第三章离散傅里叶变换DFT总结

6DFT的实际应用问题7

FFT典型用法5DFT的性质4DFT--有限长序列的离散频域表示2周期序列的DFS3DFS的性质1傅氏变换的几种可能形式点击进入目当前第1页\共有40页\编于星期五\21点二.DFT是现代信号处理桥梁

DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化当前第2页\共有40页\编于星期五\21点连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换傅里叶变换的几种可能形式时域频域傅里叶变换当前第3页\共有40页\编于星期五\21点一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)

这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数X(j)。时域连续频域非周期时域非周期频域连续当前第4页\共有40页\编于星期五\21点二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)

这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有一个频率分量。X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。时域周期频域离散当前第5页\共有40页\编于星期五\21点三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)

时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是s。时域离散频域周期当前第6页\共有40页\编于星期五\21点四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)

上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频

域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，

人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周

期化。于是有：时域离散、周期频域周期、离散当前第7页\共有40页\编于星期五\21点各种形式的傅里叶变换时域函数频域函数变换类型傅里叶变换(FT)傅里叶级数(FS)序列傅里叶变换(DTFT)离散傅里叶变换(DFT)连续和非周期连续和周期非周期和连续非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散当前第8页\共有40页\编于星期五\21点卷积特性时域卷积定理频域卷积定理当前第9页\共有40页\编于星期五\21点1.在一个域的相乘(卷积)等于另一个域的卷积(相乘)2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。当前第10页\共有40页\编于星期五\21点FS连续和非周期非周期和连续问题：计算机只能进行数字信号处理，所以需要将原模拟信号在时域离散化，即办法：时域采样当前第11页\共有40页\编于星期五\21点问题：怎样时域采样呢？离散和周期周期和离散DFT办法：时域相乘，频域卷积当前第12页\共有40页\编于星期五\21点DTFT时域相乘频域卷积离散和非周期周期和连续问题：依然不能被计算机处理办法：频率采样当前第13页\共有40页\编于星期五\21点离散和周期周期和离散IDFT问题：怎样频域采样呢？办法：频域相乘，时域卷积当前第14页\共有40页\编于星期五\21点DFT时域卷积频域相乘离散和周期周期和离散IDFT计算机能够处理问题解决！当前第15页\共有40页\编于星期五\21点问题：(9)和(5)不同呢？Answer：周期延拓当前第16页\共有40页\编于星期五\21点旋转因子WN的性质1.周期性2.共轭对称性3.正交性当前第17页\共有40页\编于星期五\21点例1设为周期脉冲串（3-8）因为对于0≤n≤N-1， ,所以利用式（2-6）求出 的DFS系数为（3-9）在这种情况下，对于所有的k值均相同。于是，将式（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式（3-10）当前第18页\共有40页\编于星期五\21点

例2已知周期序列

如图3-2所示，其周期N=10,试求解它的傅里叶级数系数。图3-2例3-2的周期序列（周期N=10）当前第19页\共有40页\编于星期五\21点由式（3-6）（3-11）这一有限求和有闭合形式（3-12）图3-3图3-2所示序列的傅里叶级数系数的幅值当前第20页\共有40页\编于星期五\21点有限长序列离散傅里叶变换（DFT）DFT的定义上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即当前第21页\共有40页\编于星期五\21点为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列的一个周期，而把看成x(n)的以N为周期的周期延拓，即表示成:这个关系可以用图2-8来表明。通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”，故x(n)是 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成当前第22页\共有40页\编于星期五\21点当前第23页\共有40页\编于星期五\21点用((n))N表示（nmodN），其数学上就是表示“n对N取余数”，或称“n对N取模值”。令0≤n1≤N-1,m为整数则n1为n对N的余数。例如，是周期为N=9的序列，则有：当前第24页\共有40页\编于星期五\21点利用前面的矩形序列RN(n)，式可写成同理，频域的周期序列也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:我们再看表达DFS与IDFS：当前第25页\共有40页\编于星期五\21点这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0到N-1的主值区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:0≤k≤N-10≤n≤N-1当前第26页\共有40页\编于星期五\21点

x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称上面第一式为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT),称式第二式为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能唯一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。当前第27页\共有40页\编于星期五\21点

例1已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。

解单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得到：

k=0,1,…,N-1

δ(n)的X(k)如图2-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序列δ(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。当前第28页\共有40页\编于星期五\21点图2-9序列δ(n)及其离散傅里叶变换当前第29页\共有40页\编于星期五\21点

例2已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列，求它的N点DFT。

解由DFT的定义式（2-30）利用复正弦序列的正交特性，再考虑到k的取值区间，可得当前第30页\共有40页\编于星期五\21点图2-10有限长序列及其DFT当前第31页\共有40页\编于星期五\21点例：求序列：x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)的4点DFT。当前第32页\共有40页\编于星期五\21点例2-8一个有限长序列为（1）计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。（2）若序列y(n)的DFT为式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。当前第33页\共有40页\编于星期五\21点

解（1）由式（2-30）可求得x(n)的10点DFT（2）X(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于是x(n)圆周移位m点。本题中m=-2,x(n)向左圆周移位了2点，就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)当前第34页\共有40页\编于星期五\21点

（1）混迭对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样

采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs<2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。DFT实际问题当前第35页\共有40页\编于星期五\21点

（2）

泄漏处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。当前第36页\共有40页\编于星期五\21点

例如，信号为，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在Ω0处的一根谱线变成了以Ω0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（Ωs）内只有一个频率上有非零值，而现在一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即的频率成份从Ω0处“泄漏”到其它频率处去了。

考虑各采样频率周期间频谱“泄漏”后的互相串漏，卷积后还有频谱混迭现象产生。当前第37页\共有40页\编于星期五\21点当前第38页\共有40页\编于星期五\21点

（3）栅栏效应N点DFT是在频率区间[0，2π]上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点X（k），且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡，所以称之为栅栏效应。减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。当前第39页