥该熟悉瓶它们的揉图形的形特点。酿如，在胃方惨程贴迈Ax武揭＋翠By气＋左惧Cz叫+爷D吗=头0似缩中，坡当算患D斥=眠0云虎时，方故程表示龙一个通绵过原点绕的平面尚；裕当材奴A处=0惩烧时，方任程表示扫一个平湖行于悟x鲜轴的平讲面；败当奔A集=B意=著0手枝时，方块程表示冬一个平舱行于逗x静Oy梳的平面络。类似捞地，可症得其他跨情形的担结论。喇（二）监两平面断的夹角翠两平面坐的法向匹量的夹扩角称为愚两平面林的夹角凝（通常孙指锐角绍）。设桥有平们面视询Ⅱ辉1监,:智A纵l沉x展+B启1床y弄＋编C驰l挽z挎+该D价1燕=权0奶些和平堵面误鸭Ⅱ糊2瘦:挪A暂2沸x赌+B延2岩y亡＋递C俘2认z嘱+像D若2下=咽0免，则渐Ⅱ掌1穿和束Ⅱ僻2埋的夹请角渔θ森由下式国确定：示由此可吨得低Ⅱ亚1锋与和Ⅱ地2死互相垂皇直相当盖于胖A锣1迁A仿2挑+B赚1笋B恢2脚+C咐1盟C乖2愿=0蚕Ⅱ另1闭与揉Ⅱ梅2首平行相伯当于粉空间一重点赔P钉0龄（革x帮0需，惊y苏0比，皂z框0壮）到平茶面竖的距离武，有以库下公式建：福（三）霞例使题较赖【每例旦1-仔1-5姓誓】求过权三授点肠M耍l那(怎2,崇-树1宜，讨4秘)趁、拘M娃2促娘（辆-l获,3繁床，编-2腥获）妥和是M欠3荒(0语,桃2,齐3窜悦）的平喘面的方刑程页。煤富由平面质的点法无式方程密，得所喂求平面拌方程为危【鹅拴例皇1数-1骗-熔6续】数嚼求两平小面携x稼-y渣+扫2z维-6廊=反0,中2x喷+晋y+盲z-劳5灿悲＝贿0论的夹角面。股爆【历彻解医渐】振惯因为炒故所求稠夹角疫。业奉【机例痕1战-1锅-快7芽】善芽询平行窝于完x唯枣轴且经前过点拿（骡4径,0子漠，寒-2香粗）和点重（奋2公,1饲,矛1诵弟）的平片面方程产是筹【晚性解茄刷】讲挤由平面绵平行于次x乘轴知，绪平面方跳程中步x汁遥的系数偿为孔0倍，故枕（辽A负亦）、背（卷B者摊）不正脱确。由谊平面经截过两已理知点，古知聪（伟C登柄）满足御，故选找（造C踏然）荒.页三、直禁线榨（一）祝空间直非线的方腿程晨设空间摆直针线浊L欺是平面酸Ⅱ棒1失:睁A它l墓x反+B横1始y够＋忧C室l茎z喂+狠D龟1挖=邀0纹穷和平骑面繁穗Ⅱ驻2浓:块A屿2俗x柏+B忙2应y铁＋肾C疑2科z眉+杯D骨2画=慎0匠，的交宵线，苗则吊L蔬骆的方程架为。艺此方程英称为空超间直线分的一般腾方程。振设直搁线奖L士止过耍点爬M淋0执（引x颈0藏,甘y寿0奋,湖z幼0忧)药盆，它的隐一个方陡向向量拣为稀s柴=菊（升m,n末,p升)帖础，则直裕线源L码优的方程哀为淋此方程坐称为直戏线的对乌称式方叫程。交如设参花数兽t专读如下：贪此方程慧组称为陆直线的旗参数式停方程。扯（二）虾两直线破的夹角补两直线轿的方向悔向量的损夹角叫掏做两直社线的夹连角（通洗常指锐田角）。摔设直岛线醋L肌1论：财和直枯线陶L澡2扁:跌则街L老1升销和遍L砍2者的夹角杀可由下凭式确定夫：暖由此可颤得痕L刑1死和稍L债2晕势互相垂厦直相当姻于孤L桥1匪和合L述2刮平行相俊当于魄（三）龟直线与者平面的鱼夹角盛直线和黄它在平贷面上的询投影直沸线的夹仅角礼称为直织线与平钩面的夹编角，通云常规定慨。设直柄线的方杰程是锅平面的头方程是存则直线拣与平面楚的夹角贩φ熊由下式燕确定：跌鉴由此可沟得秧直线与坊平面垂岛直相当社于懒烘直线与睛平面平史行或直抵线在平东面上相车当征于朽A惨m尿+增B处n染+正C前P修=凑0胡（四）葬例砌题皆箩【硬艘例引1-没1-哪8医论】恳鹊万求过两向点徒M慰1嗽(3球,艰-2,简1伍)讽和碰M报2糊(-合1,纤0,特2)沿踏的直线拼方程。酿【柏解际扎】滚伤取旅拳=当坟（端-4稠,平2,糖1膀)茂柄为直线丝的方向室向量，灿由直线伏的对称拾式方程剩得所求痛直线方茅程为姜【纲扎解拿拖】泽当伴直改线劲L致1跟和轧L温2会的方向魂向量依所次变为龟s政1顷=(败1,-洞4,灵1次)红、曲s顶2锹=(2偶,-2我,-1椒).赶设直齿线欺L喝1领灯和而L访2舒匹的夹角侨为姜,虏则所以辜则吩L侧雀的参数鄙方程是饰【抖简解虾惠】遣猛朽由于两鬼平面的吵交裙线带L踏浊与这两炎平面的号法线向忙量咳n懂l户茫=嘴（粥1术牛，政-1兔,1馅)影,n御2卡=软烧（瓦2涌，垒1岭,1数榴）都垂瓣直，所割以直志线卵L险锯的方向痕向庆量宴s衬可撞取池n仆l采Xn战2摊丹，即税由此可梳知章（肠C接鞭）与制（膝D止街）不正脾确。贸而点于（痛1拣,1痛,剑1阶北）是直扬线舌L弃跃上的一织点，故五应选椒（插A层晚）。艇四、二庭次曲旗面两脆晋旋转曲徒面灯绑流柱面低（一）敏二次曲仙面撑三元二易次方程羽所表示室的曲面牙叫做二谋次曲面投。例如球面：尚椭球面摄：啊椭圆抛插物面：坐双曲抛扒物面：倦单叶双婆曲面：列双叶双首曲面：误注意：贞以上方袋程是二田次曲面爹的标准死方程，申还应该蛋知道它培们的各伪种变形仓。毁（二）摔旋转曲代面辞以一条垮平面曲绳线绕其刻平面上贡的一条哪直线旋柱转一周炎所成的借曲面叫轨做旋转盾曲面，屯旋转曲箩线和定搁直线依金次叫做泊旋转曲秘面的母锣线和轴玩。例如盈，顶点获在坐标确原改点家O方，旋转竖轴对为沙z映括轴，半搞顶角为槐α玻的圆锥军面缘以六x亦腥轴为旋炎转轴的胳旋转双治曲面送已知旋今转曲面轮的母葱线册C逢营的方程豪为昂旋转轴妥为忠z泄轴，只放要将母村线的方窜程剃f果(y珍燥，碧z箩）合＝塞0禁中煌的海y钉狼换成蛮，便得本曲装线做c咐法绕佛z召浊轴旋转捷所成的膏旋转曲作面的方炉程，即嫁同理，叶可得其轻他情形瞎的旋转旦曲面的遮方程。吃（三）插柱面殿平行于窑定直线薯并沿定掠曲桥线茎C品脾移动的政直弄线该L赏觉形成的食轨迹叫例做柱面叼，定曲堡线赖C虚丰叫做柱存面的准瞒线，动集直污线灵L除廉叫做柱铜面的母垒线。例典如，震以小xO比y犹平面上士的招圆段x肝2复+y晒2跟＝拾R歌2奸雕为准线项，平行尿于元z激齿轴的直旨线为母反线的圆声柱面瞒以泥xO茫y胳平面上慈的抛物摊线纵y僵2金＝紫2至x婆为准线权，平行岔于敞z答仪轴的直扮线为母圣线的抛修物柱面雾在空间脊直角坐佛标系中浮，如果径曲面方门程圾F铅(x坑,持y需踪，校z漫)矛＝瑞0丝巷中，缺摇少某个性变量，飘那么该娱方程一慕般表示抹一个柱热面。例首如，方葱程捕F牛(x丑煤，奇y逢)路＝塔0波一般表遗示一个骄母线平杏行题于珍z息急轴的柱虹面，方然程翁G消(x赏,质z半究）工=0搅,H咳(谨y,高